最新北师大版高中数学选修11学案第二章 21 抛物线及其标准方程.docx

最新北师大版高中数学选修11学案第二章 21 抛物线及其标准方程.docx

《最新北师大版高中数学选修11学案第二章 21 抛物线及其标准方程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新北师大版高中数学选修11学案第二章 21 抛物线及其标准方程.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

最新北师大版高中数学选修11学案第二章21抛物线及其标准方程

2.1　抛物线及其标准方程

学习目标　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．

知识点一　抛物线的定义

思考1　如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？

思考2　抛物线的定义中，l能经过点F吗？

为什么？

梳理　

（1）定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l（l不过F）的距离________的点的集合叫作抛物线．

（2）焦点：

________.

（3）准线：

________.

知识点二　抛物线的标准方程

思考1　抛物线方程中p有何意义？

抛物线的开口方向由什么决定？

思考2　抛物线标准方程的特点？

思考3　已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？

梳理　抛物线的标准方程有四种类型

图形

标准方程

y2＝2px（p>0）

y2＝－2px（p>0）

x2＝2py（p>0）

x2＝－2py（p>0）

焦点坐标

准线方程

x＝－

x＝

y＝－

y＝

类型一　抛物线定义的解读

例1　方程＝表示的曲线是（　　）

A．圆B．椭圆

C．线段D．抛物线

反思与感悟　根据式子的几何意义，利用抛物线的定义，可确定点的轨迹，注意定义中“点F不在直线l上”这个条件．

跟踪训练1　若动圆与圆（x－2）2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是________．

类型二　抛物线的标准方程及求解

命题角度1　抛物线的焦点坐标或准线方程的求解

例2　已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．

（1）y2＝－6x；

（2）3x2＋5y＝0；

（3）y＝4x2；（4）y＝ax2（a≠0）．

引申探究

1．将例2（4）的方程改为y2＝ax（a≠0）结果如何？

2．将例2（4）的方程改为x2＝ay（a≠0），结果如何？

反思与感悟　如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x（或y），则x轴（或y轴）是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．

跟踪训练2　已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与曲线x2＋y2－6x－7＝0相切，则p为（　　）

A．2B．1

C.D.

命题角度2　求抛物线的标准方程

例3　求满足下列条件的抛物线的标准方程．

（1）过点（－3,2）；

（2）焦点在直线x－2y－4＝0上；

（3）抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线相交于点A，|AF|＝5.

反思与感悟　抛物线标准方程的求法

（1）定义法：

建立适当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．

（2）待定系数法：

由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．

跟踪训练3　根据下列条件，求抛物线的标准方程．

（1）焦点为（－2,0）；

（2）焦点到准线的距离是4；

（3）过点（1,2）．

类型三　抛物线在实际生活中的应用

例4　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m、高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：

水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？

反思与感悟　涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．

跟踪训练4　某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．

1．抛物线y2＋x＝0的开口（　　）

A．向上B．向下

C．向左D．向右

2．抛物线y2＝8x的焦点坐标和准线方程分别为（　　）

A．（1,0），x＝－1B．（2,0），x＝－2

C．（3,0），x＝－3D．（4,0），x＝－4

3．已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则抛物线方程可以为（　　）

A．y2＝xB．y2＝2x

C．x2＝－3yD．x2＝－6y

4．抛物线x2＝8y上的点M到x轴的距离为6，则点M与抛物线的焦点间的距离为________．

5．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：

（1）准线方程为y＝－3；

（2）抛物线与椭圆＋＝1的一个焦点相同．

1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx（m≠0），此时焦点坐标为F（，0），准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my（m≠0），此时焦点为F（0，），准线方程为y＝－.

2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫作抛物线的焦半径．若M（x0，y0）在抛物线y2＝2px（p>0）上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　平面内与一个定点F和一条定直线l（定点不在定直线上）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．

思考2　不能，若l经过点F，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于l的一条直线．

梳理　

（1）相等　

（2）点F　（3）直线l

知识点二

思考1　p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向．

思考2　

（1）原点在抛物线上；

（2）对称轴为坐标轴；（3）p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；（4）准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；（5）焦点、准线到原点的距离都等于.

思考3　一次项变量为x（或y），则焦点在x轴（或y轴）上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．

题型探究

例1　D　[

＝，

它表示点M（x，y）与点F（－3,1）的距离等于点M到直线x－y＋3＝0的距离，且点F（－3,1）不在直线上．

根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线．]

跟踪训练1　抛物线

解析　由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以（2,0）为焦点，x＝－2为准线的抛物线，其方程为y2＝8x.

