单级倒立摆Word格式文档下载.docx

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　　倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。

　　现在由中国的大连理工大学李洪兴教授领导的模糊系统与模糊信息研究中心暨复杂系统智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制成功地实现了四级倒立摆。

　　因此，中国是世界上第一个成功完成四级倒立摆实验的国家。

　　倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。

　　当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。

　　二、单级倒立摆：

单级倒立摆如图1所示：

长度为l、质量为m的单级倒立摆，用铰链安装在质量为M的小车上。

　　小车受执行电机操纵，在水平方向上施加控制量u，则产生位移z。

　　为简化问题，忽略摆杆质量、执行电机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦力和风力。

　　控制的目的是当单级倒立摆出现偏角以后能通过小车的水平运动使单级倒立摆保持在垂直位置。

　　要求建立该系统的数学模型，用状态反馈配置系统极点，利用全维状态观测器实现状态反馈。

　　图1三、倒立摆状态空间描述：

设小车相对位移参考坐标系的瞬时位置为x，那么小球摆心瞬时位置为（xlsin）。

　　在水平方向，由牛顿第二定律可得dxdMm（xlsin）udtdt2222在垂直方向，由惯性力矩与重力矩平衡可得d[m（xlsin）]lcosmglsindt22上述两式可化为（Mm）xmlcosmlsinuxcoslcoslsincosgsin222这两个方程都是非线性方程，为求得解析解，进行线性化处理。

　　当倒立摆在平衡位置附近时，很小，sin，cos1，忽略2项，可得（Mm）xmluxlg联立求解，得mg1xuMM（Mm）g1uMlMl选取小车位移及其速度、摆角偏离平衡态角度和角速度四个变量为状态变量，即x1x,xx,x,x，可得状态方程和输2134出方程xxmg1xxxuMMxx（Mm）g1xxxuMlMlyxx12213344331写成矩阵形式为x00x0x0x12341mg0M00（Mm）g0Ml0x010xMu1x010xMlxxy1000xx12341234设M5kg,m0.1kg,l1m,g9.812，则单级倒立摆系统的状态方程为x0x00x0x12341000.196200010.01130x00x0.2u1x00x0.21234xxy1000xx1234四、使用MATLAB

（1）状态反馈系统的极点配置首先，使用MATLAB，判断系统的能控性矩阵是否为满秩。

　　MATLAB程序截图如下：

MATLAB程序执行结果如下：

系统能控，系统的极点为0,0,3.1641,3.16411234可以通过状态反馈来任意配置极点，将极点配置在6,6.5,7,7.51234MATLAB程序截图如下：

MATLAB程序执行结果截图如下：

因此，求出状态反馈矩阵为K1043.0622.42456.8757.4采用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，截图如下：

首先，在MATLAB的CommandWindow中输入各个矩阵的值，并且在模型中设置非零初值。

　　运行仿真程序，仿真曲线截图如下：

（2）状态观测器实现状态反馈极点配置使用MATLAB判断系统的能观性。

结果表明系统能观，可以设计状态观测器。

　　取状态观测器的特征值为20,21,22,231234MATLAB程序截图如下：

状态观测器矩阵为H1002802065001225100T采用MATLAB/Simulink构造具有状态观测器的单级倒立摆状态反馈系统的仿真模型，截图如下:

在MATLAB的CommandWindow中输入各个矩阵的值，并且在11模型中的积分器中设置非零初值，运行仿真程序，仿真曲线截图如下：

12单级倒立摆系统单级倒立摆系统LQR控制器设计与仿真摘要首先介绍了倒立摆系统的工作原理，给出了整体设计方案和工作框图，然后对倒立摆进行了详细的力学分析，建立了数学模型，同时，搭建了控制系统的实物实验平台，完成了倒立摆系统的平衡控制。

