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第三节：

数学中的简单逻辑推理问题，2课时

第四节：

欺骗眼睛的几何问题，1课时

第五节：

抽屉原理的简单应用，2课时

第六节：

帕斯卡三角形与道路问题，2课时

第七节：

数独，4课时

第八节：

古代数学中的算法思想，2课时

第九节：

算法思想的应用，2课时

考核：

2课时

评价与考核

本课程采用考核与考试相结合的评价方式。

数学小论文：

由学生撰写解决问题的数学小论文，以评价学生的思辨能力和表达能力。

测试：

结合课本中出现的推理问题及所学的相关推理知识，以试卷形式，考查学生的推理能力和解决问题的能力，以了解学生对该校本课程的掌握。

第一节有趣的数学谜语

猜谜是一种非常有趣有益的智力活动，猜谜语也是锻炼思维能力的一种好方法。

听了谜语以后，就会动脑筋想：

这说的是什么东西呢？

“思源于疑”，“疑”是思维的开始,是创造的基础，大家觉得是不是呢？

今天我们就来猜谜语！

　　先看几个简单例子：

　　1．一加一不是二。

（打一字）

　　“一”字、加号“＋”、再来一个“一”字，组合在一起，得到的字不是“二”，而是“王”。

谜底是王。

　　2．一减一不是零。

　　“一”字、减号“-”、再来一个“一”字，组合在一起，得到的字不是“零”，而是“三”。

谜底是三。

　　3．八分之七。

（打一成语）

　　“八分之七”用数学符号写出来，把数字7写在分数线上面，8写在分数线下面，谜底是成语“七上八下”。

在上面这些谜语里，用一些很简单的数学知识，对谜语的文字作出新的理解，可以帮助猜出答案。

　　另外一类谜语，谜底是数学名词。

还是来看几个例子：

　　4．七六五四三二一。

（打一数学名词）

　　平常报数目，是从小到大顺着数，就像流行歌曲里唱的，“一二三四五六七，我的朋友在哪里”。

现在他说“七六五四三二一”，是从大到小，倒过来数了，所以谜底是“倒数”。

　　5．讨价还价。

　　买东西讨价还价，要经过反复协商，才能达成双方都同意的钱数。

这种协商钱数的过程，可以戏称为“商数”。

谜底是商数。

　　6．你盼着我，我盼着你。

　　“你盼着我”，是你在等候我；

“我盼着你”，是我在等候你。

两人互相等候，可谓“相等”。

谜底是相等。

　　7．成绩是多少？

（打二数学名词）

　　学习成绩是用得分的数目计算的。

问“多少”，可以换一个说法，改问“几何？

”在中国古代数学书里，问一种物品有多少个，总是问“物有几何？

”直到现在，有些地区的方言里，买东西问价钱，还是说“几何？

”所以，问“成绩多少”，等于是问“分数，几何？

”谜底是两个数学名词：

分数、几何。

今天我们见到的谜语都与数学有关，被我们称为数学谜语，根据谜面和谜底的不同，数学谜语有不同的分类。

同学们不妨一猜，可在紧张学习之余博得一乐，还可以提高学习数学的兴趣。

请同学们在说谜底的时候，将你的猜谜思路和过程有条理地向大家展示。

一、以数学用语为谜底的谜语

　　1.五角一趟2.两羊打架3.完全合算4.勤点钞票

　　5.两边清点6.有情人终成眷属7.合法开支8.打得鸳鸯各一方

　　9.垂钓10.马术11.戽12.岁岁重阳今又重阳

　　13.追本溯源14.对症下药15.多十分16.集体钓鱼

　　17.协议离婚18.打成和局19.团体赛20.刮胡子

　　21.摩拳擦掌22.谁押林冲去沧州（打两个数学用语）

二、以数字为谜面的谜语

　　23.一（打一成语）24.十百千（打一成语）

　　25.一二三四五六七九十（打一字）26.壹贰叁肆伍陆柒捌玖（打一古书名）

　　27.三八二十四（打一体育用语）28.7×

9（打一古军事书名，卷帘格）

三、以方程为谜面的谜语

　　29.x=只-吾（打一工业用语）30.x=旭÷

3（打一化学用语）

四、以数学家为谜底的谜语

　　31.东坡游春32.回眸一笑百媚生

五、以数学科目为谜面的谜语

　　33.解析几何（打一口头用语）

六、以运算符号为谜面的谜语

　　34.+-×

谜底：

1.一元二次（推算法）2.对顶角3.绝对值4.常数（通假法）5.分数6.同心圆7.有理数8.公分母9.等于（通假法）10.乘法11.内角（分解法）12.循环节13.求根14.开方15.余角（换算、通假）16.公垂线17.约分18.平角19.公共角20.平角（词性通假）21.等角22.两个解、差（问答法。

