高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 84 直线平面平行的判定与性质教师用书.docx

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高考数学大一轮复习第八章立体几何84直线平面平行的判定与性质教师用书

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.4直线、平面平行的判定与性质教师用书

1．线面平行的判定定理和性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简记为“线线平行⇒线面平行”）

∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α

性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”）

∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”）

∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β

性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b

【知识拓展】

重要结论：

（1）垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；

（2）垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；

（3）平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．（　×　）

（2）若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．（　×　）

（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．（　×　）

（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．（　√　）

（5）若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.（　×　）

（6）若α∥β，直线a∥α，则a∥β.（　×　）

1．（教材改编）下列命题中正确的是（　　）

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．平行于同一条直线的两个平面平行

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α

答案　D

解析　A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．

2．（2016·烟台模拟）若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中（　　）

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一与a平行的直线

答案　A

解析　当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.

3．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

答案　6

解析　各中点连线如图，只有平面EFGH与平面ABB1A1平行，在四边形EFGH中有6条符合题意．

4.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．

答案　平行四边形

解析　∵平面ABFE∥平面DCGH，

又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，

∴EF∥HG.同理EH∥FG，

∴四边形EFGH的形状是平行四边形．

题型一　直线与平面平行的判定与性质

命题点1　直线与平面平行的判定

例1　如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．

（1）求证：

AP∥平面BEF；

（2）求证：

GH∥平面PAD.

证明　

（1）连接EC，

∵AD∥BC，BC＝AD，

∴BC綊AE，

∴四边形ABCE是平行四边形，

∴O为AC的中点．

又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，

FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，

∴AP∥平面BEF.

（2）连接FH，OH，

∵F，H分别是PC，CD的中点，

∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.

又∵O是BE的中点，H是CD的中点，

∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.

又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.

又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.

命题点2　直线与平面平行的性质

例2　（2016·长沙模拟）如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

（1）证明：

GH∥EF；

（2）若EB＝2，求四边形GEFH的面积．

（1）证明　因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，

且平面PBC∩平面GEFH＝GH，

所以GH∥BC.

同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.

（2）解　如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.

因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，

同理可得PO⊥BD.

又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，

所以PO⊥底面ABCD.

又因为平面GEFH⊥平面ABCD，

且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.

因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，

所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，

从而GK⊥EF.

所以GK是梯形GEFH的高．

由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，

从而KB＝DB＝OB，即K为OB的中点．

再由PO∥GK得GK＝PO，

即G是PB的中点，且GH＝BC＝4.

由已知可得OB＝4，

PO＝＝＝6，

所以GK＝3.

故四边形GEFH的面积S＝·GK

＝×3＝18.

思维升华　判断或证明线面平行的常用方法

（1）利用线面平行的定义（无公共点）；

（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）；

（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；

（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β）．

　如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：

四边形EFGH是矩形．

证明　∵CD∥平面EFGH，

而平面EFGH∩平面BCD＝EF，

∵CD∥EF.

同理HG∥CD，且HE∥AB，∴EF∥HG.

同理HE∥GF，

∴四边形EFGH为平行四边形．

∴CD∥EF，HE∥AB，

∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角（或补角）．

又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.

∴平行四边形EFGH为矩形．

题型二　平面与平面平行的判定与性质

例3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

证明　

（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

∴GH是△A1B1C1的中位线，

∴GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC，

∴GH∥BC，

∴B，C，H，G四点共面．

（2）∵E，F分别是AB，AC的中点，

∴EF∥BC.

∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

∵A1G綊EB，

∴四边形A1EBG是平行四边形，

∴A1E∥GB.

∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

∴A1E∥平面BCHG.

∵A1E∩EF＝E，

∴平面EFA1∥平面BCHG.

引申探究

1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：

HD∥平面A1B1BA.

证明　

如图所示，连接HD，A1B，

∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，

∴HD∥A1B，

又HD⊄平面A1B1BA，

A1B⊂平面A1B1BA，

∴HD∥平面A1B1BA.

2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：

平面A1BD1∥平面AC1D.

证明　如图所示，连接A1C交AC1于点M，

∵四边形A1ACC1是平行四边形，

∴M是A1C的中点，连接MD，

∵D为BC的中点，

∴A1B∥DM.

∵A1B⊂平面A1BD1，

DM⊄平面A1BD1，

∴DM∥平面A1BD1.

又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，

∴四边形BDC1D1为平行四边形，

∴DC1∥BD1.

又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，

∴DC1∥平面A1BD1，

又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，

∴平面A1BD1∥平面AC1D.

思维升华　证明面面平行的方法

（1）面面平行的定义；

（2）面面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

（4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

（5）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

　（2016·西安模拟）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.

（1）证明：

平面A1BD∥平面CD1B1；

（2）求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．

（1）证明　由题设知，BB1綊DD1，

∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.

又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，

∴BD∥平面CD1B1.

∵A1D1綊B1C1綊BC，

∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.

又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，

∴A1B∥平面CD1B1.

又BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.

（2）解　∵A1O⊥平面ABCD，

∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．

又AO＝AC＝1，AA1＝，

∴A1O＝＝1.

又S△ABD＝××＝1，

∴＝S△ABD·A1O＝1.

题型三　平行关系的综合应用

例4　（2016·盐城模拟）如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？

若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

解　方法一　存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.

下面给出证明：

如图，取BB1的中点F，连接DF，

则DF∥B1C1，

∵AB的中点为E，连接EF，ED，

则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，

∴平面DEF∥平面AB1C1.

而DE⊂平面DEF，

∴DE∥平面AB1C1.

方法二　假设在棱AB上存在点E，

使得DE∥平面AB1C1，

如图，取BB1的中点F，连接DF，EF，ED，则DF∥B1C1，

又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，

∴DF∥平面AB1C1，

又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，

∴平面DEF∥平面AB1C1，

∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，

又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，

∴EF∥AB1，

∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点．

即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.

思维升华　利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．

　如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时