222 人教A版数学选修22第2章 推理与证明Word文档下载推荐.docx

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（4）结论是含有“至多”“至少”等词语的命题；

（5）条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．

感悟体会　　

练一练

1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（　　）

①结论相反的判断，即假设；

②原命题的条件；

③公理、定理、定义等；

④原结论．

A．①②B．①②④

C．①②③D．②③

解析：

反证法是指假设命题的反面成立，再从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾，得出假设命题不成立是错误的，从而所求的命题成立，故应用反证法推出矛盾的推导过程中，作为条件使用的通常有①结论相反的判断，即假设；

③公理、定理、定义等，故选C.

答案：

C

2．“实数a，b，c不全大于0”等价于（　　）

A．a，b，c均不大于0

B．a，b，c中至少有一个大于0

C．a，b，c中至多有一个大于0

D．a，b，c中至少有一个不大于0

“不全大于0”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于0”，故选D.

D

3．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1（a，b是常数），且a>

b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有（　　）

A．0个B．1个

C．2个D．无穷多个

假设存在序号和数值均相等的项，即存在n∈N*，使得an＝bn，由题意a>

b，n∈N*，

∴an>

bn，从而an＋2>

bn＋1恒成立，∴不存在n∈N*使得an＝bn，故选A.

A

4．下列命题适合用反证法证明的是________．

①已知函数f（x）＝

（a>

1），证明：

方程f（x）＝0没有负实数根．

②若x，y∈R，x>

0，y>

0，且x＋y>

2，求证：

和

中至少有一个小于2.

③关于x的方程ax＝b（a≠0）的解是唯一的．

④同一平面内，分别与两相交直线垂直的两条直线必相交．

①是“否定性”命题；

②是“至少”类命题；

③是“唯一性”命题，且题中条件较少；

④不易直接证明，因此，四个命题都适合用反证法证明．

①②③④

知识点一

用反证法证明否（肯）定性命题

1.命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时，应假设________________．

“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以应假设a≠1或b≠1.

a≠1或b≠1

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝30°

，a＝3，b＝3

.

（1）求B和△ABC的面积；

（2）当B是钝角时，证明：

tan（B－118°

）不可能是有理数．

（1）由正弦定理得

＝

，即sinB＝

因为B是三角形内角且B>

A，所以B＝60°

或B＝120°

，

记△ABC的面积为S，

当B＝60°

时，C＝90°

，S＝

ab＝

×

3×

3

；

当B＝120°

时，C＝30°

absin30°

（2）证明：

因为B是钝角，结合

（1）的结论得tan（B－118°

）＝tan2°

假设tan2°

是有理数，则tan4°

为有理数；

同理可证tan8°

，tan16°

，tan32°

为有理数，

所以tan30°

，等式左边＝

为无理数，等式右边为有理数，从而矛盾，

则tan2°

不可能是有理数，即tan（B－118°

）不可能是有理数.

知识点二

用反证法证明“至少”“至多”问题

3.用反证法证明“若x，y都是正实数，且x＋y>

2，则

<

2或

2中至少有一个成立”时，应假设（　　）

A.

≥2且

≥2

B.

≥2或

C.

2

D.

假设

2和

2都不成立，即

≥2，故选A.

4．用反证法证明：

当m为任何实数时，关于x的方程x2－5x＋m＝0与2x2＋x＋6－m＝0至少有一个方程有实数根．

证明：

假设关于x的方程x2－5x＋m＝0与2x2＋x＋6－m＝0都没有实数根，

则有Δ＝25－4m<

0，且Δ′＝1－8（6－m）＝8m－47<

0，

解得m>

，且m<

，矛盾，

故假设不正确，从而原命题得证.

知识点三

用反证法证明存在性、唯一性命题

5.用反证法证明“若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a，b，c∈N，且a≠0）有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，假设应为（　　）

A．a，b，c都是偶数

B．a，b，c都不是偶数

C．a，b，c中至多有一个是偶数

D．a，b，c中至多有两个偶数

结合题意，得a，b，c中存在偶数，即至少有一个偶数，其否定为：

a，b，c都不是偶数，故选B.

B

6．若函数f（x）在区间[a，b]上的图象连续，且f（a）<

0，f（b）>

0，f（x）在[a，b]上单调递增，求证：

f（x）在（a，b）内有且只有一个零点．

由于f（x）在[a，b]上的图象连续，且f（a）<

0，即f（a）·

f（b）<

所以f（x）在（a，b）内至少存在一个零点，设零点为m，则f（m）＝0.

