10随机变量的离散型期望与方差中等难度讲义 2Word文件下载.docx
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，则
，叫做这个离散型随机变量
的均值或数学期望（简称期望）．
（2）离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
（3）根据数学期望的概念及前面所学知识，我们可以得到
.
（4）期望的性质有哪些？
①
（
为常数）；
②若
是随机变量，则
视野：
我们知道离散型随机变量的分布列和数学期望都可以用来刻画随机变量，你能说出分布列与数学期望的关系吗？
答：
期望是建立在分布列的基础上的，其关系式为
；
离散型随机变量的分布列和期望虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的，但二者大有不同。
分布列之给出了随即变量取所有可能值的概率，而期望却反映了随机变量取值的平均水平。
2、离散型随机变量的方差
（1）一般地，设一个离散型随机变量
所有可能取的值是
叫做这个离散型随机变量
的方差．
（2）离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．
（3）
的算术平方根
叫做离散型随机变量
的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．
（4）方差与标准差越小，稳定性越高，波动越小.
（5）方差的性质：
（C为常数）
②
为随机变量，
为常数，则
期望与方差的关系是什么？
方差是随机变量的另一个重要的数字特征，它表现了随机变量所有值的相对于它的期望的集中于离散程度。
由方差的定义可知，方差是建立在期望这一概念之上的。
3、典型分布的期望与方差：
（1）二点分布：
在一次二点分布试验中，离散型随机变量
的期望取值为
，在
次二点分布试验中，离散型随机变量
．
（2）二项分布：
若离散型随机变量
服从参数为
和
的二项分布，则
（3）超几何分布：
的超几何分布，则
典例精讲
一．选择题（共15小题）
1．（2017秋•孝感期末）设随机变量ξ～B（n，p），且E（ξ）=3.2，D（ξ）=1.92，则（ ）
A．n=8，p=0.4B．n=4，p=0.4C．n=8，p=0.6D．n=4，p=0.8
【分析】随机变量ξ～B（n，p），且E（ξ）=3.2，D（ξ）=1.92，可得np=3.2，np（1﹣p）=1.92，联立解出解得出．
【解答】解：
∵随机变量ξ～B（n，p），且E（ξ）=3.2，D（ξ）=1.92，
则np=3.2，np（1﹣p）=1.92，
解得：
n=8，p=0.4．
故选：
A．
2．（2018春•吉安期末）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为64个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E（X）=（ ）
A．B．C．D．2
【分析】由题意知X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的均值E（X）．
由题意知X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）=，
P（X=3）==，
∴E（X）==．
C．
3．（2018春•福州期末）甲、乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如表．其中射击成绩比较稳定的运动员是（ ）
环数k
P（ξ=k）
0.3
0.2
0.5
P（η=k）
0.4
A．甲B．乙C．一样D．无法比较
【分析】分别求出两个变量的数学期望和方差，由此能求出结果．
由题意得：
E（ξ）=8×
0.3+9×
0.2+10×
0.5=9.2，
D（ξ）=（8﹣9.2）2×
0.3+（9﹣9.2）2×
0.3+（10﹣9.2）2×
0.5=4.652，
E（η）=8×
0.2+9×
0.4+10×
0.4=9.2．
D（η）=（8﹣9.2）2×
0.2+（9﹣9.2）2×
0.4+（10﹣9.2）2×
0.4=3.152，
∴射击成绩比较稳定的运动员是乙．
B．
