高考数学江苏省理科试题及答案解析版Word格式文档下载.docx
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•••{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1+a22=-3,S5=10,
8]+(a^+d)'
二-3••5托4,
5哲■尹左10
解得a仁-4,d=3,
•a9=-4+8X3=20.
【2016江苏(理)】定义在区间[0,3冗]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是—.
【答案】7
画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0,3n上的图象如下:
【2016江苏(理)】如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆‘1+-’=1(a>
b>
0)的
【答案】
2),
由/BFC=90°
可得kBF?
kCF=-1,
即有
_:
_=-1
=1,
22°
化简为b2=3a2-4c2,
由b2=a2-c2,即有3c2=2a2,
I匕
【答案】-二
,其中a€R,若f(-吕)=f(半),则f(5a)的值是
f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)
•-a_,
得
rs-2
[尸3
[x-2^4=0
:
-
作出不等式组对应的平面区域,
设Z=x2+y2,则Z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方,由图象知A到原点的距离最大,
点O到直线BC:
2x+y-2=0的距离最小,
,即A(2,3),此时z=22+32=4+9=13,
则z=d2=一)2=十,
故Z的取值范围是[半,13],
故答案为:
[一,13].
【2016江苏(理)】如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,
-.?
-.=4,°
T?
i;
=-1,则n的值是_.
【答案】丄
s
•/D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,
•••¥
=□+『.卜=-二+5,
「=.1-0+3I'
=-U1+3'
.•.干?
飞=:
卩2-「2=-i,
'
;
?
'
「.=9下2-辰¥
=4,
s8:
r
|—■|—■冃||jw|iH
又•••i+2|I,:
=-+2,,
【2016江苏(理)】在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,贝UtanAtanBtanC的最小值是.
【答案】8
由sinA=sin(n-A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,sinA=2sinBsinC,可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,①
由三角形ABC为锐角三角形,则cosB>
0,cosC>
0,
在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC,
又tanA=-tan(n-A)=-tan(B+C)=②,
1-tanBtanC
则tanAtanBtanC=-
门■'
?
tanBtanC,
2(tat^BtanC)2
1一tanBtanC
由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=-
令tanBtanC=t,由A,B,C为锐角可得tanA>
0,tanB>
0,tanC>
0,由②式得1-tanBtanCV0,解得t>
1,
=-
R
tanAtanBtanC=-
(丄迪21
「由t>
12**得,-
严=
因此tanAtanBtanC的最小值为8,
当且仅当t=2时取到等号,此时tanB+tanC=4,tanBtanC=2,
解得tanB=2+工,tanC=2—『.,tanA=4,(或tanB,tanC互换),此时A,B,
C均为锐角.
sinB=
■、解答题(共6小题,满分90分)
4TT
【2016江苏(理)】在厶ABC中,AC=6,cosB—,C^.
54
(1)求AB的长;
(2)求cos(A-丄)的值.
6
…cos
BC的中点,
【2016江苏(理)】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,点F在侧棱B1B上,且B1D丄A1F,A1C1丄A1B1.求证:
(1)直线DE//平面A1C1F;
(2)平面B1DE丄平面A1C1F.
(1)•/D,E分别为AB,BC的中点,
•••DE为仏ABC的中位线,
•••DE//AC,
•••ABC-A1B1C1为棱柱,
•AC//A1C1,
•DE//A1C1,
•/A1C1?
平面A1C1F,且DE?
平面A1C1F,
•DE//A1C1F;
(2)tABC-A1B1C1为直棱柱,
•AA1丄平面A1B1C1,
•AA1丄A1C1,
又TA1C1丄A1B1,且AA1AA1B1=A1,AA1、A1B1?
平面AA1B1B,
•A1C1丄平面AA1B1B,
•/DE//A1C1,
•DE丄平面AA1B1B,又•••A1F?
平面AA1B1B,
•DE丄A1F,
又TA1F丄B1D,DEAB1D=D,且DE、B1D?
平面B1DE,
•A1F丄平面B1DE,又TA1F?
平面A1C1F,•平面B1DE丄平面A1C1F.
【2016江苏(理)】现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高010是正四棱锥的高PO1的4倍.
(1)若AB=6m,P01=2m,则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当P01为多少时,仓库的容积最大?
(1)•/POi=2m,正四棱柱的高010是正四棱锥的高PO1的4倍.
/•0i0=8m,
•••仓库的容积V=2>
62>
2+62^8=312m3,
3
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,
设P01=xm,
则010=4xm,A101=I-m,A1B1=下,-m,
则仓库的容积V=gX(近剤3"
/)2?
x+(近勾36—F)2?
4x=—^x3+312x,(Ovx
3「「■3
v6),
•V=-26x2+312,(Ovxv6),
当Ovxv2.时,V'
>
0,V(x)单调递增;
当2:
;
vxv6时,V'
v0,V(x)单调递减;
故当x=2一时,V(x)取最大值;
即当P01=2._;
m时,仓库的容积最大.
