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y二-x~+4,可知等式左边等于等式右边.所以点D在Z2上。
（3）设平行四边形ABCD的面积为S,则S=2Saabc=AC・|yd=4|yi|,
1当点B在x轴上方时,yi>
0,此时S二4yi,它是关于yi的正比例函数且S随yi的增大而增大，所以S既无最大值也无最小值;
2当点B在x轴下方时，-4WyK0,此时S=-4yb它是关于y】的正比例函数且S随*的增大而减小,所以当yi=-4时,S有最大值16,但它没有最小值.
由①,②可知，点B（0,-4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上.所以AC丄BD.因此平行四边形ABCD是菱形，此时S城大=16.
例2（2005-北京）已知：
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴
交于点A,抛物线y=cLX2+bx+c经过0、A两点。
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D,以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。
若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在OD内，它所在的圆恰与0D相切，求OD半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足
（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P,使得ZPOA=^OBA2若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明
3
理由。
（1）解法一：
・・•一次函数y=kx-4k的图彖与x轴交于点A,・••点A的坐标为（4,0）
抛物线y=c/+Z?
x+c经过0、A两点，c=0,16a+4Z?
=0b=-4t/
解法二：
•・•一次函数y=kx-^k的图象与x轴交于点A,・•・点八的坐标为（4,0）
・・•抛物线y=ax2^bx+c经过0、A两点，・••抛物线的对称轴为直线^=-—=2,2a
•Ib=-4a
（2）
解：
由抛物线的对称性可知，D0=DA,
・••点0在OD上，且ZD0A=ZDA0
又由
（1）知抛物线的解析式为尸启_4皿
点D的坐标为（2,-4。
）
①当匚>
0时，如图1,设OD被x轴分得的为弧为处,翻折后所得劣弧为Q，显然所在的圆与OD关于X轴对称，设它
的圆心为0,,・・・点D'
与点D也关于x轴对称
・・•点0在OD'
上，且0D与OD'
相切，・••点0为切点，・"
'
0丄0D
・・・ZDOA=ZD'
OA=45°
AAAD0为等腰直角三角形，OD=2^2
・：
点D的纵坐标为一2,-4a=-2»
a=—,b=-4ci—-2
2
・•・抛物线的解析式为y=^x2-2x
②当a"
时，同理可得：
OD=2j2
抛物线的解析式为尸-非+2x
综上，OD半径的长为近抛物线的解析式为y=或尸-*宀2丫
（3）抛物线在％轴上方的部分上存在点卩，使得,心冷,则
设点P的坐标为（X,y）,My>
①当点P在抛物线y=jx2-2x上时（如图2）
•・•点B是G»
D的优弧上的一点，・・・ZOBA二丄Z4DO=45。
2
ZPOA=-ZOBA=60°
过点P作PE丄x轴于点E,
•:
tanZPOE=,/•—=tan60°
/•y=VJx
OEx
由卜十小解得片4+2密卜弓（不合题意，舍y=^x卜严6+朋5"
去）
・••点P的坐标为（4+2巧，6+4侖）
②当点P在抛物线y=-詳+2“时（如图3）
同理可得，y=^3x
舍去）,・••点P的坐标为（4-2侖，-6+4^3）
综上，存在满足条件的点P,点P的坐标为（4+2侖，6+4侖）或（4_2羽,-6+4侖）.注：
函数与轴对称结合的综合题主要有两类：
一类是函数图像自身进行了轴对称变换;
另一类是英他图形进行了轴对称变换。
题型2：
与旋转变换结合的函数综合题：
例3（2006*山西）如图，已知抛物线G与坐标轴的
交点依次是A（-4,0）,B（-2,0）,
R（0,8）•
（1）求抛物线C.关于原点对称的抛物线C2的解析式；
（2）设抛物线C.的顶点为M,抛物线C2与x轴分别交于C,D两点（点C在点D的左侧），顶点为N,四边形MDNA的面积为S.若点A,D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；
此吋，点M,N同吋以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止.求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系
式,并写出自变量t的取值范I韦I;
（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此
最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形?