4．（2018春•吉安期末）已知X是离散型随机变量，P（X=2）=，P（X=a）=，E（X）=，则D（2X+1）=（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知条件利用离散型随机变量的数学期望计算公式求出a，进而求出D（X），由此即可求出答案．
∵X是离散型随机变量，P（X=2）=，P（X=a）=，E（X）=，
∴由已知得，
解得a=3，
∴D（X）==，
∴D（2X+1）=4D（X）==．
5．（2018春•温州期末）已知某口袋中有2个白球和2个黑球，若从中随机取出1个球，再放回1个不同颜色的球，此时袋中的白球个数是X；
若从中随机取出2个球，再放回2个不同颜色的球（若取出的是1个黑球1个白球，则放回1个白球1个黑球），此时袋中的白球个数是Y，则（ ）
A．E（X）=E（Y），D（X）=D（Y）B．E（X）=E（Y），D（X）≠D（Y）
C．E（X）≠E（Y），D（X）=D（Y）D．E（X）≠E（Y），D（X）≠D（Y）
【分析】由题意随机变量X的可能取值为1，3，推导出P（X=1）=，P（X=3）=，随机变量Y的可能取值为0，2，4，推导出P（X=0）=，P（X=2）==，P（X=4）==，由此能求出结果．
由题意随机变量X的可能取值为1，3，
P（X=1）=，
P（X=3）=，
E（X）=1×
=2，
D（X）==1，
随机变量Y的可能取值为0，2，4，
P（X=0）=，
P（X=2）==，
P（X=4）==，
（EY）==2，
D（Y）==，
故E（X）=E（Y），D（X）≠D（Y）．
6．（2018春•邢台期末）在某公司的一次投标工作中，中标可以获利12万元，没有中标损失成本费0.5万元、若中标的概率为0.6，设公司盈利为X万元，则D（X）=（ ）
A．7B．31.9C．37.5D．42.5
【分析】利用离散型随机变量的性质能求出公司的平均盈利，利用离散型随机变量的方差的计算公式能求出公司赢利的方差．
∵在某公司的一次投标工作中，中标可以获利12万元，
没有中标损失成本费0.5万元、中标的概率为0.6，
∴公司的平均盈利μ=12×
0.6+（﹣0.5）×
0.4=7（万元）；
∴公司赢利的方差：
D（X）=（12﹣7）2×
0.6+（0.5﹣7）2×
0.4=31.9．
7．（2018春•禅城区校级期末）随机变量X的分布列如表，且E（X）=1.1，则D（X）=（ ）
X
1
a
P
p
A．0.68B．0.49C．0.40D．0.36
【分析】由随机变量X的分布列，得p=，由E（X）=1.1，得a=2，由此能求出D（X）．
由随机变量X的分布列，得：
=1，
解得p=，
∵E（X）=1.1，∴=1.1，
解得a=2，
∴D（X）=（0﹣1.1）2×
+（1﹣1.1）2×
+（2﹣1.1）2×
=0.49．
8．（2018•西湖区校级模拟）已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．A盒中有m个红球与10﹣m个白球，B盒中有10﹣m个红球与m个白球（0＜m＜10），若从A，B盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当Dξ取到最大值时，m的值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【分析】由题意可得：
ξ=0，1，2．P（ξ=0）=×
，P（ξ=1）=+，P（ξ=2）=．可得分布列，可得Eξ与Dξ．
由题意可得：
ξ=0，1，2．
P（ξ=0）=×
=，P（ξ=1）=+=，
P（ξ=2）=．
分布列为：
ξ
0
1
2
P
Eξ=0×
+1×
+2×
=1．
Dξ=（0﹣1）2×
+（1﹣1）2×
+（2﹣1）2×
=
≤×
=．当且仅当m=5时取等号．
9．（2018•浦江县模拟）袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止，用X表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量X的数字期望E（X）是（ ）
【分析】X的可能取值为2，3，求出P（X=3）=+=，P（X=2）=1﹣P（X=3）=1﹣=，由此能求出随机变量X的数字期望E（X）．
袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，
取后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止，用X表示终止取球时所需的取球次数，
则X的可能取值为2，3，
P（X=3）=+=，
P（X=2）=1﹣P（X=3）=1﹣=，
∴E（X）=2×
=，
∴随机变量X的数字期望E（X）是．
10．（2018春•上杭县校级月考）设随机变量X的分布列如表，且EX=1.6，则b=（ ）
2
3
0.1
b
A．0.2B．0.1C．0.4D．0.5
【分析】由随机变量X的分布列及EX=1.6，列出方程组能求出b．
由随机变量X的分布列及EX=1.6，得到：
解得a=0.3，b=0.5．
D．
11．（2018•诸暨市二模）甲盒子装有3个红球，1个黄球，乙盒中装有1个红球，3个黄球，同时从甲乙两盒中取出i（i=1，2，3）个球交换，分别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为E1（i），E2（i）则以下结论错误的是（ ）
A．E1
（1）＞E2
（1）B．E1
（2）=E2
（2）
C．E1
（1）+E2
（1）=4D．E1（3）＜E2
（1）
【分析】分别就i=1，2，3计算概率得出数学期望，得出结论．
用X表示交换后甲盒子中的红球数，Y表示交换后乙盒子中的红球数，
当i=1时，
则P（X=2）=P（Y=2）==，P（X=4）=P（Y=0）==，P（X=3）=P（Y=1）=×
2=，
∴E1
（1）=2×
+3×
+4×
=，E2
（1）=2×
+0×
=．
故A正确，C正确，
当i=2时，
P（X=1）=P（Y=3）==，P（X=2）=P（Y=2）=×
2=，P（X=3）=P（Y=1）==．
∴E1
（2）=1×
=2，E2
（2）=3×
=2．
故B正确．
当n=3时，
P（X=0）=P（Y=4）==，P（X=1）=P（Y=3）=×
2=，P（X=2）=P（Y=2）=，
∴E1（3）=0×
故D错误．
12．（2018•湖州二模）已知a，b∈R，随机变量ξ满足P（ξ=x）=ax+b（x=﹣1，0，1）．若Eξ=，则（Eξ）2+Dξ=（ ）
A．B．C．1D．
【分析】根据分布列的性质计算a，b，再根据方差公式计算D（ξ）得出答案．
ξ的分布列为：
﹣1
b﹣a
b
a+b
∴E（ξ）=a﹣b+a+b=2a=，即a=．
又b﹣a+b+a+b=1，即3b=1，∴b=，
∴D（ξ）=（﹣1﹣）2+（0﹣）2+（1﹣）2=，
∴（Eξ）2+Dξ==．
13．（2018•柯桥区二模）某省2018年普通高校招生考试报名人数为30万人，每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术七门中随机选3门参加选考科目的考试，估计其中参加技术考试的人数大约为（ ）
A．14万B．13万C．10万D．低于6万
【分析】利用概率能估计其中参加技术考试的人数．
某省2018年普通高校招生考试报名人数为30万人，
每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术七门中随机选3门参加选考科目的考试，
估计其中参加技术考试的人数大约为：
30×
≈13（万）．
14．（2018•台州一模）在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X，黑球个数为Y，则（ ）
A．E（X）＞E（Y），D（X）＞D（Y）B．E（X）=E（Y），D（X）＞D（Y）
C．E（X）＞E（Y），D（X）=D（Y）D．E（X）=E（Y），D（X）=D（Y）
【分析】推导出X～B（5，），Y～B（5，），由此得到E（X）＞E（Y），D（X）=D（Y）．
在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，
现从中有放回的摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X，黑球个数为Y，
则X～B（5，），Y～B（5，），
E（X）==，E（Y）=5×
D（X）==，D（Y）==，
∴E（X）＞E（Y），D（X）=D（Y）．