例2　解　

（1）由方程y2＝－6x，知抛物线开口向左，

2p＝6，p＝3，＝，

所以焦点坐标为（－，0），

准线方程为x＝.

（2）将3x2＋5y＝0化为x2＝－y，

知抛物线开口向下，

2p＝，p＝，＝，

所以焦点坐标为（0，－），

准线方程为y＝.

（3）将y＝4x2化为x2＝y，

知抛物线开口向上，

2p＝，p＝，＝，

所以焦点坐标为（0，），

准线方程为y＝－.

（4）抛物线方程y＝ax2可化为x2＝y，

当a>0时，2p＝，p＝，

故焦点坐标是（0，），

准线方程是y＝－.

当a<0时，2p＝－，p＝－，

故焦点坐标是（0，），

准线方程是y＝－.

综上，抛物线y＝ax2的焦点坐标（0，），

准线方程为y＝－.

引申探究

1．焦点是（，0），准线方程是x＝－.

2．焦点是（0，），准线方程是y＝－.

跟踪训练2　A　[注意到抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，

曲线x2＋y2－6x－7＝0，

即（x－3）2＋y2＝16，

它表示圆心为（3,0），半径为4的圆．

由题意得＝4.

又p>0，因此有＋3＝4，

解得p＝2，故选A.]

例3　解　

（1）当抛物线的焦点在x轴上且过点（－3,2）时，

可设抛物线方程为y2＝－2px（p>0），

把（－3,2）代入得22＝－2p×（－3），

∴p＝，

∴所求抛物线方程为y2＝－x.

当抛物线的焦点在y轴上且过点（－3,2）时，

可设抛物线方程为x2＝2py（p>0），

把（－3,2）代入得（－3）2＝2p×2，

∴p＝，

∴所求抛物线方程为x2＝y.

综上，所求抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.

（2）直线x－2y－4＝0与x轴的交点为（4,0），与y轴的交点为（0，－2），

故抛物线的焦点为（4,0）或（0，－2），

当抛物线的焦点为（4,0）时，

设抛物线方程为y2＝2px（p>0），

∵＝4，∴p＝8，

∴抛物线方程为y2＝16x.

当抛物线的焦点为（0，－2）时，

设抛物线方程为x2＝－2py（p>0），

∵－＝－2，∴p＝4，

∴抛物线方程为x2＝－8y.

综上，所求抛物线方程为y2＝16x或

x2＝－8y.

（3）设所求焦点F在x轴上的抛物线的标准方程为

y2＝2px（p≠0），A（m，－3）．

则由抛物线的定义得

|AF|＝＝5，

∵点A在抛物线上，

∴（－3）2＝2pm，

从而可得p＝±1或p＝±9.

∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.

跟踪训练3　解　

（1）焦点在x轴的负半轴上，

＝2，即p＝4.

所以抛物线的方程是y2＝－8x.

（2）p＝4，抛物线的方程有四种形式：

y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y.

（3）方法一　点（1,2）在第一象限，要分两种情形讨论：

当抛物线的焦点在x轴上时，

设抛物线的方程为y2＝2px（p>0），

则22＝2p·1，解得p＝2，

∴抛物线方程为y2＝4x；

当抛物线的焦点在y轴上时，

设抛物线的方程为x2＝2py（p>0），

则12＝2p·2，解得p＝，

∴抛物线方程为x2＝y.

方法二　设所求抛物线的标准方程为

y2＝mx或x2＝ny，

将点（1,2）代入，得m＝4，n＝，

故所求的方程为y2＝4x或x2＝y.

例4　解　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py（p>0）．由题意可知，点B（4，－5）在抛物线上，故

p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，

设此时船面宽为AA′，则A（2，yA），

由22＝－yA，得yA＝－.

又知船面露出水面上的部分高为0.75m，

所以h＝|yA|＋0.75＝2（m）．

所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航．

跟踪训练4　解　如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py（p>0）．

依题意知，点P（10，－4）在抛物线上，

所以100＝－2p×（－4），2p＝25.

即抛物线方程为x2＝－25y.

因为每4米需用一根支柱支撑，

所以支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.

由图知，AB是最长的支柱之一．

设点B的坐标为（2，yB），

代入x2＝－25y，得yB＝－.

所以|AB|＝4－＝3.84，

即最长支柱的长为3.84米．

当堂训练

1．C　2.B　3.D　4.8

5．解　

（1）准线方程为y＝－3，

则＝3，p＝6，

所以抛物线的标准方程为x2＝12y.

（2）椭圆＋＝1的焦点坐标为F1（1,0），

F2（－1,0），

所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.