不等式选讲解答题20道解析版Word格式文档下载.docx
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.函数:
/(x)=|2k+6]+|2x-4|-11,g(x)=-|x-1|.
⑴请在图中画出y=/(x)和y=g(x)的图象;
⑵假设屋彳+/)工/(力恒成立,求,的取值范围.
g(x)='
-x+l,x>
1x-l,x<
1
4x-9,x^2
(l)/(x)=T,-3<
x<
2—13—4x,xW—3
故/(X)、g(x)的图象如下图:
⑵假设g(x+/)«
/(x)恒成立,那么g(x+f)的图象不在“X)图象的上方,而g(x+f)的图象可由g(x)的图象平移得到,如图,
当g(x+f)的图象的左侧射线过8或在8的下方时或g(x+,)的图象的右侧射线过A或在A的下方时,g(x+。
的图象不在/(力图象的上方,由⑴可得A(-3,-1),8(2,-1),
由g(x)=-|x+T可得-1=+3+1|,解得仁5或,=3(舍,因为此时g(x+。
的图象的左侧射线过A).
由g(x)=—|x+,-l|可得一1=一|2+"
1|,解得,=-2或[=。
(舍,因为此时g(x+,)的图象的右侧射线过4).
结合图象可得Y-2或年5.
3.函数f(x)=x-;
,g(x)=2x-G.
⑴假设[〃x)+g(x)|=|/(x)|+k(x)|,求x的取值范围:
(2)假设2|/(“+k(”|的最小值为M,0<
ni<
Mt求^的最小值.
(1)由题意,|/(x)+g(x)|=|/(x)|+|g(x)|知/(x>
g(x)NO,[-/)(24一6)之。
或"
#,x的取值范围为:
0冬+8)⑵•.•2|〃x)|+|g㈤=|2x-l|+|2x-6同2x-l-0工-@卜G-l,2|/(x)|+|g(x)|的最小值为M,所以-1,
/.—!
—+—=—J——!
—+--/w)+/nl>
+x(I+1+2)=2-75+2
M-mmwJlv7j2v7当且仅当二^-=如士即机=避且时等号成立.所以J—+工的最小值为26+2.M-mm2M-ffiin
4.函数/(x)=W+k-3|.
⑴求不等式"
x)<
4-|X的解集.
⑵假设.f(x)的最小值为加,且实数〃也。
满足〃S+c)=〃7,证明:
2tr+b2+c2..m+3.
(1解:
不等式”x)<
4—W,可化为2国+卜一3k4.
①当工,0时,不等式可化为一2犬-(工一3)<
4,即一31<
1,解得故-;
<
二();
②当0VXV3时,不等式可化为2x—(x—3)v4,解得xvl,故Ovx<
l;
③当x.3时,不等式可化为2x+(x-3)<
4,解得显然与工.3矛盾,不等式无解.综上,不等式〃x)<
4-国的解集为卜;
1).
⑵证明:
由绝对值不等式的性质可得,凶+卜-3|..卜-(工-3)卜3,当且仅当怎*3时取等号,所以当旗收3时,/(力的最小值为3,即〃?
=3,所以a(/?
+c)=3,&
|Jab+ac=3,
所以2/+b2+c2=(/+b~^+^a2+c2y.2ab+2ac=6,即2a?
+b2+c2..m+3,当且仅当a=〃=c=±
如时,等号成立.
2.怎为正实数,x+),=4.
⑴要使不等式*+2卜|。
-1|恒成立,求实数〃的取值范围;
⑵求证:
x2+2/>
^,并指出等号成立的条件.
III(\IL、1公yx
(1)-+—=-—+—(x+y)=-2+—+—Xy41xy)41xy.
当且仅当工=±
,x=),=2时等号成立.所以,+2|-卜-1归1恒成立,%y-3,«
-2
令8(〃)=|〃+2|一,一1|=<
2a+\,-2<
a<
\,由^⑷个解得心。
3,a>
l
所以。
的取值范围是(f,0],
(2)依题意x,y为正实数,x+y=4,所以y=4-x(0<
4),
所以f+2),2=x2+2(4-x)2=3x2-I6x+32=3|x--+—,\3,33
84当x==]时等号成立.
5.函数/(x)=|3x-6|+k+@.
(I)当a=l时,解不等式/(“<
3;
⑵假设不等式〃x)vU-以对任意xe-4,-1成立,求实数。
的取值范围.