答曰：

两个解差，分开即是）23.大有人在24.万无一失（别解为没有“一”和“万”）25.口（谜面意为“只”少“八”）26.《拾遗记》（意为忘记写“拾”）27.女子双打（双打即两打，二十四）28.三十六计（7×

9计六十三，反序读之即得）29.成品（八口减五口为三口，三口即成“品”字）30.结晶（九日除以3得3日，结合为“晶”）31.苏步青32.杨乐33.十八斤（谜面别解为把“析”分解开是多少？

）34.支离破碎（把支分解开即为“+、-、×

”）

你能总结出猜数学谜语的基本方法吗？

【猜一猜，练一练】

第一组：

1.群策群力2.裁判职责3.批准法规4.弹簧弹性

　　5.人人富裕6.啦叭套子7.主动争取8.听候下令

　　9.财政赤字10.伪造账目11.追问到底12.准备参赛

　　13.交换赛场14.热身赛15.团体赛16.互相呼喊

　　17.中秋明月18.平原铁道19.货真价实20.提弦调音

　　1.公理2.定理3.定律4.有限5.无穷6.大于号7.不等号8.等号9.负数10.无理数11.求根12.等比13.更比14.相似15.合比16.对称17.圆18.直径19.绝对值20.正弦

第二组：

1.断纱接头（打一数学名词）

2.抬头望月正好初八（打一三角函数名）

　　3.一笔债务（打一数学名词）

　　4.两牛打架（打一数学名词）

　　5.大甩卖（打一数学名同）

　　6.再见吧妈妈（打一数学名词）

　　7.医生提笔（打一数学名词）

　　8.99（打一成语）

　　9.110（打一成语）

　　10.103与1002（打一成语）

　　11.大同小异（打一数学名词）

　　12.并驾齐驱（打一数学名词）

　　13.周而复始（打一数学名词）

　　14.考试不作弊（打一数学名词）

　　15.夏周之间（打一数学名词）

　　16.捷道（打一数学名词）

　　17.算盘珠（打一数学名词）

　　18.联合国宪章（打一数学名词）

　　19.岁岁重阳，今又重阳（打一数学名词）

　　1.延长线；

2.正弦；

3.负数；

4.对顶角；

5.绝对值；

6.分子分母；

7.开方；

8.百无一是；

9.一成不变；

10.千变万化；

11.近似；

12.平行；

13.循环；

14.真分数；

15.商；

16.直径；

17.代数；

18.最大公约数；

19.循环节。

【数学谜语集锦】

（一）、打数学名词方面的

1.五四三二一；

2.缺了会计；

3.邮寄账本；

4.信件统计；

5.替人查账；

6.查账；

7.开奖；

8.算术老师的教鞭；

9.一笔债务；

10.商店盘货；

11.用；

12.同室操戈；

13.团体赛；

14.兵对兵，将对将；

15.左右夹攻；

16.重判；

17.轻判；

18.车站告示；

19.背着喇叭；

20.待命冲锋；

21.朱元璋登基；

22.婚姻法；

23.演员招考制度；

24.五角；

25.员；

26.刀口；

27.海峡两岸盼统一；

28.有情人终成眷属；

29.马路没弯儿；

30.两个寨子隔条岗，南寨没有北寨强；

南寨好汉有五条，不及北寨人一双。

31.健全法制；

32.儿童储蓄；

33.聚散无常；

34.千丝万缕；

35.身高；

36.会谈；

37.欲言又止；

38.保持距离，同时起飞；

39.五角钱一趟；

40.浮萍；

41.互盼；

42.合家欢；

43.恰如其分；

44.一望无际；

45.一模一样；

46.哨声响了；

47.减法没算对；

48.垂钓；

49.走致富之路；

50.北；

51.抬头望月，正好初八；

52.二胡调音；

53.时刻盼望上战场（打数学二名词）；

54.丞（打数学三名同）；

55.一个邮递员掀起了信箱的盖子，在清点有多少信件。

你能根据这一情况猜出三个数学名词吗？

（二）、打数学家名字方面的

　　1.虎丘游春；

2.博览群书。

（三）、打其它方面的

　　1.八十五（打一影片名）；

2.三八二十四（打一体育名词）；

3.四加四（打一字）；

4.+-×

÷

（打一政治名词）；

5.圆规画鸡蛋（打一城市名称）；

6.力（打一珠算口诀）；