假设f（x）在（a，b）内还存在另一个零点n，

即f（n）＝0，则n≠m.

若n>

m，则f（n）>

f（m），即0>

0，矛盾；

若n<

m，则f（n）<

f（m），即0<

0，矛盾．

因此假设不正确，即f（x）在（a，b）内有且只有一个零点.

反证法的综合应用

7.

（1）已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2.

（2）已知a，b∈R，|a|＋|b|<

1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程

有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是（　　）

A．

（1）与

（2）的假设都错误

B．

（1）与

（2）的假设都正确

C．

（1）的假设正确；

（2）的假设错误

D．

（1）的假设错误；

（2）的假设正确

（1）的假设应为p＋q>

2.

（2）的假设正确，选D.

8．设函数f（x）＝ax2＋bx＋c且f

（1）＝－

，3a>

2c>

2b.

（1）试用反证法证明：

a>

0；

－3<

－

（1）假设a≤0，

∵3a>

2b，∴3a≤0,2c<

0,2b<

将上述不等式相加，得3a＋2c＋2b<

0.

∵f

（1）＝－

，∴3a＋2c＋2b＝0，

这与3a＋2c＋2b<

0矛盾，

∴假设不成立，∴a>

（2）∵f

（1）＝a＋b＋c＝－

，∴c＝－

a－b，

∴3a>

2c＝－3a－2b，∴3a>

－b.

∵2c>

2b，∴－3a>

4b.

∵a>

0，∴－3<

基础达标

一、选择题

1．下列关于反证法的说法，正确的是（　　）

①反证法的应用需要逆向思维；

②反证法是一种间接证明方法，否定结论时，一定要全面否定；

③反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾；

④使用反证法必须先否定结论，当结论的反面出现多种可能时，论证一种即可．

A．①②　　　　　　　　B．①③

C．②③D．③④

反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾，故③不正确，从而排除选项BCD，故选A.

2．“已知：

△ABC中，AB＝AC，求证：

∠B<

90°

.”下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：

（1）所以∠A＋∠B＋∠C>

180°

，这与三角形内角和定理相矛盾；

（2）所以∠B<

（3）假设∠B≥90°

（4）那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°

，即∠B＋∠C≥180°

这四个步骤正确的顺序应是（　　）

A．

（1）

（2）（3）（4）B．（4）（3）

（2）

（1）

C．（3）（4）

（1）

（2）D．（3）（4）

（2）

（1）

根据反证法的步骤，可知正确的顺序应是（3）（4）

（1）

（2），故选C.

3．有下列叙述：

①“a>

b”的反面是“a<

b”；

②“x＝y”的反面是“x>

y或x<

y”；

③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；

④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有（　　）

C．2个D．3个

①中，“a>

b”的反面是“a＝b或a<

b”，∴①不正确；

②显然正确；

③中“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内或三角形上”，∴③不正确；

④中，“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”，∴④不正确，故选B.

4．若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是（　　）

A．钝角三角形B．直角三角形

C．锐角三角形D．不能确定

分△ABC的直线只能过一个顶点与其对边相交，如直线AD（点D在BC上），则∠ADB＋∠ADC＝π，若∠ADB为锐角，则∠ADC为钝角，而∠ADC>

∠BAD，∠ADC>

∠ABD，△ABD与△ACD不可能相似，与已知矛盾，只有当∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝

时，才符合题意，故选B.

5．下列四个命题中错误的是（　　）

A．在△ABC中，若∠A＝90°

，则∠B一定是锐角

不可能成等差数列

C．在△ABC中，若a>

b>

c，则∠C>

60°

D．若n为整数且n2为偶数，则n是偶数

显然A、B、D命题均为真，C选项中，若a>

c，则A>

B>

C，若∠C>

，则∠A>

，∠B>

，∴A＋B＋C>

，这与A＋B＋C＝180°

矛盾，故选C.

6．设a，b，c是正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>

0”是“P，Q，R同时大于零”的（　　）

A．充分条件

B．必要条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

若“P，Q，R同时大于零”则“PQR>

0”成立，

∵a，b，c∈R＋，且PQR>

∴若P>

0，则Q<

0，R<

0或Q>

0，R>

若Q<

0，则b＋c－a<

0，c＋a－b<

0，∴a>

b＋c，a<

b－c.