【2016江苏(理)】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:
x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于0A的直线I与圆M相交于B、C两点,且BC=0A,求直线I的方程;
(3)设点T(t,0)满足:
存在圆
M上的两点P和Q,使得•:
+“「=•i.i,求实数t的取值
(1)•••N在直线x=6上,•设N(6,n),
•••圆N与x轴相切,•••圆N为:
(x-6)2+(y-n)2=n2,n>
又圆N与圆M外切,圆M:
x2+y2-12x-14y+60=0,即圆M:
((x-6)2+(x-7)2=25,
•|7—n|=|n|+5,解得n=1,
•••圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)由题意得0A=2口,k°
A=2,设I:
y=2x+b,
则|BC|=2•.辭
BC=2「,,即
则圆心M到直线l的距离:
解得b=5或b=-15,
•直线l的方程为:
y=2x+5或y=2x-15.
f(x)=ax+bx(a>
0,b>
0,a为,b为).
(3)INI^=li,即t】_t「一“即「〔FlMl,
II4=I:
I'
,
又底Ho,即J(我—2]打牡削,解得t€[2-2阿,2+2阿],
对于任意t€[2-2阿,2+2届],欲使冠二而,
此时,I丑鬥0,只需要作直线TA的平行线,使圆心到直线的距离为
必然与圆交于P、Q两点,此时|」=|川,即Z—ll.i,
因此实数t的取值范围为t€[2-2「,2+2.「],.【2016江苏(理)】已知函数
(1)设a=2,b=_.
1求方程f(x)=2的根;
2若对于任意x€R,不等式f
(2)若0vav1,b>
1,函数
②不等式f(2x)初f
(x)-6恒成立,即-二
2钥
令t=^十丄,t支.
2k
)-6恒成立.
湘(_
则h(x)是递增函数,而,Inav0,Inb>
0,因此,X0=__-
lnb
a
1时,h(x0)=0,
x
因此x€(—a,xo)时,h(x)v0,aInb>
0,贝Ug'
(x)v0.x€(xo,+a)时,h(x)>
0,axlnb>
0,则g'
(x)>
0,则g(x)在(-a,x0)递减,(x0,+a)递增,因此g(x)的最小值为:
g(x0).
①若g(x0)v0,xvIoga2时,ax>
_"
、=2,bx>
0,则g(x)>
0,
因此xivIoga2,且xivx0时,g(xi)>
0,因此g(x)在(xi,x0)有零点,则g(x)至少有两个零点,与条件矛盾.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对任意正整数k(1惑000),若T?
{1,2,…,k},求证:
Stv&
+1;
(3)设C?
U,D?
U,SC爲D,求证:
SC+SCP壹sd.
(1)当T={2,4}时,ST=a2+a4=a2+9a2=30,
因此a2=3,从而a1=.=1,
(2)
2k—1
Stoh+a2+--ak=1+3+3+--+3
~_1
2~
k
v3=ak+1
故an=3n1,
(3)设A=?
c(CAD),B=?
d(CAD),则AAB=?
分析可得Sc=Sa+Scad,Sd=Sb+Scpd,贝ySc+Scad—2Sd=Sa—2Sb,因此原命题的等价于证明SC^SB,
由条件Sc^Sd,可得Sa爲b,
1、若B=?
贝USB=0,故SA支SB,
2、若B老,由Sa^Sb可得A老,设A中最大元素为I,B中最大元素为m,若m半1,则其与SAvai+1毛m<
SB相矛盾,
SB<
a1+a2+-am=1+3+32+1
a»
+l
=2
即SA支SB,
因为AAB=?
所以I剂,则I初+1,
综上所述,Sa丝Sb,
故Sc+SCPD丝SD.
附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.【选修4—1几何证明选讲】
【2016江苏(理)】如图,在△ABC中,/ABC=90°
BD丄AC,D为垂足,E为BC的中点,求证:
/EDC=/ABD.
因为E为BC的中点,所以DE=CE=2bC,
则:
/edc=/C,
由/BDC=90°
可得/C+ZDBC=90°
由ZABC=90°
可得ZABD+ZDBC=90°
因此Zabd=ZC,而Zedc=ZC,所以,Zedc=zabd.
【2016江苏(理)】在平面直角坐标系
xOy中,已知直线I的参数方程为
(t为
B.【选修4—2:
矩阵与变换】
点,求线段AB的长.
代入①并整理得,)-:
I.
【解析】解:
V3^-y-后Q
联立
,解得
两式平方相加得
•「.
7
•|AB|=—「「,,I二.
【2016江苏(理)】设a>
0,|x—1|<
—,|y—2|v卫,求证:
|2x+y—4|va.