15．（2017秋•宁波期末）一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n（n∈N*）个黑球，现从中放回的摸取4次，每次都是随机摸一球，设摸得白球个数为X，若D（X）=1，则E（X）=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由题意知，X～B（4，），由D（X）求出n，由此能求出EX=4×
即可．
由题意知，X～B（4，），D（X）=1，
∴4×
×
=1，解得n=5，
EX=4×
=4×
二．填空题（共6小题）
16．（2017秋•浙江期末）某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X，则P（X＞0）= ，E（X）= ．
【分析】由题意知随机变量X的可能取值，计算对应概率值，求出X的数学期望．
从袋中5个球中随机取出2个球，所有的基本事件数是=10，
记取出白球的个数为X，则X的可能取值为0，1，2；
∴P（X＞0）=1﹣=；
计算P（X=0）==，
∴X的数学期望为
E（X）=0×
故答案为：
，．
17．（2018春•临沂期末）设0＜P＜1，若随机变量ξ的分布列是：
ξ
则当P变化时，D（ξ）的极大值是 ．
【分析】直接利用方差公式列出关系式，然后求解D（ξ）的极大值．
由题意可知E（ξ）=+2×
D（ξ）=++=﹣2p2+p+，
当p=时，D（ξ）的极大值是．
18．（2018春•鼓楼区校级期末）已知随机变量X的分布列如表：
P0
若EX=2，则DX= 1 ．
【分析】由随机变量X的分布列的性质求出P0=，再由EX=2，求出a=3，由此能求出DX．
由随机变量X的分布列得：
解得P0=，
∵EX=2，
∴=2，
∴DX=（0﹣2）2×
+（2﹣2）2×
+（3﹣2）2×
1．
19．（2018春•碑林区校级期中）已知随机变量X的分布列为：
随机变量Y=2X+1，则X的数学期望EX= ﹣ ；
Y的方差DY= ．
【分析】由随机变量X的分布列得求出a=，从而求出E（X）=﹣，D（X）=，再由随机变量Y=2X+1，能求出X的数学期望和Y的方差．
解得a=，
∴E（X）=﹣1×
=﹣，
D（X）=+（0+）2×
+（1﹣）2×
∵随机变量Y=2X+1，
∴X的数学期望EX=﹣；
Y的方差DY=4D（Y）=．
﹣，．
20．（2018•镇海区校级模拟）随机变量X的分布列如下：
c
其中a，b，c成等差数列，则P（|X|=1）= ，方差的最大值是 ．
2b=a+c，又a+b+c=1，（0≤a，b，c＜1）．联立解得b=．可得P（|X|=1）=a+c=1﹣b．利用数学期望计算公式可得EX=﹣2a，令EX=m，可得DX=（﹣1﹣m）2a+（0﹣m）2×
+（1﹣m）2c=m2+（2a﹣2c）m+a+c=﹣4+，利用二次函数的单调性即可得出．
2b=a+c，又a+b+c=1，（0≤a，b，c＜1）．
联立解得b=．
∴P（|X|=1）=a+c=1﹣b=．
EX=﹣a+0×
b+1×
c=c﹣a=﹣2a，
令EX=m=﹣2a，
DX=（﹣1﹣m）2a+（0﹣m）2×
+（1﹣m）2c
=m2+（2a﹣2c）m+a+c
=+（4a﹣）（﹣2a）+
=﹣4a2++=﹣4+≤，当且仅当a=c=时取等号．
因此DX的最大值为．
21．（2018•下城区校级模拟）一个盒子中有大小形状完全相同的m个红球和6个黄球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸出一个球，设摸到红球的个数为X，若EX=3，则m= 9 ，P（X=2）= ．
5=3，解得m=9．每次摸出红球的概率q==，X～B．即可得出P（X=2）．
5=3，解得m=9．
每次摸出红球的概率q==，
∴X～B．
P（X=2）==．
9，．
三．解答题（共4小题）
22．（2017秋•邢台期末）某鲜奶店每天以每瓶3元的价格从牧场购进若干瓶鲜牛奶，然后以每瓶7元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的鲜牛奶作垃圾处理．
（1）若鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶，求当天的利润y（单位：
元）关于当天需求量n（单位：
瓶，n∈N）的函数解析式；