　　最后，对此设计方案进行了理论分析和仿真实验，通过改变Q和R的值来观察系统的稳定性。

　　关键词：

倒立摆；

建模；

控制器；

仿真。

　　AbstractThispaperfirstlyintroducestheworkingprincipleofinvestedpendulumsystem,andtheoveralldesignschemeandworkingdiagram.Thenestablishedmathematicalmodelsofinvertedpendulumsystemanddoesdetailedmechanicsanalysis.Theinvertedpendulumsystemisconstructedtoaccomplishtheequilibriumcontrol.Finally,thisdesignissimulatedbytheexperimentsandanalysedbytheory.WechangethevalueofQandRtoobservethestabilityofthesystem.Keywords:

Invertedpendulum;

Modeling;

Controller;

Simulation1.引言倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、严重不稳定和强耦合的非线性系统。

　　由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性,因而对其研究具有重大的理论和实践意义。

　　由于倒立摆系统本身所具有的上述特点,使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。

　　线性二次型最优控制设计是在状态空间技术的基础上设计一个最优的动态控制器——即LQR控制器。

　　线性二次型最优控制问题其目标函数是属于二次型形式的最优控制。

　　这种控制问题在现代控制理论中占有非常重要的地位，越来越受到控制界的高度重视，这是因为它的最优解具有标准的解析式，它不局限于某种特定物理系统，而且经过人们的多次实验，证明这样可以很容易获得解析解，且可以形成简单的线性状态反馈控制规律，容易构成最优反馈控制，在工程中便于实现，所以广泛应用于实际的工程问题中。

　　本文针对单级倒立摆系统的平衡控制问题进行了研究，首先介绍基于动力学理论建立单级倒立摆的运动方程，经近似处理得到数学模型，设计并实现了基于最优控制理论的线性二次状态调节器（LQR）控制，对倒立摆的摆角和小车的位移进行控制，同时利用Matlab软件中Simulink对倒立摆的运动进行了仿真，并且对所获得的控制结果进行了分析，最后得到了较为满意的结果，验证了该系统的可行性和有效性。

　　2.倒立摆系统原理简介与建模图1一级倒立摆原理图一级倒立摆系统的原理框图如上所示。

　　系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。

　　光电码盘1将连杆的角度、角速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈回控制卡。

　　计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策，并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，驱动电机转动，带动连杆运动，保持摆杆的平衡。

　　在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图2所示。

　　图2直线一级倒立摆系统其中：

M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。

　　其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

　　注意：

在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。

　　图3（a）小车隔离受力图；

（b）摆杆隔离受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

NMxFbx

（1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

Nmddt22xlsin

（2）cosml2sinml即：

Nmx为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

Pmgmsinml2cos即：

Pmgmlddt22lcos（3）力矩平衡方程如下：

PlsinNlcosI（4）注意：

此方程中力矩的方向，由于，coscos，sinsin故等式前面有负号。

　　合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：

Imlmglsin2cosmlx（5）设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位为弧度）相比很小，即1，则可以进行近似处理：

cos1，sin，d0，用来u代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：

dt2Imlmglmlx（6）mluxbxMm2系统状态空间方程为AXBuX（7）yCXDu即：

0x0x001Iml2b2mgl222IMmMml0mlbIMmMmlIMmMml0mglMm2IMmMml2002Imlx0IMmMml2x10ml0IMmMml2ux1y00001x0x0u（8）003.倒立摆系统LQR控制器设计与仿真最优控制理论主要是依据庞德里亚金的极值原理，通过对性能指标的优化寻找可以使目标极小的控制器。

　　其中线性二次型性能指标因为可以通过求解Riccatti方程得到控制器参数，并且随着计算机技术的进步，求解过程变得越来越简便，因而在线性多变量系统的控制器设计中应用较广。

　　利用线性二次型性能指标设计的控制器称作LQR控制器。

　　前面我们已经得到了直线一级倒立摆系统的比较精确的动力学模型，下面我们针对直线型一级倒立摆系统应用LQR法设计与调节控制器，控制摆杆保持倒立平衡的同时，跟踪小车的位置。

　　实际系统的模型参数如下:

M小车质量1.096Kgm摆杆质量0.109Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI摆杆惯量0.0034kg*m*mT采样频率0.005秒注意：

