高斯小学奥数五年级上册含答案环形路线Word文档下载推荐.docx

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为什么会出现最后一名超过第一名的现象呢？

同学们可能已经想清楚了，这是因为跑道

是一个圆•今天我们就来学习一下环形路线问题.

顾名思义，环形路线的运动路径是一个封闭的曲线，这就意味着从一个点出发，跑完一

圈之后会回到出发点，这是完全不同于直线运动的.同样的，环形中的相遇问题与直线形问

题也是略有不同的.如图所示，从一个点出发，背向而行的两人，会在圆周上的一点相遇.这时他们走过的路程和为一个圆周.而如果他们从同一个点出发同向而行，慢的那个人会在圆

周上的一点被快的那人追上•这时他们走过的路程之差是一个圆周.

相遇时间=周长*（甲速+乙速）

追及时间=周长+（乙速一甲速）

这里要特别说明，在圆周上两点之间的距离是这样定义：

两点间较短一段圆弧的长度•如右图，AB两点间的距离就是

AB间粗实线的长度.

例题1.黑、白两只小猫沿着周长为300米的湖边跑，黑猫的速度为每秒5米，白猫

的速度为每秒7米•若两只小猫同时从同一点出发，背向而行，那么多少秒后第1次相

遇？

如果它们继续不停跑下去，2分钟内一共会相遇多少次？

最后一次相遇时距离出发点多远?

「分析」请同学们在右边的圆上，画出两只猫运动的过程.

两只小猫第一次相遇需要多长时间？

第二次相遇需要多长

时间？

那两分钟之内相遇多少次呢？

练习

1.在420米的圆形跑道上，甲、乙两人从同一点出发，背向而行.甲的速度是8米/

秒，乙的速度是6米/秒，那么两人第8次相遇时，距离出发点多远？

从例题1可以看出，两只小猫从出发到第一次相遇需要25秒•第一次相遇时两只小猫

在一起，继续出发的话，到下一次相遇仍然需要25秒.由此可见，环形路线上的相遇问题

也具有周期性.同样的，环形路线上的追及问题也具有周期性.若甲、乙两人同地同向出发，

甲快乙慢，那么甲第一次追上乙时，恰好比乙多跑一整圈；

从此刻开始，甲想要再次追上乙，就必须再多跑一整圈.如此反复不断地追下去，甲每次追上乙都恰好要多跑一整圈，所以每

次追及的路程差是一样的•如果两人的速度差保持不变，那每次追上的时间也就相同了.

在环形路线问题中，善用周期性会使一些问题变得简单，特别是一些多次相遇和多次追

及的问题.

例题2.有一个周长是40米的圆形水池•甲沿着水池散步，每秒钟走1米；

乙沿着水池跑步，每秒跑3.5米，甲、乙从同一地点同时出发，同向而行•当乙第8次追上甲时，他

还要跑多少米才能回到出发点？

「分析」在环形路线上，快的每追上一次慢的，就要多跑一圈.本题乙第8次追上甲时,

就比甲多跑了8圈，这时怎么确定两人的位置?

练习：

2.环形跑道周长400米，甲、乙两名运动员同时顺时针自起点出发，甲每分钟跑300

米，乙每分钟跑275米.甲第4次追上乙时距离起点多少米？

如果不是同地出发，这样的环形路线问题还具有周期性吗？

例题3.甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步.甲以每分钟300米的速度从起点跑

出.1分钟后，乙以每分钟280米的速度从起点同向跑出.请问：

甲出发后多少分第一次追上乙？

如果追上后他们的速度保持不变，甲还需要再过多少分钟才能第10次追上乙？

「分析」从乙出发到甲第一次追上乙，跟从甲第一次追上乙到第二次追上乙，间隔的时

间一样吗？

从第几次追上开始就具有周期性了？

3.周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A,B两点.甲、乙两人分别从A、B两点同时相背而跑，速度分别是3米/秒和2米/秒.多少秒后两人第一次相遇？

如果相遇后

两人的速度保持不变，再过多少秒两人第10次相遇？

总的来说，环形上的行程问题比直线上的情况变化更多，更繁琐.在运动过程较复杂的

题目中，我们必须认真画图，仔细分析每一段运动过程.

同时匀速反向绕此圆

60米处又第二次相

例题4.如图，甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点开始，形路线运动.当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前遇.求此圆形场地的周长.

「分析」题目中的已知条件很少，只知道两个与路程有关的

量，我们很难直接计算周长，先画图分析一下运动过程.

观察你所画出的示意图，题目给出的100米和60米是图中的哪一段？

如何利用这两段长度？

4.如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A、B两地出

发相向而行，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B点200米处的D点.已知AB长是跑道总长的四分之B

一，请问跑道周长为多少米？

D

例题5.小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快.如果从同一起

点出发背向而行，1小时后正好第5次相遇；

如果从同一起点出发同向而行，那么经过1小

时才第一次追上.请问，小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？

【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少.想一想，跑道的周长是一个确定的数吗？

如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？

如图，一个正方形房屋的边长为12米•阿呆、阿瓜两人

分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每

秒钟行3米•问：

阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？

发相向而行，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相

遇在距离B点200米处的D点.已知AB长是跑道总长的四分之B

例题5.小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快.如果从同一起点出发背向而行，1小时后正好第5次相遇；

如果从同一起点出发同向而行，那么经过1小时才第一次追上.请问，小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？

【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少.想一想，跑道的周长是一个确定的数吗？

如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？

例题6

如图，一个正方形房屋的边长为12米.阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每秒钟行3米.问：

阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发

点多少米？

例题5.小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快.如果从同一起点出发背向而行，1小时后正好第5次相遇；

如图，一个正方形房屋的边长为12米.阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每秒钟行3米.问：