若能，求出此时I的值;
若不能，请说明理由.
（1）点A（-4,0）,点B（-2,0）,点E（0,8）
关于原点的对称点分别为D（4,0）,C（2,0）,F（0,-8）
设抛物线C2的解析式是y=ax2+bx+c{a主0）
a--\
解得/=6
c=-8
16a+4b+c=0
则*4。
+2b+c=0c=—8
・••所求抛物线的解析式是y=-x2+6%-8
（2）由
（1）可计算得点M（-3,-1）,N（3,1）过点'
作NH丄AD,垂足为H.
当运动到时刻t地,AD=20D=8-2t,NH=l+2t
根据中心对称的性质0A=0D,OM二ON,・••四边形\1DNA是平行四边形
・・・S=2SgN，四边形MDNA的面积S=（8-2r）（l+2t）=-4t2+14r+8
・・•运动至点A与点D重合为止，据题意可知0Sf<
4.
・・・所求关系式是S二—4f$+⑷+8,t的取值范围是05fV4
（3）+里，<
0<
r<
4）
I4丿4
・•・/=?
时，S有最大值里.
44
提示：
也可用顶点坐标公式来求。
（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形。
由
（1）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是ADsMN,・••当AD二MN时四边形MDNA是矩形.・・・0D二07,AOD2=ON2=OH2+NH2,/.r2+4r-2=0
解得r,=V6-2.（不合题意，舍去）.
・・・在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此吋r=V6-2.
题型3：
函数与平移变换结合的综合题：
例4（2006•上海）如图，在直角坐标系中,0为原点.点A在x轴的正半轴上，点B在y
轴的正半轴上，tanZ0AB=2.二次函数y=x2+mx+2的图像经过点A、B,顶点为D.
（1）求这个二次函数的解析式；
⑵将AOAB绕点A顺吋针旋转90°
后，n点B落到点C的位置.将上述二次函数的图像沿y轴向上或向下平移后经过点C.请直接写出点C的坐标和平移后所得图像的函数解析式；
（3）设
（2）中平N移后所得二次函数的图像与y轴的交点为b,顶点为％点P在平移后的二次|、彳
函数的图像上,且满足APB出的面积是△PDDi面积的2倍.求点P的坐标.一—
（1）由题意，点B的坐标为（0,2）,所以,0B二2.因为tanZ0AB=2,即0B0A=2,所以0A=l.则点A的坐标为（1,0）.又因为二次函数y=x2+mx+2的图像过点A,所以有O=1W2.解得m二-3.故所求二次函数的解析式为y=x2-3x+2.
（2）由题意，可得点C的坐标为（3,1）,所求二次函数的解析式为y=x2-3x+l.
（3）由
（2）,经过平移后所得的图像是原二次函数的图像向下平移1个单位后的图像，那
么，对称轴直线x=-不变，且BBfDD^I.因为点P在平移后所得的二次函数的图像上，设点P2
的坐标为（x,x2-3x+1）.在Z\PBB1和Z\PDD1中，因为Sapbbi=2SApddi,所以边BBi上的高是边DD,上的高的2倍.
1当点P在对称轴的右侧时,x=2（x--）,解得x=3•所以点P的坐标为（3,1）；
2当点P在对称轴的左侧，同时在y轴的右侧时,x=2（--x），解得x=l.
所以点P的坐标为（1,-1）；
3当点P在y轴的左侧时,x<
0.又-x=（X-—），解得x=3>
0（舍去）.
综上，所求点P的坐标为（3,1）或（1,-1）.
