数学建模跳高问题Word文档格式.docx
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柯奇以“跨越式”创造了1.70米的第一个跳高世界纪录。
1895年美国人斯维尼发明了“剪式”跳高，并以这种姿势创造了1.97米的世界纪录。
滚式跳高亦源于美国，1912年，在美国斯坦福大学的运动会上霍林用“滚式”跳过了2.007米的横杆，成为世界上第一个突破2米大关的人。
俯卧式跳高起于20世纪20年代的苏联运动员伏洛佐夫，1936年美国运动员阿尔布里顿创造了2.07米的世界纪录后，才得到人们的认同和重视并开始被普遍采用。
现在，经过百余年的演变和发展，已达到相当高的水平。
尤其是背越式技术的出现，使跳高运动水平有了新的突破。
目前世界跳高运动总体水平正处于稳定发展时期，然而我国的跳高运动却出现了滑坡现象。
在这种形势下,我们对当代世界跳高运动发展特点进行研究。
对中国和世界的跳高成绩进行比较研究，分析影响跳高成绩的关键因素，能使我们更多地了解和掌握世界跳高的动态及发展趋势。
请你们的团队从附表1给出的历届奥运会跳高冠军成绩，附表2、表3分别给出的某一时期国际、国内运动员训练素质与比赛成绩数据，以及国际田联（http:
//www.iaaf.org/statistics/toplists/index.html）1978年以来男、女跳高竞赛成绩，国际奥委会官方网站（http:
//www.olympic.org/athletics）等有关网站搜索相关资料和补充新的数据，解决如下问题：
1.通过国际田联、或国际奥委会官方网站提供数据，建立数学模型，分析
男、女跳高运动成绩极限状态；
2.预测即将到来的30届伦敦奥运会男、女跳高冠军成绩；
3.就附表1、表2数据，选择合适的方法，从身体素质角度分析影响跳高
运动员成绩的重要因素；
4.从运动学角度分析影响跳高运动员成绩的因素。
二、问题分析与建模求解
1）问题一、二
1.模型假设：
阻滞增长模型
我们假设运动员跳高成绩增长率
是跳高原成绩
的线性减函数，即随着跳高成绩的增加，跳高成绩增长速度会慢慢下降：
运动员跳高成绩最终会达到饱和，且趋于一个常数
，当
时，增长率为0：
由上面的关系式可得出：
把上式代进指数增长模型的方程中，并利用初始条件
，可以得到：
解得：
2.定义符号说明：
-----------------------------------运动员跳高成绩增长率
------------------------------------跳高原成绩
-------------------------------------跳高成绩的极限
3.模型建立与求解：
表1历届奥运会男、女跳高冠军成绩
届
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
年份
1896
1900
1904
1908
1912
1920
1924
1928
1932
1936
男子（米）
1.81
1.90
1.80
1.93
1.98
1.94
1.97
2.03
女子（米）
1.59
1.657
1.60
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
1948
1952
1956
1960
1964
1968
1972
1976
1980
1984
2.04
2.12
2.16
2.18
2.24
2.23
2.25
2.36
2.35
1.68
1.67
1.76
1.85
1.82
1.92
2.02
24
25
26
27
28
29
1988
1992
1996
2000
2004
2008
2.38
2.34
2.39
2.05
2.01
2.06
1）男性
利用初始条件
同理，女性有
我们可以利用已有数据拟合求解得（程序见附件一）:
可以预测第30届伦敦奥运会男、女冠军成绩分别为2.3845、2.0707。
如下图为男女冠军成绩增长曲线：
图1男女冠军成绩增长曲线
2）问题三
1、影响国际男子跳高成绩重要因素
多元线性回归模型：
一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。
当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。
一：
多元回归
1．1.多元回归模型（multipleregressionmodel）
称为多元线性回归模型
1．2．多元线性回归模型包含一个因变量与两个或两个以上自变量.
1．3．误差项ε为随机变量
1．4．
为模型的参数，称回归系数
1．5．误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E（）=0.
1．6．误差项ε的方差都相等，即
1．7．误差项服从正态分布，即
称
为总体多元线性回归方程.表示当其他变量不变，而每变动一个单位时，E（y）相应的变值.