-4x+5,x<
-1⑴解:
4=1时,/(x)=|3x-6|+|x+l|=>
-2x+7,-l<
2;
4x-5,x>
当x<
-lH寸,由/(x)<
3得-4x+5<
3,解得(不合题意,舍去);
当T«
2时,由/(力<
3得-2r+7<
3,解得x>
2(不合题意,舍去);
当x>
2时,由/(工)<
3得4x-5<
3,解得x<
所以不等式/(6<
3的解集0;
3一
(2)解:
由/(x)=|3x-6|+|x+4<
1l-4x对任意xe-4,--成立,得一(3天一6)+卜+4<
11-4],即|x+4<
5r,所以,'
,
x-5<
x+a「,3所以《,得。
>
一5且a<
5-2x对任意xw-4,--成立;
即-5<
。
8,
x+a<
5-x2J-
的取值范围是(-5,8).
8.函数/(x)=|x+2|+|2工一(I)当。
=1时,解不等式/。
)<
5;
(2)假设对VxeR,恒成立,求实数。
(1)当。
=1时,/(x)=|x+2|+|2x-l|.
当xW—2时,/(“=-(x+2)—(2x—l)=-3x—l<
5,那么无解.
当一2Vx<
5时,/(x)=x+2-(2x-l)=-x+3<
5,那么一2Vx<
万.
当xN,时,/(x)=x+2+2x-l=3x+I<
5,那么2234
综上所述:
/(“<
5的解集为卜
(2)对任意R,/(刈=,+2|+|2%_司23_々恒成立.
那么等价于/a)minN3—。
当av.4时,f(x)=\x+2\+\2x-a\=<
x-2-d,1<
-3x-2+a,x<
所以小心=/Q卜<
一223一〃,那么无解.
3x+2-a,x>
当a>
-4时,/(x)=|x+2|+|2.r-d|=^-x+2+a,一:
-3.i-2+a,x:
/(加=/图琮+2N3-”,那么〃之|.所以实数a9./(x)=|xT|+2麻+1|(。
0).
(1)当4=1时,求不等式/(力>
5的解集;
⑵假设〃x)>
3d的解集包含[0,1],求。
⑴当4=]时,/(x)=|x-l|+2|x+l|,故当xK—l时,/(a-)>
5,即1—x—2(x+1)>
5,-3.
xW—2,
a
a
2
W-2
1的取值范围为p+00j.
r>
6,解得x<
-2;
3x+2-a,x>
-2
当a=-4时,〃x)=|x+2|+|2x+4|=3|x+2|之7显然不恒成立.
当时,/(x)>
5,即l-x+2x+2>
5,解得x>
2,不等式无解;
当xNl时,/(%)>
5,即x-l+2x+2>
5,即3x>
4,解得x>
g;
综上所述,/(刈>
5的解集为{xlxv-2或x>
g}.
⑵因为/(x)>
3f的解集包含[0』,即对任意的工«
0』,上一1|+2|分+1]>
3/恒成立:
即17+2or+2>
3f,也即城—(2〃-1b-3<
0,对任意的恒成立,故只需-3<
0且3-(2〃-1)-3<
0,解得”;
.故。
的取值范围为+8.
10.函数f(x)=3k-l|+k-2|.
(I)解不等式/(6之6的解集;
(2)/(x)>
2m2-m对任意xsR恒成立,求实数的取值范围.
(1)当xN2时,/(x)=3(x-l)+(x-2)=4x-5>
6即4x211,解得xN,,故此时xN2当14工<
2时,/(x)=3(x-1)4-(2-x)=2x-1>
6
即2人27,解得故此时无解当xvl时,/(x)=3(1-a:
)+(2-x)=-4x+5>
6即4x«
T,解得故此时
44综上所述不等式〃x”6的解集为卜|北2或xW-;
}
⑵当xZ2时,/(x)=3(x-l)+(x-2)=4x-5,此时当户2时,/(另有最小值3,当l〈xv2时,/(x)=3(x-l)+(2-x)=2x-l,此时当x=l时,/(x)有最小值1,当x<
l时,/(x)=3(l-x)+(2-x)=-4x+5,此时当x=l时,/(x)有最小值1,综上所述,/(力的最小值为1/(同22〃一相对任意xwR恒成立,那么122〃/—〃?
,解得一;
WmWl
所以实数机的取值范围是WmW1.函数"
x)=|3x-时+|3]-1|.
