高考数学常见的新题型选编Word文档格式.docx

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令g'

（x）0得xa^-a2玉.8分

k

当0xa时，g'

（x）n[（kxx]n1n（a1a2卅akx）n1

nga?

卅akx）n1nga?

川akx）n10

）递增

10分

旦）n

故g（x）在［0,9—生圭］上递减，类似地可证g（x）在（乩皀玉，

kk

因此当x旦一去生时，g（x）的最小值为g（旦一去虫）

而g（ljA）（k1）n1[ana2

IIIa（-aL_aJLak）n]（a1a2Mak

（k1）n1

kn

[kn（a；

ak）（aia?

川aQn（k1）@a?

川aQn]

=化｛）[kn（aa2IIIa：

）k（aia2卅&

$]=（；

!

[kn1（a£

卅龙）佝$|||aJ]由定理知：

kn1（a：

a；

川ak）⑻a?

卅aQn0故g（—）0

:

aki[0,）g（akjg（a^-a2玉）0

故（k1）n1（a1na2a3

卅a：

1）（a1a?

a^|akJn

nnnn

a1a2a3ak1

壘）n.

..14分

答案：

b?

b2?

b3?

b4?

b5b3

4、假设f（n）为n21（n

N*）的各位数字之和，如:

1421197,19717,那

等差数列an中

等比数列bn中

a3=a2d

b3b2?

q

a3a4a2a5

b3?

b4b2?

b5

a1a2a3a4a55a3

2、用类比推理的方法填表

5

3、10•定义一种运算”*〃：

关于自然数n满足以下运算性质：

〔i〕1*1=1，〔ii〕〔n+1〕*1=n*1+1，那么n*1等于

2

A•nB•n+1C•n-1D•n2答案：

D

f（14）17

f1（n）f（n）,f2（n）f（h（n））,,fk1（n）f（fk（n））,kN*,则f2o°

8（8）

2a

〔1〕请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？

假如存在，请给出证明；

假如不存在，请讲明理由；

〔2丨假设SA面ABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小；

〔3丨求点D到面SEC的距离。

〔1〕存在一条侧棱垂直于底面〔如图〕3分

证明：

SAAB,SAAD,且AB

ABCD

〔2〕分不取SC、SD的中点G、F，连

那么GF//EA,GF=EA,AF//EG

而由SA面ABCD得SACD,

又ADCD,CD

面SAD,CD

AF

又SA=AD,F是中点,

AFSD

AF面SCD,EG

面SCD,面SEC

面SCD

、AD是面

GE、GF、FA,

因此二面角E-SC-D的大小为9010分

⑶作DHSC于H,

面SEC面SCD,DH面SEC,

DH之长即为点D到面SEC的距离，

12分

在RtSCD中，DHSDDC

■-2aa

』a

SC

“3a

3

答：

点D到面SEC的距离为—a••…

14分

6、一个运算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列n（n1）中的各

数依次输入A口，从B口得到输出的数列an，结果讲明：

①从A口输入n1时，从B

1

口得a,—;

②当n2时，从A口输入n，从B口得到的结果an是将前一结果an,先乘3

以自然数列n中的第n1个奇数，再除以自然数列耳中的第n1个奇数。

试咨询：

（1）从A口输入2和3时，从B口分不得到什么数？

（2）从A口输入100时，从B口得到什么数？

并讲明理由。

11

解〔1〕a?

&

115a3a237

1535

1*

〔2〕先用累乖法得an（nN）

（2n1）（2n1）

得aioo

（21001）（21001）39999

7、在△ABC中，B（2,0）,C（2,0）,A（x,y），给出△ABC满足的条件，就能得到动点A

的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程:

条件

方程

①厶ABC周长为10

C1:

y225

②厶ABC面积为10

C2:

x2y24（y0）

③厶ABC中，/A=90°

C3:

—匚1（y0）

95

那么满足条件①、②、③的轨迹方程分不为〔用代号C1、C2、C3填

入〕

C3C1C2

&

两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域差不多上集合{1,2,3},其定义如下表

x

f〔x〕

g〔x〕

11、为研究”原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线

X上'

’那个课题,

我们能够

填写以下g[f（X）]的表格，其三个数依次为

X

g（f〔X〕）

A.3,1,2

B.2,1,3

C.1,2,3

D.3,2,1

9、在实数的原有运算法那么中，我们补充定义新运算”

”如下：

当ab时，a

b

a;

b2。

那么函数f（x）

（1

X•X（2X

2,

2的最大值等于〔

C

〕

〔“.”和“一”

仍为通常的乘法和减法〕

A.