7.千古兴亡多少事（打三学科名称）；

8.向阳村和青松村比赛篮球。

向阳队是东方乡的冠军，而青松队是长丰乡的冠军，这场两个冠军队的比赛打得非常激烈、精彩，每球必争，比分不相上下，直到最后一分钟，向阳队罚进一球才分出胜负。

当有人问起胜负情况和比分时，向阳队的球员说，这次比赛是“白”字比“杂”字，我们只赢了一分。

你知道两个队各得几分？

（一）、1.倒数：

2.无理数；

3.函数；

4.函数；

5.代数；

6.对数；

7.对数；

8.指数：

9.负数；

10.复数；

11.半角；

12.内角；

13.公共角；

14.同位角；

15.两面角；

16.加法（谜面意即“加罚”，“罚”与“法”谐音）；

17.减法；

18.乘法（乘车方法，取乘法）；

19.负号；

20.等号；

21.消元；

22.结合律；

23.优选法；

24.半圆；

25.圆心；

26.切点；

27.同心圆；

28.同心圆；

29.直径；

30.算盘；

31.圆规；

32.微积分；

33.不定积分；

34.繁分式；

35.立体几何；

36.集合论；

37.控制论；

38.平行；

39.一元二次；

40.不定根；

41.相等；

42.共圆；

43.精确值；

44.无穷大；

45.全等；

46.集合；

47.误差；

48.等于（“于”与“鱼”谐音）；

49.趋向无穷；

50.反比（反扣法，“北”反为“比”）；

51.正弦（假借法，因为初八月亮是上弦，“上”含“正”，故为“正弦”）；

52.正弦；

53.等角、正切；

54.大于、小于、分子（用增损法猜测）；

55.开立方、函数、几何。

（二）、1.苏步青；

2.张广厚。

（三）、1.月到中秋；

2.女子双打（“三八”扣“女子”，“二十四”扣“双打”，因为十二为一打）；

3.积（“四加四”和是八，再由“和八”拼成“积”字）；

4.分裂主义；

5.太原（“原”与“圆”谐音）；

6.二一添作五；

7.历史、代数、几何；

9.九十九比九十八（“白”是“百”减“一”：

“杂”是“九”、“十”、“八”的组合）。

注：

1、不同的谜面有时有相同的谜底；

2、同一个谜面它的谜底有时是由几部分组成的，且这几部分都是并列的，必须都猜出来才算全对；

3、第五十五个谜语属哑谜，最后一个谜语属故事谜。

猜数学谜语可锻炼思维能力，提高学习数学的兴趣。

在猜谜的过程中，有时需要一步步地深入，前面猜测的结果可能成为下一步的前提。

因此，算法思想始终渗透在数学谜语中，条理清晰，理由充分，推理正确，才能一步步地贴近谜面。

同时，请学生表述答案的过程是提高表达能力的过程。

第二节3根指挥棒和12个直角

　　英国发明家瓦特（1736—1819）获得了蒸汽机专利后，从一个大学实验员一跃成为波士顿──瓦特公司的老板，还成为英国皇家学会的会员，引起了许多旧贵族的不满。

据说，在一次皇家音乐会上，有个贵族故意嘲讽地对瓦特说：

“乐队指挥手里拿的东西在物理学家眼里仅仅是根棒子而已。

”瓦特回答道：

“是的，那的确是根棒子但是我可以用这样3根棒子组成12个直角，而你却不能做到。

”那个贵族不服气地用3根指挥棒在桌上摆来摆去，可始终无法摆出12个直角。

　　你能拼出12个直角吗？

试试看！

　　下面我们一起来讨论一下：

　　如果把图1中最下面的一根指挥棒向左平移，就摆成了6个直角（见图2）。

如果把图2中最下面的指挥棒往上平移，就可以摆出8个直角（见图3）。

　　这时候，我们会发现，在桌面无论怎样摆法，直角数都不会超过8个。

于是，我们可以得出结论：

在桌面上，无法用3根指挥棒拼出12个直角。

图1

图2图3

但是，瓦特并没有说“我能在桌面上拼出12个直角！

”因此，我们应该离开桌面来讨论这个问题。

我们重新来考虑一下：

　　如果把2根指挥棒十字交叉地放在桌面上，另一根指挥棒的一端摆在前2根指挥棒的交叉处并使这根棒与桌面垂直（如图4），这时拼出的直角也是8个。

如果把摆在桌面上的两根指挥棒离开桌面，紧挨着与桌面垂直的小棒向上方

平移（如图5）。

那么，这时我们会发现，12个直角出现了。

　　　图4　　　　　　　　　　图5

一位心理学家曾经出过这样一个测验题:

在一块土地上种植四棵树,使得每两棵树之间的距离都相等.受试的学生在纸上画了一个又一个的几何图形:

正方形、菱形、梯形、平行四边形……然而，无论什么四边形都不行。

这时，心理学家公布出了答案，其中一棵树可以种在山顶上！

这样，只要其余三棵树与之构成正四面体的话，就能符合题意要求了。

这些受试的学生考虑了那样长的时间却找不到答案，原因在于他们没有学会使用一种创造性的方法——立体思维法。

人们进行思维活动时总会受过去的生活经验和已有思维方法的影响。

对于这些受试者来说，平面几何是他们比较熟悉的知识。

于是，当他们碰到几何问题的时候，也往往先从平面几何而不是立体几何的角度来进行思考。

这时，为他们所牢固掌握的平面几何也就成了他们思考问题的框框，于是也就想不出正确的结果来。

立体思维要求人们跳出点、线、面的限制，有意识地从上下左右、四面八方各个方向去考虑问题，也就是要“立起来思考”。

其实，有不少东西都是跃出平面，伸向空间的结果。

小到弹簧、发条，大到奔驰长啸的列车，耸入云天的摩天大厦……最典型的要数电子王国中的“格里佛小人”——集成电路了。

在电子线路板上也制造出立体形的，它不仅在上下两面有导电层，而且在线路板的中间设有许多导电层，从而大大节约了原材料，提高了效率。

从大的来说有立体网箱养鱼技术、大型立交桥等。

杭州市青少年业余发明学校的学生利用立体思维发明了立体文具盒、立体工具箱、立体报刊架等，收到了明显的效果。

科学家在研制飞机、导弹和卫星时需要运用非常复杂的电于设备，装配这些设备往往需要几十万甚至几百万个晶体管、电阻、电容等电子元件，这样的设备体积十分庞大，携带和使用也不方便。

后来，他们将各种电子元件由平面式的接线方式改为立体式的连接，充分利用真空扩散、表面处理等方法，制成了平面型的晶体管、电阻、电容。

这些很薄很薄的元件通过层层重叠的方式组装起来，就构成了微型组合电路，再在一个单晶硅片上做成集成电路。

这样，一个5平方毫米的硅片上可集成27000个元件。

正是由于有了这种集成电路才有了电子手表、电子计算器等袖珍电子产品。

课后，请同学们思考这样一个问题：

我们知道，以3根火柴为边可以组成一个三角形。

那么，用6根火柴能组成4个三角形吗？

第三节数学中的简单逻辑推理问题

一、“被墨水盖住”的算式

　　如果要想具备福尔摩斯那样神奇的破译密码的本领，不但应具有非凡的推理能力，还要懂得大量的其他知识。

然而，只要你有心，也可以破译一些简单的密码。

　　现在我们来看一个例子：

　　据传说，英国物理学家牛顿（1642－1727）小的时候，学习成绩几乎在学校是倒数第一。

后来他下决心改变这一令人沮丧的状况。

有一次，他把自己的作业做得干净整齐，没有任何错误，但正当他把笔和本子收起来时，糟糕的事情发生了：

墨水洒了，正好在他的一道算术题上留下了一块墨迹。

下图显示了这个令人不快的结果。

　　式中只剩下了3个数字较为清晰。

小牛顿尽了一切努力，最后终于记起来整道题凑巧用了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全部10个数字，一样一个。

