沪科版数学七年级上册第四章直线与角阶段强化专训文档格式.docx

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3．如图是一个长方体的平面展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题．

（1）如果面A是长方体的上面，那么哪一面会在下面？

（2）如果面F是长方体的后面，从左面看是面B，那么哪一面会在上面？

（3）从右面看是面A，从上面看是面E，那么哪一面会在前面？

其他立体图形的展开图

4．如图是一些几何体的平面展开图，请写出这些几何体的名称．

（第4题）

立体图形展开图的相关计算问题

5．（中考·

青岛）如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第○n个几何体中，只有两个面涂色的小立方体共有________个．

（第5题）

6．如图所示这样形状的铁皮能围成一个长方体铁桶吗？

如果能，它的体积有多大？

专训三：

巧用线段中点的有关计算

利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计算，由相等的线段去判断中点时，点必须在线段上才能成立．

线段中点问题

类型一：

与线段中点有关的计算

1．已知A，B，C三点在同一条直线上，若线段AB＝20cm，线段BC＝8cm，M，N分别是线段AB，BC的中点．

（1）求线段MN的长；

（2）根据

（1）中的计算过程和结果，设AB＝a，BC＝b，且a＞b，其他条件都不变，你能猜出MN的长度吗？

（直接写出结果）

类型二：

与线段中点有关的说明题

2．画线段MN＝3cm，在线段MN上取一点Q，使MQ＝NQ；

延长线段MN到点A，使AN＝MN；

延长线段NM到点B，使BN＝3BM.

（1）求线段BM的长；

（2）求线段AN的长；

（3）试说明点Q是哪些线段的中点．

线段分点问题

与线段分点有关的计算（设参法）

3．如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3的三部分，M是AD的中点，CD＝6cm，求线段MC的长．

线段分点与方程的结合

4．A，B两点在数轴上的位置如图，O为原点，现A，B两点分别以1个单位长度/秒，4个单位长度/秒的速度同时向左运动．

（1）几秒后，原点恰好在两点正中间？

（2）几秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2?

专训四：

线段上的动点问题

　解决线段上的动点问题一般需注意：

（1）找准点的各种可能的位置；

（2）通常可用设元法，表示出移动变化后的线段的长（有可能是常数，那就是定值），再由题意列方程求解．

线段上动点与中点问题的综合

1．

（1）如图①，AB＝16，点D是AB上一动点，M，N分别是AD，DB的中点，能否求出线段MN的长？

若能，求出其长，若不能，试说明理由．

（2）如图②，AB＝16，点D运动到线段AB的延长线上，其他条件不变，能否求出线段MN的长？

（3）你能用一句话描述你发现的结论吗？

线段上动点问题中的存在性问题

2．如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为－2、6，O为原点，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x.

（1）PA＝________；

PB＝________（用含x的式子表示）；

（2）在数轴上是否存在这样的点P（不与A，B重合），使PA＋PB＝10？

若存在，请求出x的值；

若不存在，请说明理由．

（3）点P以1个单位长度/s的速度从点O向右运动，同时点A以5个单位长度/s的速度向左运动，点B以20个单位长度/s的速度向右运动，在运动过程中，

M，N分别是AP，OB的中点，问：

的值是否发生变化？

请说明理由．

线段和差倍分关系中的动点问题

3．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．

（1）出发多少秒后，PB＝2AM?

（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM－BP为定值．

（3）当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，有下列两个结论：

①MN长度不变；

②MA＋PN的值不变．判断两个结论的正误．

专训五：

巧用角平分线的有关计算

　角平分线的定义是进行角度计算常见的重要依据，因此解这类题要从角平分线入手找角的数量关系，利用图形中相等的角的位置关系，结合角的和、差关系求解．

角平分线的夹角问题（分类讨论思想）

1．已知∠AOB＝100°

，∠BOC＝60°

，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．

巧用角平分线解决折叠问题（折叠法）

2．如图，将一张长方形纸斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后把BE折过去，使之落在A′B所在直线上，折痕为BD，那么两折痕BC与BD的夹角是多少度？

巧用角平分线解决角的和、差、倍、分问

题（方程思想）

3．如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°

，求∠AOB的度数．

巧用角平分线解决角的推理证明问题

（转化思想）

4．如图，已知OD，OE，OF分别为∠AOB，∠AOC，∠BOC的平分线，∠DOE和∠COF有怎样的关系？

说明理由．

专训六：

　　时钟时针、分针转动角度的问题，要注意时针转动一大格，转过角度为周角的十二分之一，即30°

.每一个大格之间又分为五个小格，每个小格对应的角度是6°

.注意时针与分针转动角度的速度比是1∶12，时针转动30°

，分针转动360°

；

分针与秒针转动角度的速度比是1∶60，分针转动6°

（一个小格），秒针转动360°

.