B.1C.6

D.

12

10、XR,:

x]表示不大于x的最大整数,

如

[]

3，[-],

0,那么

[间;

使[X1]3成立的X的取值范畴是答案：

分三步进行研究:

〔I〕第一选取如下函数:

2x

y2X1,yFl，y

求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标:

2x1与其反函数y

X1

的交点坐标为〔一

与其反函数y

厂的交点坐标为〔0,

0〕，〔1,1〕

.X1与其反函数

yx21,（x0）的交点坐标为〔£

，

二〕,〔-

〔II〕原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线

〔III丨证明：

设点〔a,b丨是f（x）的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线y=x对称，那么点〔b,a丨也是f（x）的图象与其反函数图象的交点，且有

bf（a）,af（b）

假设a=b时，交点明显在直线yx上

假设a<

b且f（x）是增函数时，有fb（）fa（）,从而有b<

a,矛盾；

假设b<

a且f（x）是增函数时，有fa（）fb（），从而有a<

b，矛盾

b且f（x）是减函数，有fb（）fa（），从而a<

b成立，现在交点不在直线y=x上；

同理，b<

a且f（x）是减函数时，交点也不在直线y=x上。

综上所述，假如函数f（x）是增函数，同时f（x）的图象与其反函数的图象有交点，那么交点一定在直线yx上;

假如函数f（x）是减函数，同时f（x）的图象与其反函数的图象有交点，那么交点不一定在直线y=x上。

12、设M是由满足以下条件的函数f（x）构成的集合：

”①方程f（x）x0有实数根；

②

函数f（x）的导数f（x）满足0f（x）1.”

xsinx

〔I〕判定函数f（X）是否是集合M中的元素，并讲明理由；

24

〔II〕集合M中的元素f（x）具有下面的性质：

假设f（x）的定义域为D，那么关于任意[m,n]D,都存在X。

[m,n],使得等式f（n）f（m）（nm）f（x°

）成立"

，试用这一性质证明：

方程f（x）x0只有一个实数根；

〔山〕设Xi是方程f（x）x0的实数根，求证：

关于f（x）定义域中任意的

X2,X3，当|X2Xi|1,且|X3Xi|1时,|f（X3）f（X2）|2.

〔1〕因为f（x）COSX,2分

13因此f（x）[_,_]满足条件0f（x）1,3分

44

又因为当x0时，f（0）0，因此方程f（x）x0有实数根0.

因此函数f（x）

xsinx口

是集合M中的兀素.

4

〔2〕假设方程

f（x）

那么f（）

0,f（

（,）,

使得等式f（）

f（

因为f（）,

f（）

与0f（x）

1矛盾,

）

0存在两个实数根

5分不妨设

〕,

，依照题意存在数

，且

因此方程

）f（c）成立，

，因此

f（C）1，

f（x）x

0只有一个实数根;

〔3〕不妨设x2x3，因为f（x）0,因此f（x）为增函数，因此f（x2）

又因为f（x）1

0,因此函数f（x）x为减函数,

因此f（X2）X2f（X3）X3,

11分

因此0f（X3）

f（X2）X3X2，即|fgf（X2）|IX3X2|,

因此|f（X3）f（X2）||X3X2||X3X1（X2X1）|X3X1|

1X2X112.

13分

13、在算式”2+1=30"

的两个口中，分不填入两个自然数，使它们的倒数之和最

小，那么这两个数应分不为和.

14、如图为一几何体的的展开图，其中ABCD是边长

为6的正方形，SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP，点S,

D,A,Q及P,D,C,R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，

使P,Q,R,S四点重合，那么需要个如此的

答案:

15、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的成效假定如下：

用

x单位量的水清洗一次以后，蔬

菜上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之比

为f（X）

1X2

〔I〕试讲明f（0）的实际意义;

〔n〕现有a〔a>

0〕单位量的水，能够清洗一次，也能够把水平均分成2份后清洗两

次•哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？

请讲明理由.

〔I〕f〔0〕=1•表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化.

〔n〕设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后.残留的农药量

为W1=1xf〔a〕=——

又假如用a单位量的水清洗1次，残留的农药量为1xf〔a〕=

此后再用—单位量的水清洗

1次后，残留的农药量为

W2=——1——

a2

1（a）

=［吉2=右•

由于W1—W2=—

16

（4a）

a2（a28）（1a2）（4a2）2.