⑴假设…1,求不等式〃”>
3的解集;
I/?
(2)假设DxeR,3«
--,f(x+\)>
a+-^-t求实数,”的取值范围.
⑴解:
因为,〃=-1,那么〃x)=|3x-l|+|3x+l|.
当xW—1时,由/(力二1-3x-l-3x=-6x>
3,可得工<
一,,此时x<
一!
;
322当一g(x<
时,由/(x)=l—3x+3x+1=2,此时/(x)>
3无解;
当x2,时,由/(x)=3x-l+3x+l=6x>
3,可得人>
,此时322综上所述,当,〃=-1时,不等式/(x)>
3的解集为
由题可知/(x+l)=|3x+3-〃?
|+|3x+2闫(3x+3-⑼一(3工+2)|二,〃一1|.
22«
+121、-l2a+\2-13“,口/门31„,“•口一小a+----^2J——-=当且仅当时,等号成立.
2。
+122«
+12V22a+\222I2351
VxgR,/(x+l)"
+y^等价于|/〃一1|25,解得机25或一5,乙乙aI-।4/J
故实数,”的取值范围是(—,一;
U3收).
12./。
)=,一1|+
的最小值为机.
(1)求,〃的值;
(2)正实数a,b,c满足a+b+c="
?
求而+/?
c+ca的最大值.
——x,x<
-22
1?
1x+2,-2<
1,那么/(x)而=即〃?
=;
.
N乙乙3,
—x,x>
12
30
⑵由
(1)知:
a+b+c=—,filf(^+^+^)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=—,而ah+be+ca<
a2+b2+c2,那么(a+〃+c)2>
3ab+34c+3bc,313
Aab+bc+ca<
-,当且仅当a=〃=。
=彳时取等号,所以(他+Z?
c+ca)心=:
424.函数/(x)=|21+4|-卜一1|.
(I)求不等式〃6>
0的解集;
(2)假设使〃玉)-,%+4=0,求实数。
(1)当工<
一2时,由/(司>
0,得一2工一4+工一1>
0,解得XV-5,当-2?
x1时,由/(x)>
0,得2x+4+x-l>
0,解得一ivxvl,
当。
之1时,由〃力>
0,得2x+4—x+l>
0,解得xNl,综上,不等式/(力>
0的解集为(yo,-5)U(T+oo)
(2)%eR,使/1)一g)+4=0,那么函数),=/(%)的图象与直线),=at-4有公共点,因为直线丁=”-4恒过点P(0,-4),—x—5,x<
一2
令/(“=•31+3,-2"
1图象的最低点为4-2,-3),那么x+5,x>
直线抬的斜率为3,=:
/(;
)二一:
由图象可知,当aK-g或时,函数y=/(x)的图象与直线y=ar-4有公共点,
13.函数/(x)=|x|-|x+l|+l的最小值为M,最大值为N.
⑴求M,N的值;
⑵假设a+Z?
+c=M,a2+b2+c2=N>
求。
的最大值.
⑴因为llxlTx+l||”lx—1+1)1=1,所以一啜jx|—|x+l|1,所以。
期’"
)2,即M=0,N=2.
(2)由
(1)可知a+/?
+c=O,a2+b2+c2=2,那么Z?
+c=-a,b2+c2=2-a2,
因为亨
〃+cY
所以2-/(~a\,
2J
2k2)
解得一手融
273
3
即。
的最大值为空.3
15.函数/(工)=2,―1|+卜+1|.
⑴求不等式的解集;
(2)假设。
0,b>
0,且〃+力=/
(1),求证:
+4b+i<
2-J1.
—3x+l,x4—1
(l)h^//(^)=2|x-l|+|x+l|=--x+3,-l<
l,3x-l,x>
由f(x)W5,得<
1IrnV
-3x+1<
5
-1<
—x+3K5
或,
3x-l<
4解得一§
W-l或-1vxvl或1WxW2,-4'
所以不等式的解集为-于2.J⑵要证"
TR+历Tv2应,印证(而1+历7)24(2血)2,即证〃+。
+2+24+1・办+148,因为a+b=f(l)=2,
故只需证J(a+l)S+l)W2.由基本不等式可知,府用百万空业=2,当且仅当。
=〃=1时等号成立.故命题得证.