如果这是一种从0到9这10个数字编制的密码，你能破译出被墨水盖住的都是哪些数字吗？

　　由于被墨水盖住的是10个数字，所以原式应为：

28？

　　+？

？

4

　　────—

　　？

　　我们可以把这个算式写成：

28A

　　+CB4

　　GFED

其中每个英文字母分别表示数字0、1、3、5、6、7、9中的某一个。

　　我们先考虑千位上的G。

两个三位数相加，和是四位数，由于两个百位上的数相加，和最多向千位进1，所以，G只能是1，这时，算式就成了：

　　────

　　1FED

　　再看百位上的C和F。

如果要保证向千位进1，C不能小于7，即C只可能是7或9中的一个。

设C=9，那么如果十位不进位到百位，F=1；

如果十位进位到百位，F=2。

这都和已知的数字重复。

所以C≠9。

　　所以C=7，F=0。

即

　　+7B4

　　10ED

这时，B可能是3、5、6、7中的某一个。

如果B=3，那么应有E=1或2，但这不可能；

如果B=5，那么E=3，但6+4≠9，9+4≠6；

如果B=6，那么E=5，这时令A=9，则有D=3。

整理出来就是：

A=9，B=6，C=7，D=3，E=5，F=0，G=1。

　　于是，小牛顿的算式应为：

289

　　+764

　　1053

二、问路问题

　　有这样一个故事：

在太平洋中有AB两个相邻的小岛。

A岛居民都是诚实的人，B岛的居民都是骗子。

当你问一个问题时，A岛的居民会告诉你正确的答案，而B岛的居民给你的答案都是错误的。

一天，一个旅游者独自登上了两岛中的某个岛。

他分辨不清这个岛是A岛还是B岛，只知道这个岛上的人既有本岛的居民又有另一岛的来客。

他想问岛上的人“这是A岛还是B岛？

”却又无法判断被问者的答案是否正确。

旅游者动脑筋想了会一儿，终于想出一个办法，他只需要问他所遇到的任意一人一句话，就能从对方的回答中准确无误地断定这里是哪个岛。

你能猜出旅游者所问的问题吗？

　　如果旅游者直接问“这是A岛还是B岛？

”那么当被问者是A岛人时，他会得到正确的回答；

当被问者是B岛人时，他会得到错误的回答。

两种回答截然相反，而旅游者又无法知道他得到的答案对不对，因此这样问话达不到问路的目的。

聪明的旅游者的问话是，“你是这个岛的居民吗？

”如果对方回答“是”，那么这个岛一定是A岛；

如果对方回答“不是”，那么这个岛一定是B岛。

你能说出这是为什么吗？

　　下面我们就对上面的问题进行分析：

我们知道，旅游者提出问题时并不知道提问地是何岛，也不知道被问者是何岛居民。

他要从所听到的第一句回答来判断问话地是何岛。

因此，所提问题的答案必须是因提问地而异，而不由被问者是A岛居民或是B岛居民发生变化。

根据上述特点，我们设法找到这样的问题：

1、使得在A岛提问时，被问者（不论是何岛居民）都回答同样的一种答案；

2、在B岛提问时，被问者都回答另一种答案。

于是，我们就可以根据任一人的回答来判断提问地为何岛了。

显然，这样的问题必须与提问地相关，并且还要与被问者有关，如果在A岛提出这样的问题时，A岛居民应作肯定回答（B岛居民也会作肯定回答，但这种回答与客观实际相反），那么在B岛提出同一问题时，A岛居民应作否定回答（B岛居民也会做否定回答，但回答与实际情况相反）。

“你是这个岛的居民吗？

”这一问题就是一个满足以上要求的问题，我们通过下表表示在不同的提问地的不同的被问者对问题的相应回答。

问题：

你是这个岛的居民吗？

问话地

被问者

A岛居民

B岛居民

A岛

回答

是

B岛

不是

由上表可以一目了然地发现：

在A岛提问时，回答总为“是”；

在B岛提问时，回答总为“不是”。

这就为旅游者判断提问地是哪个岛提供了依据，于是“问路问题”得以解决。

　　请想一想，如果旅游者的问题为“你是相邻的另一岛上的居民吗？

”，那么能根据任一人的回答来判断提问地是何岛吗？

为什么？

试通过列表的方式说明理由。

数学中有个分支叫做数理逻辑，它通过数学方法来研究逻辑规律。

在数理逻辑中，列表法是一种基本的研究方法，只是其中表的形式与本文中的表有许多不同，使用了一些有关命题、真值的抽象符号，但其基本思想与我们用表讨论问题的思想是大体一致的，都是通过列表来分析和说明问题。

数学是以逻辑推理为重要研究方法的学科。

所谓逻辑推理，就是合乎事理的、有根有据的推导判断。

上面的两个问题正是