材料力学内部习题集及答案.doc
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第二章轴向拉伸和压缩
2-1一圆截面直杆，其直径d＝20mm,长L=40m，材料的弹性模量E=200GPa，容重γ＝80kN/m3,杆的上端固定，下端作用有拉力F=4KN，试求此杆的：
⑴最大正应力；
⑵最大线应变；
⑶最大切应力；
⑷下端处横截面的位移。
解：
首先作直杆的轴力图
⑴最大的轴向拉力为
故最大正应力为：
⑵最大线应变为:
⑶当（为杆内斜截面与横截面的夹角）为时，
⑷取A点为轴起点，
故下端处横截面的位移为：
2-2试求垂直悬挂且仅受自重作用的等截面直杆的总伸长△L。
已知杆横截面面积为A，长度为L,材料的容重为。
解：
距离为x处的轴力为
所以总伸长
2-3图示结构，已知两杆的横截面面积均为A=200mm2,材料的弹性模量E=200GPa。
在结点A处受荷载F作用，今通过试验测得两杆的纵向线应变分别为ε1＝4×10－4，ε2＝2×10－4，试确定荷载P及其方位角θ的大小。
解:
由胡克定律得
相应杆上的轴力为
取A节点为研究对象，由力的平衡方程得
解上述方程组得
2-4图示杆受轴向荷载F1、F2作用，且F1＝F2＝F，已知杆的横截面面积为A，材料的应力－应变关系为ε＝cσn，其中c、n为由试验测定的常数。
（1）试计算杆的总伸长；
（2）如果用叠加法计算上述伸长，则所得的结果如何？
（3）当n＝1时，上述两解答是否相同？
由此可得什么结论？
解：
（１）轴力图如图（a）所示。
根据：
则
（２）采用叠加法。
单独作用F1时，轴力图如图（b）所示。
单独作用F2时，轴力图如图（c）所示。
则
（３）当n=1时，上述两解答相同。
结论：
只有当与成线性关系时，叠加法才适用于求伸长。
2-5试求图示构架点C的铅垂位移和水平位移，已知两根杆的抗拉刚度均为EA。
解：
取C点分析受力情况，如图（b）所示，得
因此只有CD杆有伸长
变形几何图如图（c）所示，得。
2-6刚性梁ABCD在B、D两点用钢丝绳悬挂，钢丝绳绕过定滑轮G、H。
已知钢丝的E＝210GPa，绳横截面面积A＝100mm2，荷载F＝20KN，试求C点的铅垂位移（不计绳与滑轮间的摩擦）。
解：
首先要求绳的内力。
刚性梁的受力分析如图，
由平衡方程：
解得：
绳的原长
绳的伸长量为
在作用下结构变形如图，
可得：
再由三角几何关系得：
由、式联立可得：
又因为：
所以，
2-7图示结构中AB杆为刚性杆，杆AC为钢质圆截面杆，直径d1=20mm，E1=200GPa；杆BD为铜质圆截面杆，直径d2＝25mm，E2=100GPa，试求：
（1）外力F作用在何处（x＝？
）时AB梁保持水平？
（2）如此时F＝30kN，则两拉杆横截面上的正应力各为多少？
解：
（1）.容易求得AC杆、BD杆的轴力分别为
从而AC杆、BD杆的伸长量
若要AB梁保持水平，则两杆伸长量应相等，即.
于是,
（2）.当时，两拉杆横截面上的正应力分别为
2-8图示五根杆的铰接结构，沿其对角线AC方向作用两力F＝20kN，各杆弹性模量E=200GPa，横截面面积A＝500mm2，L＝1m，试求：
（1）AC之间的相对位移△AC，
（2）若将两力F改至BD点，则BD点之间的相对位移△BD又如何？
解：
（1）取节点为研究对象，受力分析如图（b）
由平衡方程：
得
同理，可得：
节点受力分析如图（c）
，
,,四杆材料相同，受力大小相同，所以四个杆的应变能相同，可求得整个杆件应变能为：
力作的功为：
由弹性体的功能原理得：
当两力移至两点时，可知，只有杆受力，轴力为
所以
从而
2-9图示结构，已知三根杆AF、CD、CE的横截面面积均为A=200mm2,E=200GPa,试求每根杆横截面上的应力及荷载作用点B的竖向位移。
解：
取AB为研究对象，选取如图所示坐标轴，
故，即,
即,
于是得，
，即，
于是，
解得：
，
所有构件的应变能为
由功能原理得，作的功在数值上等于该结构的应变能
即：
所以.
2-10图示结构，已知四根杆AC、CB、AD、BD的长度均为a,抗拉刚度均为EA,试求各杆轴力，并求下端B点的位移。
解：
（1）以B结点为研究对象，受力图如图（a）所示
由得
得
以刚性杆为研究对象，受力图如图（b）所示
由得
由得
（2）由于1，2杆的伸长变形，引起CD刚性杆以及B结点的下降（如图（c））
由于3，4杆的伸长引起B点的继续下降（如图（d））
则
2-11重G=500N,边长为a=400mm的箱子，用麻绳套在箱子外面起吊如图所示。
已知此麻绳在290N的拉力作用下将被拉断。
（1）如麻绳长为1.7m时，试问此时绳是否会拉断？
（2）如改变ɑ角使麻绳不断，则麻绳的长度至少应为多少？
解：
（1）取整体作为研究对象,经分析得本受力体系为对称体系.
