高三数学理第三轮复习 函数与方程思想教案.docx

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高三数学理第三轮复习函数与方程思想教案

2019-2020年高三数学理第三轮复习函数与方程思想教案

¤专题剖析：

函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.

运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到：

（1）深刻理解函数f（x）的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.

（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.

[典型例题]

例1、关于x的方程的两根满足，则k的取值范围是（）A．B．C．D．

例2、动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（）

例3、关于x的不等式2·32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，求实数a的取值范围

例4、已知函数f（x）=x2–（m+1）x+m（m∈R）

（1）若tanA、tanB是方程f（x）+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角。

求证：

m≥5；

（2）对任意实数α,恒有f（2+cosα）≤0，证明m≥3；

（3）在

（2）的条件下，若函数f（sinα）的最大值是8，求m

[自我演练]

1、已知函数f（x）=loga［–（2a）x］对任意x∈［,+∞）都有意义，则实数a的取值范围是（）

A（0,B（0,）C［,1D（,）

2、函数f（x）的定义域为R，且x≠1，已知f（x+1）为奇函数，当x＜1时，f（x）=2x2–x+1，那么当x＞1时，f（x）的递减区间是（）

A［，+∞B（1,C［,+∞D（1,］

3、若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）

A．B．

C．D．

4、如果y=1–sin2x–mcosx的最小值为–4，则m的值为

5、当时，不等式恒成立，则的取值范围是

6、设集合A={x｜4x–2x+2+a=0,x∈R}

（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；

（2）若对于任意a∈B，不等式x2–6x＜a（x–2）恒成立，求x的取值范围

7、已知二次函数f（x）=ax2+bx（a,b为常数，且a≠0）满足条件:

f（x–1）=f（3–x）且方程f（x）=2x有等根

（1）求f（x）的解析式；

（2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由

函数与方程思想参考答案：

例1：

解：

设函数，∵关于x的方程的两根满足，∴即∴，故选择。

例2：

解：

设正方体的棱长为，由图形的对称性知点始终是的中点，而且随着点从点向的中点滑动，值逐渐增大到最大，再由中点向点滑动，而逐渐变小，排除，把向平面内正投影得，则=，由于，∴，所以当时，为一次函数，故选

例3：

解析：

设t=3x，则t∈［1,3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］

等价于a2–a–3大于f（t）=–2t2+t在［1,3］上的最大值答案：

（–∞,–1）∪（2,+∞）

例4：

（1）证明f（x）+4=0即x2–（m+1）x+m+4=0依题意：

又A、B锐角为三角形内两内角∴＜A+B＜π

∴tan（A+B）＜0，即

∴∴m≥5

（2）证明∵f（x）=（x–1）（x–m）又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f（2+cosα）≤0

即1≤x≤3时，恒有f（x）≤0即（x–1）（x–m）≤0∴m≥x但xmax=3，∴m≥xmax=3

（3）解：

∵f（sinα）=sin2α–（m+1）sinα+m=

且≥2,∴当sinα=–1时，f（sinα）有最大值8即1+（m+1）+m=8，∴m=3

[自我演练]

1解析：

考查函数y1=和y2=（2a）x的图象，显然有0＜2a＜1

由题意得a=，再结合指数函数图象性质可得答案答案：

B

2解析由题意可得f（–x+1）=–f（x+1）令t=–x+1，则x=1–t，故f（t）=–f（2–t），即f（x）=–f（2–x）当x＞1,2–x＜1，于是有f（x）=–f（2–x）=–2（x–）2–，其递减区间为［，+∞）答案：

C

3、解：

因为，用替换得：

因为函数分别是上的奇函数、偶函数，所以，又

解得：

，而单调递增且，∴大于等于0，而，故选。

4、解析原式化为当＜–1,ymin=1+m=–4m=–5

当–1≤≤1,ymin==–4m=±4不符当＞1，ymin=1–m=–4m=5

答案±5

5、解：

构造函数：

．由于当时，不等式恒成立，等价于在区间上函数的图象位于轴下方，由于函数的图象是开口向上的抛物线，故只需，解得．

6、解：

（1）令2x=t（t＞0），设f（t）=t2–4t+a由f（t）=0在（0,+∞）有且仅有一根或两相等实根，则有①f（t）=0有两等根时，Δ=016–4a=0a=4验证t2–4t+4=0t=2∈（0,+∞），这时x=1

②f（t）=0有一正根和一负根时,f（0）＜0a＜0

③若f（0）=0，则a=0，此时4x–4·2x=02x=0（舍去），或2x=4,∴x=2，即A中只有一个元素综上所述，a≤0或a=4，即B={a｜a≤0或a=4}