利用时间求角度

按固定时间求角度

1．

（1）从上午11时到下午1时30分，这期间时针转过了________；

下午1：

30，时针、分针的夹角是________．

（2）3点20分时，时针与分针的夹角是多少度？

按动态时间求角度

2．小华是个数学迷，最近他在研究钟面角（时针与分针组成的角）问题，他想和大家一起来讨论相关问题．

（1）分针每分钟转6度，时针每分钟转________度．

（2）你能指出下面各个图中时针与分针之间夹角的大小吗？

图①的钟面角为________度，图②的钟面角为________度．

（3）12：

00时，时针和分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？

此时，时针和分针各转动了多少度？

利用角度求时间（方程思想）

3．如图，观察时钟，解答下列问题：

（1）在2时和3时之间什么时刻，时针和分针的夹角为直角？

（2）小明下午五点多有事外出时，看到墙上钟面的时针和分针的夹角为90°

，下午不到六点回家时，发现时针与分针的夹角又为90°

，那么小明外出了多长时间？

答案

专训一

1．C　2.④；

①③⑥

3．解：

（1）按柱体、锥体、球体分：

①③⑤⑥⑦为柱体；

④⑧为锥体；

②为球体．（答案不唯一）

（2）③是圆柱，圆柱的上、下底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；

⑥是五棱柱，上、下底面是完全相同的五边形，侧面是5个长方形．

相同点：

两者都有两个底面．

不同点：

圆柱的底面是圆，五棱柱的底面是五边形．圆柱的侧面是一个曲面，五棱柱的侧面由5个长方形组成．

4．C　5.有　6.①③④⑤⑥；

②③④⑥

7．解：

有曲面的是③④⑤；

无曲面的是①②⑥⑦.

专训二

1．B

2．解：

图①②③④⑥都是正方体的平面展开图．

（1）如果面A是长方体的上面，那么面C会在下面．

（2）如果面F是长方体的后面，从左面看是面B，那么向外折时面C会在上面，向里折时面A会在上面．

（3）从右面看是面A，从上面看是面E，那么向外折时面B会在前面，向里折时面D会在前面．

4．解：

①三棱锥；

②四棱锥；

③五棱锥；

④三棱柱；

⑤圆柱；

⑥圆锥．

点拨：

棱锥和棱柱的共同点是棱锥、棱柱都是以底面多边形的边数来命名的，如三棱锥是指底面为三角形的棱锥，而五棱柱是指底面为五边形的棱柱．它们的不同点是棱柱的侧棱互相平行，而棱锥的侧棱交于一点．

5．（8n－4）　点拨：

从下往上数只有两个面涂色的小立方体个数，图①中：

第一层4个，第二层0个；

图②中：

第一层4个，第二层4个，第三层4个；

图③中：

第一层4个，第二层4个，第三层4个，第四层8个，故第○n个几何体中涂两个面的小立方体有[4n＋4（n－1）]个，即（8n－4）个．

6．解：

能围成，体积为40×

70×

65＝182000（cm3）．

答：

体积为182000cm3.

专训三

1．解：

（1）分两种情况：

①当点C在线段AB上时，如图①，因为M为AB的中点，所以MB＝AB＝×

20＝10（cm）．因为N为BC的中点，所以BN＝BC＝×

8＝4（cm），所以MN＝MB－BN＝10－4＝6（cm）；

②当点C在线段AB的延长线上时，如图②，因为M为AB的中点，所以MB＝AB＝×

8＝4（cm），所以MN＝MB＋BN＝10＋4＝14（cm）．

（2）MN＝（a＋b）或MN＝（a－b）．

如图．

（1）因为BN＝3BM，所以BM＝MN.

因为MN＝3cm，所以BM＝×

3＝1.5（cm）．

（2）因为AN＝MN，MN＝3cm.所以AN＝1.5cm.

（3）因为MN＝3cm，MQ＝NQ，所以MQ＝NQ＝1.5cm.

所以BQ＝BM＋MQ＝1.5＋1.5＝3（cm），

AQ＝AN＋NQ＝1.5＋1.5＝3（cm）．所以BQ＝QA.

所以点Q是线段MN的中点，也是线段AB的中点．

设AB＝2kcm，则BC＝4kcm，CD＝3kcm，AD＝2k＋4k＋3k＝9k（cm）．因为CD＝6cm，即3k＝6，所以k＝2，则AD＝18cm.又因为M是AD的中点，所以MD＝AD＝×

18＝9（cm）．所以MC＝MD－CD＝9－6＝3（cm）．

（1）设运动时间为x秒，依题意得x＋3＝12－4x，解得x＝1.8.

1.8秒后，原点恰好在两点正中间．

（2）设运动时间为t秒．

①B与A相遇前：

12－4t＝2（t＋3），即t＝1；

②B与A相遇后：

4t－12＝2（t＋3），即t＝9.

1秒或9秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2.

专训四

（1）能．MN＝DM＋DN＝AD＋BD＝（AD＋BD）＝AB＝8.

（2）能．MN＝MD－DN＝AD－BD＝（AD－BD）＝AB＝8.

（3）若点D在线段AB或线段AB的延长线上，点M，N分别是AD，DB的中点，则MN＝AB.