由于箱子重G=500N,由竖直方向的受力平衡可知,每根绳子竖直方向受力为F=250N.
即
而
则
于是,此时绳子不会被拉断.
（2）绳子被拉断时
其中
则
解得:
答：
（1）N=417N
（2）L=1.988m
2-12图示结构，BC为刚性杆,长度为L,杆1、2的横截面面积均为A，其容许应力分别为[σ1]和[σ2]，且[σ1]=2[σ2]，荷载可沿梁BC移动,其移动范围0＜x＜L,试从强度方面考虑，当x取何值时，F的容许值最大，Fmax等于多少？
解：
分析题意可知，由于1、2两杆横截面积均为A，而1杆的容许应力为2杆的二倍，则由公式可知，破坏时2杆的轴力也为1杆的二倍。
本题要求F的容许值最大，即当力F作用在距离B点的位置上时，1、2两杆均达到破坏所需的轴力，即
此时，对力的作用点求矩得：
解得：
此时，由竖直方向的受力平衡得：
2-13图示结构，AC为刚性杆,BD为斜撑杆,荷载F可沿杆AC移动,试问：
为使BD杆的重量最轻,BD杆与AC杆之间的夹角θ应取何值？
解：
如图所示，取整体为研究对象，对A点取钜，由得：
而
则
要想使重量最轻，应该使sin2θ最大，即2θ=90º
解得：
θ=45º
2-14铰接桁架承受水平力F=150kN,桁架所有杆件的许用应力[σ]=125Mpa,试求AB杆和CD杆所需的横截面面积。
解：
由零杆的判别条件知，图中BC杆为零杆。
取整体为研究对象，对A点取钜，由得：
解得：
取D节点为研究对象，由平衡方程得：
则可以解得：
同理，对于B节点，也有平衡方程：
则可以解得：
于是，由许用应力定义得：
2-15圆截面钢杆如图所示，已知材料的E=200GPa，若杆内应变能U=4N·m,试求此杆横截面上的最大正应力。
解：
各截面压力相同为
应变能
代入数据可得kN
MPa
2-16图示杆件的抗拉（压）刚度为EA，试求此杆的应变能。
解：
如图所示，为杆件的轴力图，则杆件的应变能计算应该分为两部分。
其中：
则：
第三章扭转
3-1直径d=400mm的实心圆截面杆扭转时，其横截面上最大切应力τmax=100Mpa，试求图示阴影区域内所承担的部分扭矩。
解：
法1距圆心处切应力为
阴影部分扭矩k
法2:
距离圆心处切应力为
kN
3-2将空心管B和实心杆A牢固地粘结在一起而组成一实心圆杆，如图所示。
管B和杆A材料的剪切弹性模量分别为GB和GA。
试分别求出该组合杆承受扭矩MT时，实心杆与空心管中的最大切应力表达式。
答：
实心杆：
，空心管：
解：
设实心杆受扭矩，空心管受扭矩，且两杆的最大切应力出现在外边缘处，
由已知得+=；
对两杆接触截面的相对转角相同，即=；
且=，=；
所以=，=；
则实心杆：
=，
空心管：
=
3-3图示受扭轴，AB段因安装手轮，截面为正方形，试从强度方面考虑，轴的容许扭矩因此降低了多少（用百分比表示）？
解：
由题意可知，从强度方面考虑，
即：
截面为圆时，
当截面为正方形时，如图，边长
查表可得，当时，
所以
所以降低为：
3-4受扭转力偶作用的圆截面杆，长L=1m，直径d＝20mm，材料的剪切弹性模量G＝80GPa，两端截面的相对扭转角φ＝0.1rad,试求此杆外表面处沿图示方向的切应变γ、横截面上的最大切应力τmax和扭转力偶矩Me。
答：
γ=1×10－3，τmax＝80MPa，Me＝125.6N•m
解：
由公式,=
得出Me＝125.6N•m
且==80MPa，
由，得==.
3-5圆截面橡胶棒的直径d＝40mm，受扭后，原来表面上互相垂直的圆周线和纵向线间夹角变为86º，如杆长L＝300mm,试求端截面的扭转角；如果材料的G＝2.7MPa，试求杆横截面上的最大切应力和杆上的外力偶矩Me。
解：
rad
所以rad
MPa
另外因为
所以
3-6一根在A端固定的圆截面杆AB如图所示，图中的a、b及此杆的抗扭刚度GI均为已知。
杆在B端焊有一根不计自重的刚性臂，在截面C处有一固定指针，当杆未受荷载时，刚性臂及指针均处于水平位置。
如现在刚性臂的端部悬挂一重量为F的重物，同时在杆上D和E处作用有扭转力偶MD和ME。
当刚性臂及指针仍保持水平时，试求MD和ME。
解：
扭矩图如图（a）所示
要保证指针及刚性臂保持水平
则
得
（1）
得
（2）
（1）、
（2）两式联立
得
3-7图示圆截面杆，其全长受集度为m=的均布扭转力偶作用，并在中点受其矩为T的扭转力偶作用，试作此杆的扭矩图，并求杆的应变能。
解：
对1-1截面，有
.
.
对2-2截面，有
.
.
作出扭矩图.
（2）杆的应变能
.
第四章弯曲应力
4-1试作下列梁的剪力图和弯矩图。
解：
（a）1、计算支反力由平衡方程：
即得
即得
2、列剪力、弯矩方程
AC段：
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