新教材高中数学北师大版选择性必修一学案第六章31离散型随机变量的均值含答案文档格式.docx
《新教材高中数学北师大版选择性必修一学案第六章31离散型随机变量的均值含答案文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新教材高中数学北师大版选择性必修一学案第六章31离散型随机变量的均值含答案文档格式.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（2）随机变量的均值与样本平均值有什么区别？
随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．
2．均值的性质
（1）如果X为（离散型）随机变量，则Y＝aX＋b（a，b为常数）也是随机变量，并且有EY＝E（aX＋b）＝aEX＋b．
（2）对于任意实数a，b，X，Y都是随机变量，一定有E（aX＋bY）＝aEX＋bEY.
1．辨析记忆（对的打“√”，错的打“×
”）
（1）随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的变化而变化．（ ）
（2）随机变量的均值反映样本的平均水平．（ ）
（3）若随机变量X的数学期望EX＝2，则E（2X）＝4.（ ）
（4）随机变量X的均值EX＝
.（ ）
（1）×
.随机变量的数学期望EX是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征．
（2）×
.随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．
（3）√.由均值的性质可知．
（4）×
.因为EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
2．已知某一随机变量ξ的分布列如表所示，若Eξ＝6.3，则a的值为（ ）
ξ
a
7
9
b
0.1
0.4
A.4 B．5 C．6 D．7
【解析】选A.根据随机变量ξ的分布列的性质，可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5，又Eξ＝ab＋7×
0.1＋9×
0.4＝6.3.所以a＝4.
3．（教材例题改编）若随机变量X的分布列为
1
2
3
则X的数学期望EX＝（ ）
A．2a＋bB．a＋2bC．2D．3
【解析】选C.由EX＝X1P（X1）＋X2P（X2）＋…＋XnP（Xn），
所以EX＝1×
a＋2×
b＋3×
a＝2（2a＋b），而2a＋b＝1，所以EX＝2.
4．设EX＝10，则E（3X＋5）＝________．
【解析】E（3X＋5）＝3EX＋5＝3×
10＋5＝35.
答案：
35
5．盒子里有4个球，其中1个红球、1个绿球、2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P（ξ＝0）＝________；
Eξ＝________．
【解析】因为ξ＝0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球、第二次拿红球，所以P（ξ＝0）＝
＋
×
＝
，
随机变量ξ＝0，1，2，
P（ξ＝1）＝
P（ξ＝2）＝1－
－
所以Eξ＝0×
＋1×
＋2×
＝1.
1
关键能力·
合作学习
类型一 求离散型随机变量的均值（数学运算）
1．（2021·
武汉高二检测）某篮球运动员每次投篮未投中的概率为0.3，投中2分球的概率为0.4，投中3分球的概率为0.3，则该运动员投篮一次得分的数学期望为（ ）
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8
2．已知离散型随机变量X的分布列为
m
A．
B．1C．
D．2
3．某地最近出台一项机动车驾照考试规定：
每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．
【解析】1.选C.由已知得EX＝0×
0.3＋2×
0.4＋3×
0.3＝1.7.
2．选B.由
＋m＋
＝1，得m＝
所以EX＝0×
＋3×
3．X的取值分别为1，2，3，4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（X＝1）＝0.6.
X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P（X＝2）＝（1－0.6）×
0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P（X＝3）＝（1－0.6）×
（1－0.7）×
0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P（X＝4）＝（1－0.6）×
（1－0.8）＝0.024.
所以李明实际参加考试次数X的分布列为
k
4
P（X＝k）
0.6
0.28
0.096
0.024
所以X的均值为EX＝1×
0.6＋2×
0.28＋3×
0.096＋4×
0.024＝1.544.
求离散型随机变量X的均值的步骤
（1）理解X的实际意义，并写出X的全部取值．
（2）求出X取每个值的概率．
（3）写出X的分布列（有时也可省略）.
（4）利用定义公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．
类型二 离散型随机变量均值的性质（逻辑推理、数学运算）
【典例】1.（2021·
合肥高二检测）已知随机变量X的分布列如表所示，则E（2X－5）的值等于（ ）
5
0.2
A.1 B．2 C．3 D．4
2．（2021·
太原高二检测）随机变量ξ的分布列如下，且满足Eξ＝2，则E（aξ＋b）的值（ ）
c
A.等于0B．等于1
C．等于2D．无法确定，与a，b有关
【解析】1.选A.由题得0.1＋0.2＋b＋0.2＋0.1＝1，所以b＝0.4，
0.1＋2×
0.2＋3×
0.4＋4×
0.2＋5×
0.1＝3，
所以E（2X－5）＝2EX－5＝2×
3－5＝1.