∵c>

0，∴b＋c>

b－c，∴不等式a>

b－c不成立，即Q<

0不成立，

∴必有Q>

0，即P，Q，R同时大于零成立，

∴“PQR>

0”是“P，Q，R同时大于零”的充要条件，故选C.

7．设p，q，r∈（－∞，0），x＝p＋

，y＝q＋

，z＝r＋

，则x，y，z三个数（　　）

A．都大于－2

B．至少有一个不大于－2

C．都小于－2

D．至少有一个不小于－2

（反证法）假设x，y，z三个数均大于－2，即x>

－2，y>

－2，z>

－2，

则x＋y＋z>

－6　①.

又∵x＋y＋z＝p＋

＋q＋

＋r＋

＝－

≤－2

－2

＝－6，即x＋y＋z≤－6　②，

①②矛盾，∴假设不成立，

∴x，y，z三个数至少有一个不大于－2.故选B.

二、填空题

8．用反证法证明命题“若a，b∈R，且a2＋|b|＝0，则a，b全为0”时，应假设____________．

用反证法证明命题“若a，b∈R，且a2＋|b|＝0，则a，b全为0”时，应假设“a，b中至少有一个不为0”．

a，b中至少有一个不为0

9．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：

乘积p＝（a1－1）（a2－2）…（a7－7）为偶数．

假设p为奇数，则________________为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.

但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．

假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，

因为奇数个奇数之和为奇数，

故有奇数＝（a1－1）＋（a2－2）＋…＋（a7－7）＝（a1＋a2＋…＋a7）－（1＋2＋…＋7）＝0，

但奇数≠偶数，0为偶数，这一矛盾说明假设错误，从而P为偶数．

a1－1，a2－2，…，a7－7　（a1－1）＋（a2－2）＋…＋（a7－7）　（a1＋a2＋…＋a7）－（1＋2＋…＋7）

10．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>

∠APC，求证：

∠BAP<

∠CAP，用反证法证明时的假设为____________．

反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP<

∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP>

∠CAP.

∠BAP＝∠CAP或∠BAP>

∠CAP

11．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是________．

假设AC，BD共面，均在平面α内，即AC⊂α，BD⊂α，∴A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，∴AB⊂α，CD⊂α，这与AB、CD异面矛盾，∴AC、BD异面．

异面

12．设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a＋b>

1；

②a＋b＝2；

③a＋b>

2；

④a2＋b2>

④ab>

1.

其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________（填序号）．

若a＝

，b＝

，则a＋b>

1，但a<

1，b<

1，故①推不出；

若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；

若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>

2，故④推不出；

若a＝－2，b＝－3，则ab>

1，故⑤推不出；

对于③，a＋b>

2，则a，b中至少有一个大于1，用反证法证明如下：

假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2，与a＋b>

2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.

③

三、解答题

13．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：

不成等差数列．

成等差数列

则

＋

＝2

∴a＋c＋2

＝4b　①，

∵a，b，c成等比数列，

∴b2＝ac，即b＝

　②

由①②得a＝c，

∴b＝a＝c，

这与a、b、c不成等差数列矛盾

∴

14．已知直线m与直线a和b分别交于A，B且a∥b，求证：

过a、b、m有且只有一个平面．

∵a∥b，∴过a、b有一个平面α.

又m∩a＝A，m∩b＝B，

∴A∈a，B∈b，

∴A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，∴m⊂α.

即过a、b、m有一个平面α

假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α.

则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．

因此，过a、b、m有且只有一个平面.

能力提升

15.已知方程x2－4ax－4a＋3＝0，x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数，求实数a的取值范围．

假设三个方程均没有实根，则

解得－

a<

－1，

∴三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是

16．设函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），a，b，c均为整数，且f（0），f

（1）均为奇数，求证：

f（x）＝0无整数根．

假设f（x）＝0有整数根n，

则an2＋bn＋c＝0（n∈Z）而f（0），f

（1）均为奇数，

即c为奇数，a＋b为偶数，则a，b，c同时为奇数，或a，b同时为偶数，c为奇数，

当n为奇数时，an2＋bn为偶数；

当n为偶数时，an2＋bn也为偶数，即an2＋bn＋c为奇数，与an2＋bn＋c＝0矛盾．

所以f（x）＝0无整数根．