16.己知正数小Ac,"
满足/+/+<
+/=1,证明:
(I)0<
—;
1144
(2)7+F+7V-36-
(1)因为/+。
222加,b2+d2>
2bd,所以〃2+〃+/+/N2ac+2/%/,当且仅当a=h=c="
时,等号成立,
又正数m匕,c,4满足/+6+。
2+/=1,所以0<
"
+"
《今
(2)因为正数a,〃,。
,4满足/+6+。
2+/=],
所以由柯西不等式,可得」T+jr+2B+4r=(42+/r!
+c2+4:
!
)(-!
y+g+=+jra~b~c~d~\\crb~C"
-
17.函数/*)=|2x—4|—|x-3|.
⑴求不等式/*)>
7的解集;
321⑵设函数f(x)的最小值为M.假设正实数小b,。
满足。
+»
+3c-5=M,求二+二+-的abc
最小值.
x-l,x>
3,
3\-7,2瓢3,
-x+l,x<
2,
(2x-4)-(x-3),x>
3,⑴"
x)=.(2x—4)+(%—3),2麴k3,=’-(2x-4)+(x-3),x<
x>
3,2效Jr3,x<
2,
即x>
8或。
或x<
-6,
那么/5)〉7的解集为।;
或,,,或《I?
,x-1>
7[3x-7>
7(-x+l>
7,
综上所述,/3)>
7的解集为{x[x>
8或4<
-6}.
(2)解法一:
由(I)可知当x=2时,/(幻的最小值M=-l,那么勖+3c=4,由柯西不等式得,(〃+2b+3c)f+£
+:
)..向?
+扬+辰#=(x/3+2+a/3)2=16+8>
/3,
当〃=回=3。
时取等号,故3+1+2•的最小值为abc
4+26.
解法二:
由
(1)可知当木=2时,八幻的最小值〃=_],那么3型=L+如3c)代+2+牛牛0+偿+网〕+但+小佟+训..4+2石abc4\cibc)4|_(ab)\ac)\bc)_
当a=血?
=3c,时取等号,即所求最小值为4+2\/5.
18.函数/(x)=|2k+2|-|x-1|.
(I)求不等式/(x"
5的解集:
⑵假设/(x)W2k-4恒成立,求实数。
-X—3,x«
-1⑴由题意知,/(x)=^3x+l,-l<
l,当xW-l时,-x-3>
5,得xW-8;
x+3,x>
2当一lvx<
l时,3x+l>
5,无解;
l时,x+3>
5,得了之2;
综上,不等式/(x”5的解集为(yo,-8]U[2,s);
一x—3一1W—1
⑵由
(1)得/(%)=•3x+l,-l<
x41,x+3,x>
作出y=/(X)和y=2|x-4的图象,其中y=2k一H的图象是由y=2凶的图象平移得到
当a=-3时,两图象交于点(-3,0);
当a=T时,两图象交于点(1,4);
当-3vav-1时,y=2\x-a\^j图象恒在y=f(力图象的上方;
的取值范围是[-3,-1].
19.函数/(x)=|2x-4|+|x+3]的最小值为m.
⑴求小的值;
(2)求证:
当yw(O,D时,匕上+「一之〃?
⑴/(x)=|2x-4|+|x+:
M=U—2|+|x+3|+|x—2Mx+3|+|x-2|>
|(a-4-3)-(x-2)|=5,当且仅当x=2时,等号成立,
所以〃幻有最小值5,即〃?
=5.
・・・”(0,1),
1+y1,II、「Z1xn,o1-yy
―^+--=(-+--心+(1-刈+1=3+—+
—yi-yyi-y23+2」g4=5,当且仅当上2=户,即),=2时取等号,
Vyi-yy-y2即当ye((),l)时,+;
2"
y1-y3
20.〃:
|x-a|>
5,<
7:
2x+9x-18<
0.
(1)假设-P是F的充分不必要条件,求。
的取值范围;
⑵假设a=l,且。
假q真,求上的取值范围.
⑴解:
由可得或,解得工<
〃-5或Qa+5,--33
所以»
->
P:
―+33
解不等式2/+9”一18<
0,解得一6Vx<
7,所以,或不之大,22
333因为f是F的充分不必要条件,那么卜。
一弓工工工4+枭{x\x<
-6^x>
33315所以,〃+乏-6或4-旌=,解得心-?
或〃之3.
2222
(2)解:
当a=l时,假设〃假,那么一;
乙乙
\5——<
2213因为〃假q真,那么;
,可得
-6<
-222