高中数学 函数与方程及应用.docx
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高中数学函数与方程及应用
课时作业
A组——基础对点练
1．（2018·乌鲁木齐模拟）函数f（x）＝ex＋2x－3的零点所在的一个区间是（ ）
A．（－，0） B．（0，）
C．（，1）D．（1，）
解析：
因为f（）＝－2＜0，f
（1）＝e－1＞0，所以零点在区间（，1）上．
答案：
C
2．函数f（x）＝2x6－x4－1的零点个数是（ ）
A．4B．2
C．1D．0
解析：
函数f（x）＝2x6－x4－1的零点个数，就是方程2x6－x4－1＝0的实根的个数，变形为2x6＝x4＋1，显然x＝0不是方程的根；当x≠0时，等价于2x2＝1＋，令g（x）＝2x2，h（x）＝1＋，作出函数g（x）和h（x）的图象如图所示，数形结合知函数g（x）和h（x）的图象有2个交点，即函数f（x）有2个零点．
答案：
B
3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－3x.则函数g（x）＝f（x）－x＋3的零点的集合为（ ）
A．{1,3}B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3}D．{－2－，1,3}
解析：
当x≥0时，f（x）＝x2－3x，
令g（x）＝x2－3x－x＋3＝0，
得x1＝3，x2＝1.
当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）＝（－x）2－3（－x），
∴－f（x）＝x2＋3x，∴f（x）＝－x2－3x.
令g（x）＝－x2－3x－x＋3＝0，
得x3＝－2－，
x4＝－2＋＞0（舍），
∴函数g（x）＝f（x）－x＋3的零点的集合是{－2－，1,3}，故选D.
答案：
D
4．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d.若f（x）＝2017－（x－a）（x－b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（ ）
A．a＞c＞b＞dB．a＞b＞c＞d
C．c＞d＞a＞bD．c＞a＞b＞d
解析：
f（x）＝2017－（x－a）（x－b）＝－x2＋（a＋b）x－ab＋2017，又f（a）＝f（b）＝2017，c，d为函数f（x）的零点，且a＞b，c＞d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f（x）的大致图象，如图所示，由图可知c＞a＞b＞d，故选D.
答案：
D
5．（2018·德州模拟）已知函数y＝f（x）是周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1]时，f（x）＝2|x|－1，则函数F（x）＝f（x）－|lgx|的零点个数是（ ）
A．9B．10
C．11D．18
解析：
由F（x）＝0得f（x）＝|lgx|分别作f（x）与y＝|lgx|的图象，如图，
所以有10个零点，故选B.
答案：
B
6．已知函数f（x）＝（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A．（－∞，－1）B．（－∞，0）
C．（－1,0）D．[－1,0）
解析：
当x＞0时，f（x）＝3x－1有一个零点x＝，所以只需要当x≤0时，ex＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a.当x≤0时，ex∈（0,1]，所以－a∈（0,1]，即a∈[－1,0），故选D.
答案：
D
7．（2018·长沙市模拟）对于满足0＜b≤3a的任意实数a，b，函数f（x）＝ax2＋bx＋c总有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A．（1，]B．（1,2]
C．[1，＋∞）D．（2，＋∞）
解析：
依题意对方程ax2＋bx＋c＝0，有Δ＝b2－4ac＞0，于是c＜，从而＞＝1＋－（）2，对满足0＜b≤3a的任意实数a，b恒成立．令t＝，因为0＜b≤3a，所以0＜t≤3.因此－t2＋t＋1∈（1,2]，故＞2.选D.
答案：
D
8．已知函数f（x）＝若方程f（x）－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．（1,3）B．（0,3）
C．（0,2）D．（0,1）
解析：
画出函数f（x）的图象如图所示，
观察图象可知，若方程f（x）－a＝0有三个不同的实数根，则函数y＝f（x）的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0＜a＜1，故选D.
答案：
D
9．（2018·汕头模拟）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f（x）－f（－x）＝0，当x∈[－1,0]时，f（x）＝x2，若g（x）＝f（x）－logax在x∈（0，＋∞）上有三个零点，则a的取值范围为（ ）
A．[3,5]B．[4,6]
C．（3,5）D．（4,6）
解析：
∵f（x）－f（－x）＝0，∴f（x）＝f（－x），∴f（x）是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出函数f（x）的图象如图所示：
∵g（x）＝f（x）－logax在（0，＋∞）上有三个零点，
∴y＝f（x）和y＝logax的图象在（0，＋∞）上有三个交点，
作出函数y＝logax的图象，如图，
∴，解得3＜a＜5.故选C.
答案：
C
10．（2018·湖北七校联考）已知f（x）是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f（2x2＋1）＋f（λ－x）只有一个零点，则实数λ的值是（ ）
A.B．
C．－D．－
解析：
令y＝f（2x2＋1）＋f（λ－x）＝0，则f（2x2＋1）＝－f（λ－x）＝f（x－λ），因为f（x）是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ只有一个根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个根，则Δ＝1－8（1＋λ）＝0，解得λ＝－.故选C.
答案：
C
11．已知定义在R上的奇函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，当－1≤x＜0时，则方程f（x）－＝0在（0,6）内的所有根之和为（ ）
A．8B．10
C．12D．16
解析：
∵奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴f（x）＝f（2－x）＝－f（－x），即f（x）＝－f（x＋2）＝f（x＋4），∴f（x）是周期函数，其周期T＝4.又当x∈[－1,0）时，故f（x）在（0,6）上的函数图象如图所示．
由图可知方程f（x）－＝0在（0,6）内的根共有4个，其和为x1＋x2＋x3＋x4＝2＋10＝12，故选C.