在进行实际系统的MATLAB仿真时，请将采样频率改为实际系统的采样频率。

　　请用户自行检查系统参数是否与实际系统相符，否则请改用实际参数进行实验。

　　由倒立摆系统状态方程：

x0x00010.181800.454502.6727031.18180x00x1.18182u1004.5455x0x0u（9）00x1y00001应用线性反馈控制器，控制系统结构如图4。

　　图中,R是施加在小车上的阶跃，，分别代表小车位移、小车速度、摆杆位置和摆输入，四个状态量x，x杆角速度，输出yx包括小车位摆杆角度。

　　设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会置和摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。

　　系统的开环极点可以用Matlab程序求出。

　　开环极点为0，-0.1428，5.5651，-5.6041，可以看出，有一个极点5.5651位于右半S平面，这说明开环系统不稳定。

　　假设全状态反馈可以实现（四个状态量都可测），找出确定反馈控制规律K。

　　。

　　用Matlab中的lqr函数，可以得到最优控制器对应的K。

　　lqr函数允许选择两个参数（R和Q），这两个参数用来平衡输入量和状态量。

　　最简单的情况是假设R=1，QC*CT.当然，也可以通过改变Q矩阵中的非调节控制器以得到期望的响应。

　　图4控制系统结构4.结果与仿真分析仿真模型如下图所示：

图5仿真模型图运行结果如下图所示：

（1）Q=[1000;

0000;

0010;

0000],R=1.33,由MATLAB求得最优状态反馈矩阵为K=[-0.8671-1.796116.86063.1490]所化小车位移响应曲线和倒立摆摆角响应曲线如图6所示图6

（2）Q=[1000;

0000],R=0.01,由MATLAB求得最优状态反馈矩阵为K=[-10.000-9.420131.55596.0023]所化小车位移响应曲线和倒立摆摆角响应曲线如图7所示图7（3）Q=[0.1000;

000.10;

0000],R=1.33,由MATLAB求得最优状态反馈矩阵为K=[-0.2742-0.952115.32592.8138]所化小车位移响应曲线和倒立摆摆角响应曲线如图8所示图8（4）Q=[0.1000;

0000],R=100,由MATLAB求得最优状态反馈矩阵为K=[-0.0316-0.360314.22392.5693]所化小车位移响应曲线和倒立摆摆角响应曲线如图9所示图9由图（6）（7）（8）（9）分析如下：

图7与图6相比以及图8与图9相比，当Q不变，R增大时，各相应曲线达到稳态所需的时间变长；

图6与图8相比，当R不变，Q增大时，各相应曲线达到稳态所需的时间变短；

小结：

根据上面得到的数据，利用Matlab软件中Simulink对倒立摆的运动进行仿真。

　　倒立摆摆角和小车位移的仿真结果如图6、图7、图8和图9所示。

　　经过多次仿真试凑，可以使系统能够准确地跟踪阶跃输入信号，摆杆的角度的超调量足够小，稳态误差很小、上升时间与调整时间也比较短。

　　Q和R矩阵用来平衡系统对输入量和状态量的感应程度，通过调整矩阵Q和R来获得满意的响应效果。

　　当R增大时，各相应曲线达到稳态所需的时间变长；

Q增大时，各相应曲线达到稳态所需的时间变短；

5．总结在单级倒立摆数学模型的基础上，设计了LQR控制器并进行了仿真，证明了设计的控制器的有效性，LQR控制可以比较好地控制住摆杆且响应速度较快、超调量较小。

　　LQR最优控制方法能够使目标函数具有最优解，可以提高闭环系统的相对稳定性或者使不稳定系统得以稳定，系统具有良好的稳定性和鲁棒性，同时分析了加权矩阵Q和R对系统性能指标的影响。

　　研究结果表明，使用线性二次型最优控制器（LQR）对单级倒立摆的运动有较好的控制，可以达到最优控制的目的，而且具有较优的稳态特性，适应性较强，因此有进一步研究和推广的必要性。

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电子工业出版社，1984.[6]张晓华.控制系统数字仿真与CAD[M].2版.北京：

机械工业出版社，2005.程序清单x=1;

Y=1;

A=[0100;

0-0.18182.67270;

0001;

0-0.454531.18180];

B=[0;

1.18182;

0;

4.5455];

C=[1000;

0010];

D=[0;

0];

Q=[x000;

000y0;

0000];

M=ctrb（A,B）;

k1=rank（M）;

ifk1==4disp（系统可控!