（1）|x＋2|；

|x－6|

（2）存在．分三种情况：

①当点P在A，B之间时，PA＋PB＝8，故舍去；

②当点P在B点右边时，PA＝x＋2，PB＝x－6，因为（x＋2）＋（x－6）＝10，所以x＝7；

③当点P在A点左边时，PA＝－x－2，PB＝6－x，因为（－x－2）＋（6－x）＝10，所以x＝－3.

所以当x＝－3或7时，PA＋PB＝10，

（3）的值不发生变化，理由如下：

设运动时间为ts.

则OP＝t，OA＝5t＋2，OB＝20t＋6，所以AP＝OA＋OP＝6t＋2，AB＝OA＋OB＝25t＋8，ON＝OB＝10t＋3，所以AB－OP＝24t＋8，AM＝AP＝3t＋1，所以OM＝OA－AM＝5t＋2－（3t＋1）＝2t＋1，所以MN＝OM＋ON＝12t＋4，所以＝＝2，故的值不发生变化．

（1）设出发x秒后，PB＝2AM，则PA＝2x，PB＝24－2x，所以AM＝x，所以24－2x＝2x，即x＝6.所以出发6秒后，PB＝2AM.

（2）因为BM＝AB－AM＝24－x，PB＝24－2x，所以2BM－BP＝2（24－x）－（24－2x）＝24，即2BM－BP为定值．

（3）易知PA＝2x，AM＝PM＝x，所以PB＝2x－24，所以PN＝PB＝x－12，

所以①MN＝PM－PN＝x－（x－12）＝12.

所以MN长度不变，为定值，即结论①正确；

②MA＋PN＝x＋x－12＝2x－12，

所以MA＋PN的值是变化的，即结论②不正确．

专训五

（1）如图①，当OC落在∠AOB的内部时，

因为OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，

所以∠BOM＝∠AOB＝×

100°

＝50°

，∠BON＝∠BOC＝×

60°

＝30°

所以∠MON＝∠BOM－∠BON＝50°

－30°

＝20°

（2）如图②，当OC落在∠AOB的外部时，

所以∠MON＝∠BOM＋∠BON＝50°

＋30°

＝80°

综上可知，∠MON的度数为20°

或80°

本题已知没有图，作图时应考虑OC落在∠AOB的内部和外部两种情况，体现了分类讨论思想的运用．

因为∠CBA与∠CBA′折叠重合，所以∠CBA＝∠CBA′.

因为∠EBD与∠A′BD折叠重合，所以∠EBD＝∠A′BD.

又因为这四个角的和是180°

，

所以∠CBD＝∠CBA′＋∠A′BD＝×

180°

＝90°

即两折痕BC与BD的夹角为90°

本题可运用折叠法动手折叠，便于寻找角与角之间的关系．

设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x.

因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝∠AOB＝（∠AOC＋∠BOC）＝x.

又因为∠COD＝∠AOD－∠AOC，所以19°

＝x－x，

解得x＝38°

.所以∠AOB＝3x＝3×

38°

＝114°

根据图形巧设未知数，用角与角之间的数量关系构建关于未知数的方程，求出角的度数，体现了方程思想的运用．

∠DOE＝∠COF.理由如下：

因为OD平分∠AOB，所以∠DOB＝∠AOB.

因为OF平分∠BOC，所以∠BOF＝∠BOC.

所以∠DOB＋∠BOF＝∠AOB＋∠BOC＝∠AOC，即∠DOF＝∠AOC.

又因为OE平分∠AOC，所以∠EOC＝∠AOC，所以∠DOF＝∠EOC.

又因为∠DOF＝∠DOE＋∠EOF，∠EOC＝∠EOF＋∠COF，所以∠DOE＝∠COF.

欲找出∠DOE与∠COF的关系，只要找到∠DOF与∠EOC的关系即可．而OD，OF分别是∠AOB，∠BOC的平分线，那么由此可得到∠DOF与∠AOC的关系，而且又有∠AOC＝2∠EOC，即可转化成∠DOE与∠COF的关系，体现了转化思想的运用．

专训六

（1）75°

135°

（2）时针每小时转30°

，分针每分钟转6°

.时针从指向12开始转过的角度为3×

30°

＝100°

，分针从指向12开始转过的角度为20×

6°

＝120°

，120°

－100°

，即3点20分时，时针与分针的夹角是20°

（1）0.5　

（2）30；

22.5

（3）设x分钟后分针与时针再次重合，则6x－0.5x＝360，解得x＝，

即经过分钟会再次出现时针与分针重合的现象．

×

0.5°

＝°

，×

时针转了°

，分针转了°

（1）设从2时经过x分钟，分针与时针的夹角为直角，依题意，有×

，解得x＝.

在2时分时，时针和分针的夹角为直角．

（2）设小明外出了y分钟，则时针走了0.5y度，分针走了6y度．

根据题意，列方程为6y＝90＋0.5y＋90，

解得y＝.

小明外出了分钟．

在钟表问题中，常利用时针与分针的转动度数关系：

分针每分钟转动6°

，时针每分钟转动0.5°

，并且结合起点时时针和分针的位置关系建立角的数量关系．