二、估计的多元回归的方程
2.1
2．2、参数的最小二乘估计
使因变量的观察值y与估计值之间的离差平方和达到
最小来求，即使
达到最小.称
为
的最小二乘估计.
根据微积分中求极值的原理，应是下列正规方程组的解
表2国际男子跳高运动员各项素质指标
序号
跳高成绩
Y
30
行进跑X1
三级跳远
X2
助跑摸高（净高）
X3
助跑4—6步跳高
X4
后抛铅球
X5
深蹲杠铃
X6
杠铃半蹲系数
X7
100
X8
1
2.4
2.6
10.1
1.25
200
2.55
10.7
2.31
2.9
9.65
1.18
177.5
2.32
10.9
2.7
10.05
1.24
15.9
197.5
2.52
10.8
2.33
9.75
1.19
2.19
15.3
182.5
2.37
2.8
9.95
1.22
2.22
15.7
192.5
2.47
6
2.27
9.45
1.16
2.15
14.2
170
2.2
9.85
1.2
15.5
187.5
2.42
9.8
15.4
185
2.28
9.5
14.4
9.7
15.2
180
9.9
1.21
2.21
15.6
190
2.45
12
2.3
9.6
1.17
2.17
14.8
175
2.29
13
9.55
14.6
172.5
2.26
9.4
1.15
2.14
176.5
1.23
15.8
195
2.5
三．逐项回归
我们根据表中所给数据，分析得到各个影响跳高成绩的身体素质指标与跳高成绩的相关性。
画出Xii=1,2,,,8;
与Y的散点图，判断X与Y的线性相关性。
由图得知X1，X8，即3行进跑，100m跑的成绩与跳高成绩Y没有相关性，至少没有其他因素与跳高成绩的相关性强，所以在拟合回归方程时对30m行进跑，100m跑的成绩不予考虑。
以下为国际男子跳高运动员各项素质指标与跳高成绩的散点分布图：
图2三十米行进跑与跳高成绩的关联性
图3三级跳远与跳高成绩的相关性
图4助跑摸高与跳高成绩的相关性
图5助跑4—6跳高与跳高成绩的相关性
图6后抛铅球与跳高成绩的相关性
图7深蹲杠铃与跳高成绩的相关性
图8杠铃半蹲系数与跳高成绩的相关性
图9100m跑与跳高成绩的相关性
图10残差分析图
注释：
黑色直线点可是为异常点
3．1拟合系数B（原程序见附件二）
b=
0.380000000000056
0.199********9989
0.000000000000094
-0.000000000000037
0.000000000000002
-0.000000000000000
-0.000000000000001
b相应的置信区间
bint=
0.3799999999996300.380000000000482
0.199********99030.200000000000074
-0.0000000000000700.000000000000259
-0.0000000000002170.000000000000143
-0.0000000000000080.000000000000012
-0.0000000000000000.000000000000000
-0.0000000000001390.000000000000137
3．2残差
r=
1.0e-014*
-0.044408920985006
0.044408920985006
0.133********50190
.0888********
残差置信区间
rint=
-0.1748278768184590.086010034848446
.0756********
-0.1027926362233760.191610478193389
-0.1117248234783310.200542665448343
0.0060064507179470.260447075192090
-0.1133479756662370.113347975666237
-0.0346886698798020.212324353819827
.0378********
-0.0430716190760010.131********6013
-0.1004434577352740.189********5287
-0.150********96030.150********9603
-0.1242592096302900.213077051600302
-0.177********41250.088966602754112
0.0444089209850060.044408920985006
-0.1185162131057560.207334055075769
残差置信区间包含0点，说明回归模型
y^=0.38+0.19999*x2
能较好地符合原始数据
3．3相关系数平方R；
假设统计变量F；
及F对应的频率
stats=
17.88760373475343e+0271.22480195141135e-1105.91645678915759e-031
R^2为1说明自变量与因变量有较好的相关性。
得到回归方程：
y^=0.38+0.19999*x2
表3原始数据与预测数据的比较
原始成绩Y（m）
预测成绩y^（m）
2.400
2.310
2.390
2.330
2.369
2.270
2.349
2.339
2.279
2.319
2.360
2.2999
2.290
2.259
2.379
四.产生随机数进行模型检测
4．1算跳高运动员的各项身体素质指标是符合均匀随机分布的，我们可以利用产随机数的方法来检测我们得到的多元回归方程。
4．2随机数的产生方法：
首先利用rand函数产生一组0-1分布的均匀随机数R要产生在（N,M）上的均匀随机数，
Y=N+R*（M-N）
即可产生.