）elsedisp（系统不可控!

）endN=obsv（A,C）;

k2=rank（N）;

ifk2==4disp（系统可观测!

）elsedisp（系统不可观测!

）endT=eig（A）R=100;

K=lqr（A,B,Q,R）LQR在单级倒立摆系统中的应用…………………………一研展一一ＪＬＱＲ在单级倒立摆系统中的应用ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＬＱＲｉｎＳｉｎｇｌｅＩｎｖｅｒｔｅｄＰｅｎｄｕｌｕｍＳｙｓｔｅｍ中北大学计算机与控制工程学院高晓勤沈小林ＧａｏＸｉａｏｑｉｎ，ＳｈｅｎＸｉａｏｌｉｎ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒａｎｄＣｏｎｔｒｏｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＮｏｒｔｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＣｈｉｎａ，Ｔａｉｙｕａｎ０３００５１，Ｃｈｉｎａ）摘要单级倒立摆控制是一个即复杂而又对准确性、快速性要求很高的非线性不稳定系统控制问题。

　　单级倒立摆数学模型的建立对研究其稳定性具有指导作用。

　　针对多变量、非线性、强耦合性的倒立摆系统，运用牛顿动力学方法建立其动力学方程，并进行线性化处理，得到状态空间模型。

　　然后对该模型分别进行ＬＱＲ控制，在ＭＡＴＬＡＢ环境下进行仿真。

　　实验结果表明，二次型最优控制具有良好的响应性能和算法简单等特点，在实际应用中具有重要意义。

　　关键词单级倒立摆；

线性二次型；

最优控制；

ＭＡＴＬＡＢＡｂｓｔｒａｃｔ：

Ｓｉｎｇｌｅ—ｓｔａｇｅｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｃｏｎｔｒｏｌｉｓａｎｏｎｌｉｎｅａｒａｎｄｕｎｓｔａｂｌｅｓｙｓｔｅｍｃｏｎｒｔｏｌｐｒｏｂｌｅｍｔｈａｔｉｓｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄａｎｄｏｆｈ￣ｇｈａｃｃｕｒａｃｙａｎｄｒａｐｉｄｉｔｙｒｅｍａｎｄｓ．Ｔｈｅｍａｈｅｔｍａｉｔｃａｌｍｏｄｅｌｏｆｓｉｎｌｇｅｓｔａｅｇｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｌｕｕｍｈａｖｅｇｕｉｄａｎｃｅｔｏｓｔｕｄｙｉｔｓｓｔａｂｉｌｉｙｔ．Ｆｏｒｍｕｌｉｔ—ｖａｒｉａｂｌｅ，ｎｏｎｌｉｎｅａｒ，ｓｔｒｏｎｇｃｏｕｐｌｉｎｇｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｓｙｓｔｅｍ，ｕｓｉｎｇＮｅｗｔｏｎｉａｎｄｙｎａｍｉｃｓｍｅｔｈｏｄｔｏｅｓｔａｂｌｉｓｈｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｅｑｕａｉｔｏｎ，ａｎｄｌｉｎｅａｉｒｚａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｔＯｇｅｔｔｈｅｓａｔｔｅｓｐａｃｅｍｏｄｅ１Ｔｈ．ｅｎｕｓｉｎｇＬＱＲｃｏｎｔｒｏｌｔｈｅｍｏｄｅｌｏｆｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｕｎｄｅｒｈｅｔｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔｏｆＭＡＴＬＡＢｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ．ｈｅＴｅｘｐｅｉｒｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｑｕａｄｒａｉｔｃｏｐｉｔｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｈａｓｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｉｔｃｓｏｆｇｏｏｄｒｅｓｐｏｎｓｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅａｎｄｔｈｅａｌｇｏｒｉｈｍｔｉｓｓｉｍｐｌｅ，ｉｔｉｓｏｆｇｒ