（2）要使原不等式对任意a∈（–∞,0］∪｛4｝恒成立即g（a）=（x–2）a–（x2–6x）＞0恒成

只须＜x≤2

7、解：

（1）∵方程ax2+bx=2x有等根，∴Δ=（b–2）2=0,得b=2

由f（x–1）=f（3–x）知此函数图像的对称轴方程为x=–=1得a=–1，故f（x）=–x2+2x

（2）f（x）=–（x–1）2+1≤1，∴4n≤1，即n≤而抛物线y=–x2+2x的对称轴为x=1

∴n≤时，f（x）在［m,n］上为增函数若满足题设条件的m,n存在，则

又m＜n≤,∴m=–2,n=0，这时定义域为［–2,0］，值域为［–8,0］

由以上知满足条件的m、n存在，m=–2,n=0

来源：

2019-2020年高三数学理第三轮复习分类讨论思想教案

¤专题剖析：

分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”.

应用分类讨论思想方法解决数学问题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，确保分类的科学，既不重复，又不遗漏.如何实施正确分类，解题时需要我们首先明确讨论对象和需要分类的全体，然后确定分类标准与分类方法，再逐项进行讨论，最后进行归纳小结.

常见的分类情形有：

按数分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等.分类讨论思想方法可以渗透到高中数学的各个章节，它依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.

[典型例题]

例1、若函数在其定义域内有极值点，则a的取值为

例2、先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为．

（1）求直线与圆相切的概率；

（2）将,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．

例3、设函数f（x）=x2+｜x–a｜+1，x∈R

（1）判断函数f（x）的奇偶性；

（2）求函数f（x）的最小值

[自我演练]

1、至少有一个正的实根的充要条件是（）

A．B．C．D．

2、四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）

A150种B147种C144种D141种

3、已知线段AB在平面α外，A、B两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面α的距离为

4、设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为

5、解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0

6、函数在上有最大值，则实数a的取值范围为

7、已知集合A={x｜x2–3x+2=0},B={x｜x2–ax+（a–1）=0}，C={x｜x2–mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，则a的值为_____，m的取值范围为________

8、已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：

x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与｜MQ｜的比等于常数λ（λ＞0）求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线

分类讨论思想参考答案

例1：

解析：

即f（x）=（a–1）x2+ax–=0有解当a–1=0时，满足当a–1≠0时，只需Δ=a2–（a–1）＞0答案：

或

例2：

解：

（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为,事件总数为6×6=36．

∵直线与圆相切的充要条件是即：

，由于∴满足条件的情况只有；或两种情况．

∴直线与圆相切的概率是

（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为,事件总数为6×6=36．

∵三角形的一边长为5

∴当时，1种

当时，1种

当时，2种

当时，2种

当时，6种

当a=6时，2种

故满足条件的不同情况共有14种答：

三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为．

例3：

解：

（1）当a=0时，函数f（–x）=（–x）2+｜–x｜+1=f（x），此时f（x）为偶函数

当a≠0时，f（a）=a2+1,f（–a）=a2+2｜a｜+1f（–a）≠f（a）,f（–a）≠–f（a）

此时函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数

（2）①当x≤a时，函数f（x）=x2–x+a+1=（x–）2+a+

若a≤，则函数f（x）在（–∞,a］上单调递减从而函数f（x）在（–∞,a上的最小值为f（a）=a2+1

若a＞，则函数f（x）在（–∞,a上的最小值为f（）=+a，且f（）≤f（a）

②当x≥a时，函数f（x）=x2+x–a+1=（x+）2–a+

若a≤–，则函数f（x）在［a,+∞］上的最小值为f（–）=–a，且f（–）≤f（a）；

若a＞–，则函数f（x）在［a,+∞）单调递增从而函数f（x）在［a,+∞］上的最小值为f（a）=a2+1

综上，当a≤–时，函数f（x）的最小值为–a；

当–＜a≤时，函数f（x）的最小值是a2+1；当a＞时，函数f（x）的最小值是a+

[自我演练]

1、解：

当时，方程为，满足。

当时，至少有一个正的实根，设，当时，∵，∴一定有一个正的实根；当时，∵，∴即，综上，故选B

2、解析任取4个点共C=210种取法四点共面的有三类：

（1）每个面上有6个点，则有4×C=60种取共面的取法；

（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种答案：

D

3、解析:

分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况解决答案:

1或2

4、解：

若，则不论取何值，≥0显然成立；当即时，≥0可化为：

设，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；

当x＜0即时，≥0可化为，

在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4