最新高考数学一二轮复习热点题型精讲精练专题三十三 数列及其综合应用.docx

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最新高考数学一二轮复习热点题型精讲精练专题三十三数列及其综合应用

专题三十三数列及其综合应用

【高频考点解读】

能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．

【热点题型】

题型一数列综合应用题

例1、已知log2x，log2y,2成等差数列，则M（x，y）的轨迹的图象为（　　）

【提分秘籍】数列综合应用题的解题步骤

1．审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题．

2．分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．

3．求解——分别求解这些小题或这些“步骤”，从而得到整个问题的解答．

4.数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解．

【举一反三】

数列1,1＋2,1＋2＋22,1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn＞1020，那么n的最小值是（　　）

A．7　　　　B．8　　　　C．9　　　　D．10

【热点题型】

题型二常见的数列模型

例2、有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（　　）

A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟

解析：

设至少需要n秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴≥100，∴n≥7.

答案：

B

【提分秘籍】

1．等差数列模型：

通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题．

2．等比数列模型：

通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题．

3．递推公式模型：

通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推表达出来，然后通过分析递推关系式求解．

4．分期付款模型

设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则b＝a.

【举一反三】

等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4＝________.

【热点题型】

题型三等差与等比数列的综合问题

例3、（年高考浙江卷）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．

（1）求d，an；

（2）若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.

【解析】

（1）由题意得，5a3·a1＝（2a2＋2）2，即d2－3d－4＝0，

故d＝－1或d＝4.

所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.

【提分秘籍】

对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前n项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．

【举一反三】

已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则＝（　　）

A．2　　　　B．3　　　　C．5　　　　D．6

【热点题型】

题型四数列与函数的综合应用

例4、已知函数f（x）＝lnx的图象是曲线C，点An（an，f（an））（n∈N*）是曲线C上的一系列点，曲线C在点An（an，f（an））处的切线与y轴交于点Bn（0，bn）．若数列{bn}是公差为2的等差数列，且f（a1）＝3.

（1）分别求出数列{an}与数列{bn}的通项公式；

（2）设O为坐标原点，Sn表示△OAnBn的面积，求数列{anSn}的前n项和Tn.

由f（a1）＝3得lna1＝3，故b1＝2，再由数列{bn}是公差为2的等差数列得bn＝2＋2（n－1）＝2n，于是由2n＝lnan－1得an＝e2n＋1.

【提分秘籍】

解决函数与数列的综合问题应该注意的事项

（1）数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；

（2）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；

（3）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化．

【举一反三】

（年高考全国新课标卷Ⅱ）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．

【热点题型】

题型五数列的实际应用

例5、某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：

第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍，工作时间为n天．

（1）设工作n天，记三种付酬方式薪酬总金额依次为An，Bn，Cn，写出An，Bn，Cn关于n的表达式；

（2）如果n＝10，你会选择哪种方式领取报酬？

【提分秘籍】

求解数列应用问题，必须明确属于哪种数列模型，是等差数列，还是等比数列；是求通项问题，还是求项数问题，或者是求和问题．然后将题目中的量建立关系，利用数列模型去解决．

【举一反三】

根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（单位：

万件）近似地满足Sn＝（21n－n2－5）（n＝1,2，…，12）．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（　　）

A．5月、6月　　　B．6月、7月

C．7月、8月D．8月、9月

【高考风向标】

1．（·湖南卷）已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.

（1）若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；

（2）若p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．

2．（·安徽卷）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.

（1）证明：

当x＞－1且x≠0时，（1＋x）p＞1＋px；

（2）数列{an}满足a1＞c，an＋1＝an＋a，证明：

an＞an＋1＞c.

（2）方法一：

先用数学归纳法证明an>c.

综上所述，an>an＋1>c，n∈N*.

综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>an＋1>c均成立．

3．（·湖北卷）已知等差数列{an}满足：

a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式．

（2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？

若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

4．（·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.

（1）令cn＝，求数列{cn}的通项公式；

（2）若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.

【解析】

（1）因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0（n∈N*），所以－＝2，即cn＋1－cn＝2，

所以数列{cn}是以c1＝1为首项，d＝2为公差的等差数列，故cn＝2n－1.

（2）由bn＝3n－1，知an＝（2n－1）3n－1，于是数列{an}的前n项和Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋（2n－1）×3n－1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋（2n－3）×3n－1＋（2n－1）×3n，将两式相减得－2Sn＝1＋2×（31＋32＋…＋3n－1）－（2n－1）×3n＝－2－（2n－2）×3n，

所以Sn＝（n－1）3n＋1.

5．（·新课标全国卷Ⅱ]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.

（1）证明是等比数列，并求{an}的通项公式；

（2）证明＋＋…＋＜.

6.（·四川卷）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）＝2x的图像上（n∈N*）．

（1）若a1＝－2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图像上，求数列{an}的前n项和Sn；

（2）若a1＝1，函数f（x）的图像在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.

从而an＝n，bn＝2n，

所以数列{}的通项公式为＝，

7．（·浙江卷）已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝（）bn（n∈N*）．若{an}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2.

（1）求an与bn.

（2）设cn＝－（n∈N*）．记数列{cn}的前n项和为Sn.

（i）求Sn；

（ii）求正整数k，使得对任意n∈均有Sk≥Sn.

8．（年高考辽宁卷）下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：

P1：

数列{an}是递增数列；

P2：

数列{nan}是递增数列；

P3：

数列{}是递增数列；

P4：

数列{an＋3nd}是递增数列．

其中的真命题为（　　）

A．p1，p2B．p3，p4

C．p2，p3D．p1，p4

9．（年高考重庆卷）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.

10．（年高考广东卷）设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.

（1）求a2的值；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）证明：

对一切正整数n，有＋＋…＋<.

【随堂巩固】

1．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f（x）＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b8＋a9＝（　　）

A．24　　　　　　　　　B．32

C．48D．64

2．已知数列{an}为等差数列，数列{bn}是各项为正数的等比数列，其公比q≠1，若a4＝b4，a12＝b12，则（　　）

A．a8＝b8B．a8>b8

C．a8b8或a8

解析：

∵{bn}为等比数列，其公比q≠1，∴b4≠b12，

∴a4≠a12，∴a8＝>＝＝b8.

答案：

B

3．已知正项等差数列{an}满足：

an＋1＋an－1＝a（n≥2），等比数列{bn}满足：

bn＋1bn－1＝2bn（n≥2），则log2（a2＋b2）＝（　　）

A．－1或2B．0或2

C．2D．1

4．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则q的值为（　　）

A.B.

C.D.或

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若b＝，则a＋c的最大值为（　　）

A.B．3

C．2D．9

6．若关于x的方程x2－x＋a＝0与x2－x＋b＝0（a≠b）的四个根组成首项为的等差数列，则a＋b的值是（　　）

A.B.

C.D.

7．已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝.若函数f（x）＝sin2x＋2cos2，记yn＝f（an），则数列{yn}的前9项和为（　　）

A．0B．－9

C．9D．1

8．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：

“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则每天比前一天多织________尺布．（不作近似计算）

解析：

由题意知，a1＝5，n＝30，Sn＝390＝30×5＋d⇒d＝.

答案：

9．已知数列{an}满足anan＋1an＋2an＋3＝24，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，则a1＋a2＋a3＋…＋a2013＝________.

10．已知公比为q的等比数列{an}的前6项和S6＝21，且4a1，a2，a2成等差数列