4．3利用产生随机数的方法，在带入到我们的回归方程利用MATLAB软件得到一组运动员的跳高成绩如下：
（程序见附件三）
表4利用产生随机数的方法得到的跳高成绩
成绩
2.365
2.295
2.3308
2.357
2.394
2.336
2.280
2.296
2.377
2.373
2.294
2、影响国内男子跳高成绩重要因素
一：
问题分析
1．1利用MATLAB画图工具画出影响运动员跳高成绩的各项身体素质指标与运动员跳高成绩的X—Y散点图如下图。
由图可以直观的得出结论：
跳高成绩与运动员身体素质指标没有很明显的线性相关性。
所以我们不能利用线性回归方程来给出预测模型。
1．2同时我们利用MATLAB软件逐项回归函数，也可以得出相同的结果，又图8可知，在影响运动员跳高成绩的各项身体素质指标中只有X3即助跑摸高与跳高成绩有线性相关性。
所以对于国内男子跳高成绩，我们可以用非线性回归的方法来预测。
二：
非线性回归方程
2．1非线性回归是在影响因变量的多个自变量与因变量线性相关性不强的时候，采用的一种函数拟合预测方法。
我们可以利用MATLAB自带函数来给出预测。
（程序见附件四）
2．2回归可以用以下两个命令之一：
（1）:
确定回归系数的命令：
【betra,r,j】=nlinfit（X,Y,’model’,betr0）其中，输入数据X,Y分别是[n,m]矩阵和n维列向量；
betr0是回归系数的初值。
Betra是估计出来的回归系数，r（残差），J是估计预测误差需要的数据。
（2）非线性回归命令：
nlintool（X,Y,’model’,beta0,aplha）
其中各参数含义同上，alpha为显著性水平，缺省时为0.05.命令产生一个交互式的画面，画面中有拟合的曲线和Y的置信区间。
对某些非线性回归也可以化为线性回归来预测。
表5国内男子跳高运动员各项素质指标
立定跳远
原地纵跳
助跑摸高
半蹲杠铃
100跑
行进跑
11
3.15
90
3.6
155
320
11.4
3.7
80
165
10.76
3.45
3.2
3.5
145
260
11.2
3.56
3.11
86
3.43
110
10.75
3.44
94
3.71
125
2.95
75
3.52
140
220
11.8
3.65
300
11.5
95
310
2.86
84
3.4
290
12.1
2.08
85
3.35
130
280
3.25
150
305
11.3
表6非线性回归模型产生的预测成绩
原始成绩
预测成绩
2.2313
2.1923
2.1741
2.1686
2.3982
2.1257
2.2023
2.1485
2.1041
2.1046
2.0198
影响运动员跳高成绩的各项身体素质指标散点图：
图11深蹲杠铃与国内男子跳高成绩的相关性
图12半蹲杠铃与国内男子跳高成绩的相关性
图13100米跑与国内男子跳高成绩的相关性
图1430米跑与国内男子跳高成绩的相关性
逐步回归图
图15国内男子各项素质指标与跳高成绩的逐步回归图
图16国内男子预测成绩与真实成绩对比图
3、结果分析与总结
研究主要结论如下：
通过散点图以及多元线性模型分析，国际男子的各项素质指标主要与三级跳远、助跑摸高（净高）、助跑4—6步跳高、后抛铅球、深蹲杠铃、杠铃半蹲系数有关。
我国男子的各项素质指标主要与助跑摸高有极大地相关性，而与跳高、立定跳远、原地纵跳、深蹲杠铃、原地杠铃、100m跑、30m跑的相关
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