2．选B.由随机变量ξ的分布列得到：
a＋2b＋3c＝2，又a＋b＋c＝1，解得a＝c，所以2a＋b＝1，所以E（aξ＋b）＝aEξ＋b＝2a＋b＝1.
aX＋b型的随机变量均值的求法
对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E（aX＋b）＝aEX＋b；
也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．
（2021·
天津高二检测）已知离散型随机变量ξ的分布列如下，若随机变量η＝3ξ＋1，则η的数学期望为（ ）
2k
A.3.2 B．3.4 C．3.6 D．3.8
【解析】选B.由题意，根据离散型随机变量的分布列的性质，可得0.4＋2k＋k＝1，解得k＝0.2，所以数学期望为Eξ＝0×
0.4＋1×
0.4＋2×
0.2＝0.8，
又由随机变量η＝3ξ＋1，所以Eη＝3Eξ＋1＝3×
0.8＋1＝3.4.
类型三 离散型随机变量均值的实际应用（数据分析）
【典例】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：
元）为X.
（1）求X的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即X的均值）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
【思路导引】
→
【解析】
（1）X的所有可能取值为6，2，1，－2.
P（X＝6）＝
＝0.63，P（X＝2）＝
＝0.25，P（X＝1）＝
＝0.1，
P（X＝－2）＝
＝0.02.故X的分布列为：
6
－2
0.63
0.25
0.02
（2）EX＝6×
0.63＋2×
0.25＋1×
0.1＋（－2）×
0.02＝4.34.
（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为EX＝6×
0.7＋2×
（1－0.7－0.01－x）＋1×
x＋（－2）×
0.01＝4.76－x（0≤x≤0.29）.
依题意，EX≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
概率模型的三个解答步骤
（1）审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
（2）确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．
（3）对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；
战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士中获胜希望较大的是谁？
【解析】设这次射击比赛战士甲得X1分，战士乙得X2分，则分布列分别如下：
X1
0.5
X2
0.3
根据均值公式得EX1＝1×
0.1＋3×
0.5＝2.1；
EX2＝1×
0.6＋3×
0.3＝2.2；
因为EX2＞EX1，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，
所以战士乙获胜的希望较大．
备选类型 利用基本不等式解决与离散型随机变量有关的最值问题（数学运算）
【典例】一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其他得分情况），则ab的最大值为（ ）
B．
C．
D．
【解析】选D.3a＋2b＋0·
c＝2，即3a＋2b＝2，所以6ab≤
＝1，
因此ab≤
，当且仅当3a＝2b时取等号．
本典例中条件不变，求
的最小值．
（6＋
）≥
，当且仅当
时取等号．
所以
的最小值为
.
先根据数学期望公式得等量关系，再根据基本不等式求最值
课堂检测·
素养达标
1．已知Y＝5X＋1，EY＝6，则EX的值为（ ）
B．5 C．1 D．31
【解析】选C.因为EY＝E（5X＋1）＝5EX＋1＝6，所以EX＝1.
2．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则EX为（ ）
A．0.765B．1.75C．1.765D．0.22
【解析】选B.X的取值为0，1，2，所以P（X＝0）＝0.1×
0.15＝0.015，
P（X＝1）＝0.9×
0.15＋0.1×
0.85＝0.22，P（X＝2）＝0.9×
0.85＝0.765，
EX＝0×
0.015＋1×
0.22＋2×
0.765＝1.75.
3．已知0<
a<
，随机变量ξ的分布列如图，则当a增大时，ξ的期望Eξ的变化情况是（ ）
－1
A．Eξ增大B．Eξ减小
C．Eξ先增后减D．Eξ先减后增
【解析】选B.由题意可知
⇒Eξ＝－
－a＝
－a，
所以当a增大时，ξ的期望Eξ减小．
4．某船队若出海后天气好，可获得5000元；
若出海后天气坏，将损失2000元；
若不出海也要损失1000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是（ ）
A．2000元 B．2200元 C．2400元 D．2600元
【解析】选B.出海的期望效益Eξ＝5000×
0.6＋（1－0.6）×
（－2000）
＝3000－800＝2200（元）.
5．某射手射击所得环数X的分布列如下：
8
10
x
y
已知X的均值EX＝8.9，则y的值为________．
【解析】由题意得
即
解得
关闭Word文档返回原板块
升级会员 