三、小结
函数与几何变换结合的综合题主耍有两类：
一类是函数图像自身进行了几何变换；
另一类是其他图形进行了儿何变换。
通过以上儿例，我们不难发现新课程下中考压轴题的一个新走势：
以直角坐标系和函数为载体，融代数、几何为一体，在几何图形的操作变换过程中感悟数学知识，体验数学规律,突出对考生的发散思维能力、探究能力、创新能力、综合运用能力等方面的考察。
课后练习：
1.（2006*十堰）已知抛物线Ci:
y=-x2+2mx+n（m,n为常数，且mHO,n>
0）的顶点为A,与y轴交于点C,抛物线C2与抛物线G关于y轴对称，其顶点为B,连接AC,BC,AB.
（1）请在横线上直接写出抛物线C2的解析式；
（2）当m二1时，判定AABC的形状，并说明理由；
（3）抛物线G上是否存在点P,使得四边形ABCP为菱形?
如果存在,请求出m的值；
如果不存在，请说明理由.
（1）抛物线Ci:
y=-x2+2mx+n的顶点坐标为A（m,m2+n）与y轴的交点坐标为C（0,n）.
・・•C2与G关于y轴对称，
C2的顶点坐标为B（-m,m2+n）,与y轴的交点坐标为C（0,n）.
C2的解析式为y=-x2-2mx+n.
（2）当m=l时，Ci的解析式为y二-x'
+2x+n,A（1,1+n）,
C（0,n）,C2的解析式为y=-x2-2x+n,B（-l,1+n）,C（0,n）.它们的图像如右图所示，此时AABC为等腰直角三角形.
设AB交y轴于H,因为A、B关于y轴对称,C在y轴上，所以AOBC,又因为A（1,1+n）,B（-l,l+n）,C（O,n）,所以AH=BH=CH=1.因此AABC为直角三角形,BPAABC为等腰直角三
角形.
（3）存在.
在厶ABC中，由题意知，AC二BC,CH丄AB.
当四边形ABCP为菱形吋，AABC为等边三角形，ZACB=60°
所以ZACH二30°
.
在RtAAHC中，CH二VJAH,因为CH=|m2+n-n|=m2,AH=|m,所以m2=31m|,可得m=±
侖.
因此当in二土V3时，四边形ABCP是菱形，此时，点P的坐标为（土2侖，n）・
2.
（2005-南宁）OABC是一张平放在直角坐标系屮的矩形纸片,0为原点，点八在无轴上，点C在y轴上，0A二10,006.
（1）如图，在AB上取一点使得△CBM沿CM翻折后，点B落在X轴上,记作点，求点3的坐标.
（2）求折痕CM所在直线的解析式.（3）作B'
GIIAB交CM于点G,若抛物线）,=丄尤2+加过点G,求抛物线的
-6’
解析式，并判断以原点0为圆心，0G为半径的圆与抛物线除交点G外，是否还有交点？
若有，请直接写出交点的坐标.
（1）•:
\CB'
M三4CBM,・*.CB'
=CB=OA=\0
:
.OB1=y/oA^-OC2=7102^62=8,3（&
0）
（2）设贝=6-n,AB'
=10—8=2
n2+22=（6—n）2解得n=—
8|
...亍=10E解得“-亍・・・直线CM的解析式为严丄+6.
6=/?
b=63
•22
••m=9
■
（3）设G（&
q）・\a=一丄x8+6=—,・*.G（8,—）,・*.—=丄x*+加，
33336
除交点G外，另有交点为G关于y轴的对称点，其坐标为（-8,耳）.
3.
