狂刷40 直线与方程学易试题君之小题狂刷高考数学理解析版.docx

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狂刷40直线与方程学易试题君之小题狂刷高考数学理解析版

专题九解析几何

狂刷40直线与方程

1．直线的倾斜角的取值范围是

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】直线xsinα+y+2＝0的斜率为k＝﹣sinα，

∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k≤1，

∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[π，π）.

故选B．

【名师点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题．求解时，由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．

2．已知直线l经过点，且与直线垂直，那么直线l的方程是

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】直线l与直线垂直，直线l的斜率为，

则，即．

故选C．

【名师点睛】本题考查了直线方程的求法，考查两直线垂直的等价条件，属于基础题．由题意可求出直线l的斜率，由点斜式写出直线方程化简即可．

3．已知直线l经过点和点，则

A．斜率为定值，但倾斜角不确定B．倾斜角为定值，但斜率不确定

C．斜率与倾斜角都不确定D．斜率为，倾斜角为

【答案】D

【解析】由已知，直线的斜率，所以直线的倾斜角为．

故选D.

【名师点睛】本题考查两点间斜率公式以及倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力，属基础题.先根据斜率公式求斜率，再根据斜率求倾斜角.

4．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】∵直线和互相平行，则，

将直线的方程化为，

则两条平行直线之间的距离为＝＝＝.

故选D．

【名师点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题．

5．已知直线过点，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线的方程为

A．B．

C．或D．或

【答案】D

【解析】根据题意，直线分2种情况讨论：

①当直线过原点时，又由直线经过点，所求直线方程为，整理为；

②当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点的坐标得，解得，此时直线的方程为，整理为．

故直线的方程为或.

故选D．

【名师点睛】本题考查直线的截距式方程，注意分析直线的截距是否为0，属于基础题．根据题意，分直线是否经过原点2种情况讨论，分别求出直线的方程，即可得答案．

6．已知点，直线的方程为，且直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围为

A．或B．或

C．D．

【答案】A

【解析】方法一：

由直线的方程为，即，可知，直线恒过定点P（1,1），所以，数形结合可得，若直线与线段相交，则k≥或k≤－4.

方法二：

易求得线段的方程为，得，

由直线的方程得，

当时，，此时，；

当时，，此时，.

因此，实数的取值范围是或，故选A.

【名师点睛】本题考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围，考查计算能力，属于中等题.

7．已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】直线经过第一、二、三象限，则直线在轴的截距，在轴的截距，

由直线的斜率小于1可知：

，结合可得：

，

逐一考查所给的选项：

由绝对值的性质可知：

，选项A错误；

由幂函数的单调性可知，选项B正确；

由不等式的性质可得：

，则，选项C错误；

，则，选项D错误.

本题选择B选项.

【名师点睛】本题主要考查直线的截距式方程，不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意首先确定a，b的范围，然后逐一考查所给命题的真假即可.

8．已知，，若的角平分线所在直线方程是，则直线的方程为

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】由题意可知直线和直线关于直线对称.设点关于直线的对称点为，则有，即.因为在直线上，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.

故A正确.

【名师点睛】本题主要考查的是点关于直线的对称点、直线关于直线的对称直线，可通过设B的对称点，再根据对称性质进行求解.解决直线的对称性问题对考生来说相对较抽象，可结合草图来加强理解.

9．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在的直线为

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】如图所示可知，

所以直线AB，BC，CD的方程分别为：

，

整理为一般式即：

分别对应题中的A、B、D选项.

本题选择C选项.

【名师点睛】本题主要考查直线方程的求解，圆的方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意求解题中所给的直线方程，对比选项，利用排除法即可求得最终结果.

10．已知实数m，n满足，则直线必过定点___________.

【答案】

【解析】由已知得，代入直线得，

即，

由，解得，直线必过定点.

故答案为.

【名师点睛】将代入直线得，由即可得结果.探索曲线过定点的常见方法有两种：

①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据求解），借助于曲线系的思想找出定点（直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点）.

②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.

11．若过点P（1－a，1＋a）与Q（4，2a）的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m的取值范围是________．

【答案】

【解析】设直线的倾斜角为α，斜率为k，则，

又α为钝角，∴，即，故，

因为关于a的函数的对称轴为，

∴，

∴实数m的取值范围是.

【名师点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率，根据两点坐标表示出直线的斜率，求出a的取值范围，进而得出实数m的取值范围.

