人教版初中数学九年级上册第二十一章《212解一元二次方程》同步练习题解析版.docx
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人教版初中数学九年级上册第二十一章《212解一元二次方程》同步练习题解析版
九年级上册第二十一章《21.2解一元二次方程》同步练习题
一、选择题（每小题只有一个正确答案）
1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是
A．B．且C．且D．且
2．下列方程中，没有实数根的是
A．B．C．D．
3．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则可推断△ABC一定是（）．
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形
4．用配方法解方程，则方程可变形为
A．B．C．D．
5．方程的解是（）
A．x1=2，x2=3B．x1=2，x2=1C．x=2D．x=3
6．已知关于x的方程有一个根为，则另一个根为
A．5B．C．2D．
7．已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为
A．13B．11或13C．11D．12
8．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3B．1C．﹣1D．﹣3
二、填空题
9．方程x2=9的解为_____．
10．若将方程x2+2x﹣1=0配方成（x+a）2=h的形式，则a+h的值是_____．
11．已知关于x的一元二次方程的两个根是1和，则mn的值是______．
12．对于任意实数a、b，定义：
a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5=0的两根记为m、n，则m2+n2=．
13．关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负整数a=_____（一个即可）．
三、解答题
14．用公式法解下列方程：
（1）x2+2x﹣1=0
（2）16x2+8x=3．
15．解方程：
（1）；
（2）．
16．解下列一元二次方程：
（1）
（2）
（3）+4-1=0（用配方法）
（4）22-8+3=0（用公式法）
17．已知：
关于的一元二次方程．
（1）求证：
不论为任何实数，此方程总有实数根；
（2）如果该方程有两个不等的整数根，且为正整数，求的值；
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出不等式，且二次项系数不为0，即可求出k的范围．
【详解】
∵一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=4+4k＞0，且k≠0，
解得：
k＞-1且k≠0．
故选D．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
2．D
【解析】
【分析】
分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．
【详解】
A、△=（-2）2-4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；
B、△=（-2）2-4×1×（-1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、△=（-2）2-4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；
D、△=（-2）2-4×1×2=-4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
3．C
【解析】
【分析】
根据判别式的意义得到，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形.
【详解】
根据题意得：
，
所以，
所以为直角三角形，.
故选：
.
【点睛】
本题考查了根的判别式：
一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根.也考查了勾股定理的逆定理.
4．C
【解析】
【分析】
把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，把方程变化为左边是完全平方的形式．
【详解】
解：
，
，
，
．
故选：
C．
【点睛】
本题考查的是用配方法解方程，把方程的左边配成完全平方的形式，右边是非负数．
5．A
【解析】
【分析】
利用因式分解法求解即可.
【详解】
移项得：
（x-2）²-（x-2）=0,
提公因式得：
（x-2）（x-2-1）=0,
解得：
.故选A.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法求解即可.
6．B
【解析】
【分析】
根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值．
【详解】
∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，设另一个根为m，∴﹣2+m=，
解得：
m=﹣1．
故选B．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数．
7．B
【解析】
【分析】
由一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，利用因式分解法求解即可求得等腰的底边长和腰长，然后分别从当底边长和腰长分别为3和5时与当底边长和腰长分别为5和3时去分析，即可求得答案．
【详解】
，
，
或，
即，
一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，
当底边长和腰长分别为3和5时，，
的周长为：
；
当底边长和腰长分别为5和3时，，
的周长为：
；
的周长为：
11或13．
故选：
B．
【点睛】
此题考查了因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系此题难度不大，注意分类讨论思想的应用．
8．B
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．
【详解】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
9．±3
【解析】
【分析】
直接开平方法求解可得．
【详解】
∵x2=9，∴x=±3，故答案是：
±3.
【点睛】
考查解一元二次方程的方法，解题关键是直接运用了开平方法．
10．3
【解析】
【分析】
先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上1，则把方程左边写成完全平方的形式得到（x+1）2=2，于是得到a=1，h=2，然后计算a+h即可．
【详解】
x2+2x=1，
x2+2x+1=1+1，
（x+1）2=2，
所以a=1，h=2，
所以a+h=1+2=3．
故答案是：
3．
【点睛】
考查了解一元二次方程-配方法：
将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
11．
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】
由根与系数的关系可知：
，，
，
故答案为：
【点睛】
考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
12．6．
【解析】
【分析】
根据新定义可得出m、n为方程x2+2x﹣1=0的两个根，利用根与系数的关系可得出m+n=﹣2、mn=﹣1，将其代入m2+n2=（m+n）2﹣2mn中即可得出结论．
【详解】
解：
∵（x◆2）﹣5=x2+2x+4﹣5，
∴m、n为方程x2+2x﹣1=0的两个根，
∴m+n=﹣2，mn=﹣1，
∴m2+n2=（m+n）2﹣2mn=6．
故答案为：
6．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
13．﹣2
【解析】
【分析】
先根据判别式的意义得到△=42+8a≥0，解得a≥-2，然后在解集中找出负整数即可．
【详解】
∵关于x的方程ax2+4x-2=0（a≠0）有实数根，
∴△=42+8a≥0，
解得a≥-2，
∴负整数a=-1或-2．
故答案为-2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
14．
（1）x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；
（2）x1=，x2=﹣．
【解析】
【分析】
（1）求出b2-4ac的值，再代入公式x=求出即可；
（2）求出b2-4ac的值，再代入公式x=求出即可．
【详解】
（1）x2+2x﹣1=0，
b2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣1）=8，
x=，
x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；
（2）16x2+8x=3，
16x2+8x﹣3=0，
b2﹣4ac=82﹣4×16×（﹣3）=256，
x=，
x1=，x2=﹣．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．
15．
（1）x1=5，x2=-1；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先求出的值，再代入公式求出即可.
【详解】
（1）x2-4x-5=0，
分解因式得：
（x-5）（x+1）=0，
x-5=0，x+1=0，
x1=5，x2=-1；
（2）2x2-2x-1=0，
a=2，b=-2，c=-1，
△=b2-4ac=（-2）2-4×2×（-1）=12＞0，
方程有两个不相等实数根，
.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键.
16．
（1）；
（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】
（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
（2）先把方程变形为x（x-4）-4（x-4）=0，然后利用因式分解法解方程；
（3）利用配方法得到（x+2）2=5，然后利用直接开平方法解方程；
（4）先计算出判别式的值，然后利用求根公式写出方程的解．
【详解】
（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法解一元二次方程．
17．
（1）见解析；
（2）m=1．
【解析】
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（3m-1）2≥0，由此即可证出：
不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出方程的解，根据该方程有两个不等的整数根结合m为正整数，即可求出m的值．
【详解】
（1）∵△=（3m+1）2－12m=9m2－6m+1=（3m－1）2．
∴不论m为任何实数时总有（3m－1）2≥0．
∴此时方程有实数根．
（2）∵mx2+（3m+1）x+3=0．
解得x1=－3，x2=．
∵方程mx2+（3m+1）x+3=0有两个不等的整数根，且m为正整数，
∴m=1．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：
（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；
（2）利用因式分解法求出原方程的解．
18．
（1）k≤；
（2）k=﹣1．
【解析】
【分析】
（1）根据方程有实数根得出△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+
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