【解析】证明:
由a>
0,|x—1|v寻|y-2|v冷,
Jo
、〒口口亠一、cI__,1一巴
【3
可得|2x+y—4|=|2(x—1)+(y—2)|
2s
!
+
€|x—l|+|y-2|V
=a,
则|2x+y—4|va成立.
附加题【必做题】
【2016江苏(理)】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:
x—y—2=0,抛物线C:
y=2px(p>
0).
(1)若直线I过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
(2)已知抛物线C上存在关于直线I对称的相异两点P和Q.
①求证:
线段PQ的中点坐标为(2—p,—p);
x-y-2=0,「.l与x轴的交点坐标(2,0),0).
•••抛物线C:
y=8x.
f2Vi
k_叮
■y
丫2
kPQ一
yJ-
y2
屮yj
I2p_
2p
即:
又•••P,Q关于直线l对称,
.线段PQ的中点坐标为(2—p,_p);
②因为Q中点坐标(2—p,—p).
(2)设m,n€N*,n>
n,求证:
(m+1)C
:
+(m+2)C+(m+3)C
+・・+nC|+
n'
I
\17
1
(n+1)C
一(3X2X144X3X2X1
=7>
20_4X35=0.
证明:
(2)对任意m€N*,
①当n=m时,左边=(m+1)C:
=m+1,右边=(m+1)C:
=m+1,等式成立.
②假设n=k(k湘)时命题成立,
即(m+1)C+(m+2)C+(m+3)
JILJl+L
C加+"
kCt-i+(k+1)C,=(m+1)C:
当n=k+1时,
左边=(m+1)
+(m+3)
,■二+(m+2
VJ1L
+(k+1)
+(k+2)
=(^ft)C;
+(kf2)c£
i,
右边=;
」二春
•••(毗C豔-(讯)C常
[k+3-(k—m+1)]
=(k+2)c角,
]
(nrl-2)!
(k_id)I•'
•(讨1)C?
*(k+2)蹲十1=
(m+1)i:
一:
•••左边=右边,
•••n=k+1时,命题也成立,
•m,n€N*,ng(m+1)C二+(m+2)C
血
a+1
+(m+3)C=
+・・+nC九’
n~1
+(n+1)C二=
n
(m+1)C
])l+2
n+2
(共14小题,每小题5分,满分70分)
1.
2.
、填空题
【2016江苏(理)】已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2<
xV3},则AAB=
【2016江苏(理)】复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是
3.
【2016江苏(理)】在平面直角坐标系xOy中,双曲线专■-
=1的焦距是
4.【2016江苏(理)】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是
5.【2016江苏(理)】函数y=:
「.-的定义域是
6.【2016江苏(理)】如图是一个算法的流程图,则输出的a的值是
7.【2016江苏(理)】将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6
个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是
8【2016江苏(理)】已知{an}是等差数列,S是其前n项和,若a1+a2=-3,S5=10,则a9的值是.
9.[2016江苏(理)】定义在区间[0,3冗]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点
个数是.
t2肿
10.[2016江苏(理)】如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆—亠=1(a>
b>
0)
a2b2
的右焦点,直线y=^与椭圆交于B,C两点,且/BFC=90°
则该椭圆的离心率
-2y+4>
12.[2016江苏(理)】已知实数X,
y满足伍+y-2>
0,则x2+y2的取值范围
3x-y-3<
Q
是.
13.[2016江苏(理)】如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分
点,•⑦「=4,丨=-1,贝U卜.?
』的值是
14.
ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小
【2016江苏(理)】在锐角三角形值是.
二、解答题(共6小题,满分90分)
47T
15.【2016江苏(理)】在厶ABC中,AC=6,cosB==,C=一.
TT
(2)求cos(A-一)的值.
16.【2016江苏(理)】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D丄A1F,A1C1丄A1B1.求证:
(1)直线DE//平面A1C1F;
G
(2)平面B1DE丄平面A1C1F.
17.【2016江苏(理)】现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高010是正四棱锥的高PO1的4倍.
(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?
22
18.【2016江苏(理)】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:
x+y
-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(2)设平行于OA的直线I与圆M相交于B、C两点,且BC=OA,求直线I的方程;
(3)
(a>
0,b>
0,a力,b詞).
已知函数f(x)=ax+bx
设点T(t,0)满足:
存在圆M上的两点P和Q,使得订|+「=Ti,求实数t的取值
2若对于任意x€R,不等式f(2x)湘f(x)-6恒成立,求实数m的最大值;
(2)若Ovav1,b>
1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.
20.
【2016江苏(理)】记U={1,2,…,100},对数列{an}(n3*)和U的子集T,若T=?
ST=a1+a3+a66.现设{an}(n€N)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,St=30.
(2)对任意正整数k(1惑O00),若T?
Stvek+1;
U,Sc^Sd,求证:
Sc+Scpd^2Sd.
附加题【选做题】本题包括