答案：
C
12．已知函数f（x）＝e|x|＋|x|.若关于x的方程f（x）＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
解析：
易知函数f（x）＝e|x|＋|x|为偶函数，故只需求函数f（x）在（0，＋∞）上的图象与直线y＝k有唯一交点时k的取值范围．当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝ex＋x，此时f′（x）＝ex＋1＞0，所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，从而当x＞0时，f（x）＝ex＋x＞f（0）＝1，所以要使函数f（x）在（0，＋∞）上的图象与直线y＝k有唯一交点，只需k＞1，故所求实数k的取值范围是（1，＋∞）．
答案：
（1，＋∞）
13．已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．
解析：
作出函数y＝f（x）与y＝k的图象，如图所示：
由图可知k∈（0,1]．
答案：
（0,1]
14．函数f（x）＝的零点个数是________．
解析：
当x＞0时，令lnx－x2＋2x＝0，
得lnx＝x2－2x，
作y＝lnx和y＝x2－2x图象，
显然有两个交点．
当x≤0时，令4x＋1＝0，
∴x＝－.
综上共有3个零点．
答案：
3
15．已知函数f（x）＝|x－a|－＋a，a∈R，若方程f（x）＝1有且只有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．
解析：
令g（x）＝|x－a|＋a，h（x）＝＋1，作出函数h（x）＝＋1的图象，易知直线y＝x与函数h（x）＝＋1的图象的两交点坐标为（－1，－1）和（2,2），又函数g（x）＝|x－a|＋a的图象是由函数y＝|x|的图象的顶点在直线y＝x上移动得到的，且当函数h（x）＝＋1的图象和g（x）＝|x－a|＋a的图象相切时，切点为（，1＋），（－，1－），切线方程为y＝－x＋2＋1或y＝－x－2＋1，又两切线与y＝x的交点分别为（，），（，），故a＝，结合图象可知a的取值范围是（－∞，）∪（，2）．
答案：
（－∞，）∪（，2）
B组——能力提升练
1．已知符号函数sgn（x）＝设函数f（x）＝·f1（x）＋·f2（x），其中f1（x）＝x2＋1，f2（x）＝－2x＋4.若关于x的方程[f（x）]2－3f（x）＋m＝0恒好有6个根，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－∞，）B．（－∞，]
C．[2，]D．（2，）
解析：
①若x＞1，则f（x）＝·f1（x）＋·f2（x）＝－2x＋4.②若x＝1，则f（x）＝·f1（x）＋·f2（x）＝＝2.③若x＜1，则f（x）＝·f1（x）＋·f2（x）＝x2＋1.
综上，f（x）＝作出其图象如图所示．若要使方程[f（x）]2－3f（x）＋m＝0恒好有6个根，令t＝f（x），则关于t的方程t2－3t＋m＝0需有两个不相等的实数根，故Δ＝9－4m＞0，得m＜.数形结合知1＜f（x）＜2，所以函数g（t）＝t2－3t＋m在（1,2）上有两个不同的零点，又函数g（t）图象的对称轴为t＝∈（1,2），所以需即得2＜m＜，故选D.
答案：
D
2．（2018·湘中名校联考）已知函数f（x）＝－x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，若x1＜f（x1）＜x2，则关于x方程[f（x）]2－2af（x）－b＝0的实数根的个数不可能为（ ）
A．2B．3
C．4D．5
解析：
由题意，得f′（x）＝－x2＋2ax＋b.因为x1，x2是函数f（x）的两个极值点，所以x1，x2是方程－x2＋2ax＋b＝0的两个实数根，所以由[f（x）]2－2af（x）－b＝0，可得f（x）＝x1或f（x）＝x2.由题意，知函数f（x）在（－∞，x1），（x2，＋∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，又x1＜f（x1）＜x2，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程[f（x）]2－2af（x）－b＝0的实根个数不可能为5，故选D.
答案：
D
3．（2018·合肥市质检）已知函数f（x）＝.方程[f（x）]2－af（x）＋b＝0（b≠0）有6个不同的实数解，则3a＋b的取值范围是（ ）
A．[6,11]B．[3,11]
C．（6,11）D．（3,11）
解析：
首先作出函数f（x）的图象（如图），对于方程[f（x）]2－af（x）＋b＝0，可令f（x）＝t，那么方程根的个数就是f（x）＝t1与f（x）＝t2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t的方程t2－at＋b＝0有2个根，分别位于区间（0,1）与（1,2）内，进一步由根的分布得出约束条件，画出可行域（图略），计算出目标函数z＝3a＋b的取值范围为（3,11）．
答案：
D
4．（2018·洛阳统考）已知x1，x2是函数f（x）＝e－x－|lnx|的两个零点，则（ ）
A.＜x1x2＜1B．1＜x1x2＜e
C．1＜x1x2＜10D．e＜x1x2＜10
解析：
在同一直角坐标系中画出函数y＝e－x与y＝|lnx|的图象（图略），结合图象不难看出，在x1，x2中，其中一个属于区间（0,1），另一个属于区间（1，＋∞）．不妨设x1∈（0,1），x2∈（1，＋∞），则有e－x1＝|lnx1|＝－lnx1∈（e－1,1），e－x2＝|lnx2|＝lnx2∈（0，e－1），e－x2－e－x1＝lnx2＋lnx1＝ln（x1x2）∈（－1，0），于是有e－1＜x1x2＜e0，即＜x1x2＜1，故选A.
答案：
A
5．设函数f（x）＝ex＋x－2，g（x）＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f（a）＝0，g（b）＝0，则（ ）
A．g（a）＜0＜
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