（2）鲜奶店记录了100天鲜牛奶的日需求量（单位：
瓶），绘制出如下的柱形图（例如：
日需求量为25瓶时，频数为5）：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（ⅰ）若该鲜奶店一天购进30瓶鲜奶，X表示当天的利润（单位：
元），求X的分布列及数学期望；
（ⅱ）若该鲜奶店计划一天购进29瓶或30瓶鲜牛奶，你认为应购进29瓶还是30瓶？
请说明理由．
【分析】
（1）根据利润公式得出函数解析式；
（2）（i）求出利润的可能取值及其对应的概率，得出分布列和数学期望；
（ii）求出n=29时对应的数学期望，根据利润的数学期望大小得出结论．
（1）当n≥30时，y=30×
（7﹣3）=120；
当n≤29时，y=（7﹣3）n﹣3（30﹣n）=7n﹣90．故y=，n∈N．
（2）（ⅰ）X的可能取值为85，92，99，106，113，120，
P（X=85）=0.05，
P（X=92）=0.1，
P（X=99）=0.1，
P（X=106）=0.05，
P（X=113）=0.1，
P（X=120）=0.6．
X的分布列为
85
92
99
106
113
120
0.05
0.6
E（X）=（85+106）×
0.05+（92+99+113）×
0.1+120×
0.6=111.95元．
（ⅱ）购进29瓶时，当天利润的数学期望为t=（25×
4﹣4×
3）×
0.05+（26×
4﹣3×
0.1+（27×
4﹣2×
0.1+（28×
4﹣1×
0.05+29×
0.7=110.75，
因为111.95＞110.75，所以应购进30瓶．
23．（2018春•拉萨期末）甲乙两名选手在同一条件下射击，所得环数ξ，η的分布列分别为
0.16
0.14
0.42
0.18
η
0.19
0.24
0.12
0.28
0.17
（Ⅰ）分别求两名选手射击环数的期望；
（Ⅱ）某比赛需从二人中选一人参赛，已知对手的平均水平在7.5环左右，你认为选谁参赛获胜可能性更大一些？
（Ⅰ）直接利用表格中的数据结合期望公求的期望；
（Ⅱ）由方差公式求得两随机变量的方差，由方差的大小得答案．
（Ⅰ）E（ξ）=6×
0.16+7×
0.14+8×
0.42+9×
0.1+10×
0.18=8，
E（η）=6×
0.19+7×
0.24+8×
0.12+9×
0.28+10×
0.17=8；
（Ⅱ）D（ξ）=（6﹣8）2×
0.16+（7﹣8）2×
0.14+（8﹣8）2×
0.42+（9﹣8）2×
0.1+（10﹣8）2×
0.18=1.6，
D（η）=（6﹣8）2×
0.19+（7﹣8）2×
0.24+（8﹣8）2×
0.12+（9﹣8）2×
0.28+（10﹣8）2×
0.17=1.96．
∵D（ξ）＜D（η），
∴甲稳定，甲参赛获胜可能性更大一些．
24．（2018春•海珠区期末）已知6只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：
逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：
先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验这3只，直到能确定患病动物为止；
若结果呈阴性则表明患病动物为另外3只中的1只，然后再逐个化验另外3只，直到能确定患病动物为止．
（Ⅰ）用X表示依方案甲所需化验次数，求X的期望；
（Ⅱ）若每次化验的费用是100元，从所需的化验的平均费用角度考虑，应该选择哪一种化验方法？
（Ⅰ）依方案甲，X可以为1，2，3，4，5．利用古典概型概率公式求得概率，再由期望公式求得期望；
（Ⅱ）用Y表示依方案乙所需化验次数，Y可以为2，3．求出E（Y），得到两种方案所需的化验的平均费用，比较得答案．
（Ⅰ）依方案甲，X可以为1，2，3，4，5．
P（X=1）=，P（X=2）=，
P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=．
∴X的期望E（X）=；
（Ⅱ）用Y表示依方案乙所需化验次数，Y可以为2，3．
P（Y=2）=，P（Y=3）=，
Y的期望E（Y）=．
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