12．过两直线和的交点，并且与原点的最短距离为的直线的方程为________.

【答案】或

【解析】联立可得交点为.

当直线斜率不存在时，x=，到原点的距离等于，符合题意；

当直线斜率存在时，设直线方程为，即，因为直线与原点的最短距离为，所以，解得，所以所求直线的方程为.

所以本题答案为或.

【名师点睛】本题主要考查求两条直线交点坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题.求解时，联立直线方程可求出直线的交点坐标，若所求直线的斜率不存在，则可根据交点坐标得到所求直线的方程，然后验证原点到此方程的距离是否等于即可；若直线斜率存在时，根据点斜式写出直线方程，然后根据原点到直线的距离等于就可求出直线的斜率，据此可得到满足题意的直线的方程.

13．设，则“”是“直线和直线平行”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】若直线和直线平行，则可得：

，解得或−2.

当时，两直线分别为：

3和，满足平行；

当时，两直线分别为：

和，两直线重合；

所以“”是“直线和直线平行”的充要条件.

故选C.

【名师点睛】本题主要考查了两直线平行求参数值的问题，先由两直线平行解得的值，再通过检验是否重合可得，从而得两命题的关系.已知两直线的一般方程判定两直线平行的一般方法为：

已知，，则，需检验两直线是否重合，属于易错题型.

14．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当变化时，的最大值为

A．1B．2

C．3D．4

【答案】D

【解析】由题意可知，是单位圆上的点，而直线是过定点的直线（不含轴），原点（即圆心）到直线的距离的最大值为3，∴点到直线的距离的最大值为3＋1＝4．

故选D．

【名师点睛】本题考查点到直线的距离，利用几何意义求解，点P在单位圆上，直线是过定点的直线，求出圆心到直线距离的最大值，然后加上半径1即可．但在求最大值时，不用点到直线距离公式求出距离，而是借助几何意义求解，点P在单位圆上，直线是过定点的直线，求出圆心到直线距离的最大值，然后加上半径1即可．而圆心到定点的距离就是当直线变化时，圆心到直线距离的最大值，这可由直角三角形的性质直接得出．这种方法简单易行，值得提倡．

15．曲线与过原点的直线没有交点，则的倾斜角的取值范围是

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；

当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；

当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；

当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为.

作出曲线的图象如下图所示：

由图象可知，要使得过原点的直线与曲线没有交点，

则直线的倾斜角的取值范围是，故选A．

【名师点睛】本题考查直线倾斜角的取值范围，考查数形结合思想，解题的关键就是作出图形，利用数形结合思想进行求解，属于中等题.求解时，作出曲线的图形，得出各射线所在直线的倾斜角，观察直线在绕着原点旋转时，直线与曲线没有交点时，直线的倾斜角的变化，由此得出的取值范围.

16．已知点和点，是直线上的一点，则的最小值是

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】如下图所示：

点，关于直线l：

的对称点为C（0，2），连接BC，此时的最小值为.

故选D．

【名师点睛】本题考查的知识点是两点间距离公式的应用，难度不大，属于中档题．

17．设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是

A．，B．，

C．，D．，

【答案】A

【解析】是方程的两个实根，，，

∵两条直线之间的距离，，

，，，

两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为，.

故选A.

【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查了计算能力，注意之间的关系，利用其关系进行转化，属于中档题.利用方程的根，求出之间的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值即可.

18．过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】直线，即，

由，求得，直线经过定点．

如图，由为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动，

可得圆心为PQ的中点，半径为，

则与M的最大值为，

与M的最小值为，

故MN的范围为：

.

故选B．

【名师点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．化已知直线为，即有且，解方程可得定点Q，可得M在以PQ为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值．

19．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标为

A．（－4，0）B．（－3，-1）

C．（－5，0）D．（－4，-2）

【答案】A

【解析】设C（m，n），由重心公式，可得△ABC的重心为，

代入欧拉直线有：

，整理得m－n＋4＝0　①.

AB的中点为（1，2），kAB＝＝－2，

AB的中垂线方程为y－2＝（x－1），即x－2y＋3＝0，

联立可得：

，所以△ABC的外心为（－1，1），

外心与点B的距离：

，

外心与点B的距离与外心与点C的距离相等，则（m＋1）2＋（n－1）2＝10，整理得m2＋n2＋2m－2n＝8　②，

联立①②，可