（2005*西宁）如图，在等腰梯形ABCD中,ADIIBC.BA=CD,AD的长为4.S梯形皿=9。
已知A、B的坐标分别为（1,0）和（0,3）,点C在第二象限。
（1）求点c的坐标；
（2）取点E（0,1）,连结DE井延长变AB于F。
试猜想DF与八B之问的位置关系，并证明你结论；
（3）将梯形ABCD绕点A旋转180。
后形成梯形ABCD,求对称轴为直线x=3,且过A、B，两点的抛物线的顶点P的坐标；
（1）VA（1,0）,・・・0A=l.VAD=4,A0D=3,
VB（0,3）,A0B=3.・.・S拂=-（BC+AD）OB=-（BC+4）x3=9,/.BC=2
•・•BC//AD,且C点在第二象限，・・・C（-2,3）
（2）猜想：
DF丄AB
证明：
VE（0,1）,・・・0E二1.V0A=l,・・・0E二0A,ZAOB=ZDOE=90°
f0B=0D=3
・•・\AOB=\EOD（S.A.S.）,乙EDO=ZABO
又・.•ZBAD+ZABO=90°
.IZBAD+ZEDO=90°
ZDFA=90°
即DF丄AB.
（3）・・•梯形ABCD绕点A旋转180。
后形成梯形AB'
C'
D'
B<
2,-3）
・・・抛物线的对称轴为直线x=3,・••可设抛物线的解析式为y=a（x-3）2-^k
又T抛物线过A⑴0）、F（2厂3）两点
曲一3）2+"
0a（2-3）2+k=-3
1
-4
・•・所求的抛物线解析式为y=（x-3尸-4=F一6乳+5.
4.（2005-长春）如图1所示，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线的函数关系式为
o矩形ABCD沿DB方向以每秒1个单位长度运动，
同时点P从点A出发做匀速运动，沿矩形ABCD的边经过点B到达点C,用了14秒。
（1）求矩形ABCD的周长。
（2）如图2所示，图形运动到第5秒时，求点P的坐标。
（3）设矩形运动的时间为t,当时，点P所经过的路
线是一条线段，请求出线段所在直线的函数关系式。
（1）AD二8,B点在y=3x±
则
B点坐标为（8,6）,AB二6,矩形的周长
（4）当点P在线段AB或BC上运动时，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F,则矩形PE0F是否能与矩形ABCD相似（或位似）？
若能，求出t的值；
若不能，说明理由。
为28.
（2）由
（1）可知AB+BC二14,P点走过AB、BC的时间为14秒，因此点P的速度为每秒1个单位.
・・•矩形沿DB方向以每秒1个单位长运动，出发5秒后，0D二5,此时D点坐标为（4,3）,
同吋点P沿AB方向运动了5个单位，则点P坐标为（12,8）.
（3）点P运动前的位置为（8,0）,5秒后运动到（12,8）,已知它运动路线是一条线段，设线段所在直线为y=kx^b，
...也+"
0,解得：
p=2・・・函数关系式为）=2y-16
\2k+/?
=8b=-16
（4）方法一：
①当点P在AB边运动吋，即05（56
点D的坐标为伶，討...点p的坐标为卜+*,
若PE_
~OE=
8
—/
弘,则5解得心6
%弭芻8
5
当
时，点P与点B重合，此时矩形PE0F与矩形BADC是位似形。
若PE
OE'
DArilll5Z8>
解得/=20
加8+4z6
因为20>
6,所以此吋点P不在AB边上，舍去。
②当点P在BC边运动时，即
点D的坐标为（占，占）,
若PEBAJ*°
«
—,则=-
OEDA]4_匕6
点尸白勺坐标为（14-*/,|z+6解得心空
13
因为樂>
14,此时点P不在BC边上，舍去。
13
综上，当
0E
时，点P到达点B,矩形PEOF与矩形BADC是位似形。
方法二：
当点P在AB上没有到达点B时，pebe3,恋更不能等于彳。
V=一o
OE0E4OE3
则点P在AB上没到达点B时，两个矩形不能构成相似形当点P到达点B时，矩形PEOF与矩形BADC是位似形，此时。
当点P越过点B在BC上时，PE>
4
若=i时,
0E3
由点P在BC上时,
坐标为
3A
5『+64
"
亍
因此当P在BC上（不包括B点）时，矩形PEOF与矩形BCDA不相似.
综上，当时，点P到达点B,矩形PEOF与矩形BADC是位似形.
解得2孚，但空〉
1313
14
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