故当a>

22时，W1>

W2,

现在，把

a单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留

的农药量较少；

当a=22时,

W1=W2,

现在，两种清洗方式成效相同；

当a<

2■■2时,

W1<

W2，现在，把a单位量的水清洗一次，残留的农药量较少.

16、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，假如函数f（x）的图象恰好通过

k（k€N*）个格点，那么称函数f（x）为k阶格点函数。

以下函数：

①f（x）=sinx;

②f（x）=n（x—1）2+3;

③f（X）（一门④f（x）log0.6X,

其中是一阶格点函数的有.答案：

①②④

17、一水池有2个进水口,1个出水口，一个口进出水速度如图甲、乙所示•某天0点到6点,

该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）,给出以下3个论断：

进水量出水量蓄水量

甲乙丙

〔1〕0点到3点只进水不出水；

〔2〕3点到4点不进水只出水；

〔3〕4点到6点不进水不出水。

那么一定不确定的论断是（把你认为是符合题意的论断序号都填上）。

〔2〕〔3〕18、等比数列｛an｝的前n项和为Sn.

（I）假设Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列，证明am,am+2,am+1成等差数列;

（n）写出（I）的逆命题，判定它的真伪，并给出证明

证（I）Sm+1=Sm+am+1,Sm+2=Sm+am+1+am+2.

由2S

m+2=Sm+Sm+1

2（Sm+am+1+am+2）=Sm+（Sm+am+1）,

•••am+2=—2am+1,即数列｛an｝的公比q=—2.

1gam,

am+2

=4am

2am+2=am+am+1,•am,

am+2,am+1成等差数列

（n）（I）的逆命题是：

假设am,am+2,am+1成等差数列，那么Sm,Sm+2,Sm+1成等差

数列•

设数列｛an｝的公比为q,vam+1=amq,am+2=amq2.

由题设，2am+2=am+am+1，即2amq2=am+amq，即2q2—q—1=0,..q=1或q=—

2.

当q=1时，A工0,•Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列

逆命题为假•

本地区确定的标准，

情形如右表：

高收入

中等收入

低收入

本地区在"

^一五"

规划中明确

125户

400户

475户

19、2005年底，某地区经济调查队对本地区居民收入情形进行抽样调查，抽取1000户,

提出要缩小贫富差距，到2018年

要实现一个美好的愿景，由右边圆图显示，那么中等收入家庭的数量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基

础要降低的百分比分不为

A.25%,27.5%

B.62.5%,57.9%

C.25%,57.9%

D.62.5%,42.1%

20、一个三位数abc称为”凹数'

’，假如该三位数同时满足a>

b且b<

c,那么所有不同

的三位“凹数'

‘的个数是.

三位"

凹数"

可分两类：

一类是

aba，共有

C20=45，另一类是abc,a丰c,共

ab

2i

4i3xi

21、定义运算

adbc,假设复数x——

，y

cd

i

1ixi

有2C：

o=240,故共有45+240=285个

-4

那么y_。

22、从装有n1个球〔其中n个白球，1个黑球〕

的口袋中取出m个球

共有cm,种取法。

在这cm,种取法中，能够分成两类：

一类是取出的m个球全部为白球，

共有Ci0CnCiCnCiCn1,即有等式：

CnCnCn1成立。

试依照上述思想化

简以下式子：

CmC1Cm1c；

cm2MCkCmk，

nk个球〔n个白球，k个黑

（1kmn,k,m,nN）。

Cnnk依照题中的信息，能够把左边的式子归纳为从球〕中取出m个球，可分为：

没有黑球，一个黑球，……，k个黑球等k1类，故有cn°

k种取法。

23、定义运算x探y=X（Xy），假设|m—1|探m=|m—1|，那么m的取值范畴是

y（xy）

m

24、在公差为d（d0）的等差数列an中，假设Sn是an的前n项和，那么数列

S20S10,S30S20,S40S30也成等差数列，且公差为100d，类比上述结论，相应地在公

比为q（q1）的等比数列bn中，假设Tn是数列bn的前n项积，那么有=

电,直,直也成等比数列，且公比为q100

T10T20T30

2353225252

2454235253

25、考察以下一组不等式：

5511将上述不等式在左右两端仍为两

225222522252

项和的情形下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，那么推广的不等式为

amnbmnambnanbma,b0,ab,m,n0

26、对任意实数x,y，定义运算x*yaxbycxy，其中a,b,c为常数，等号右边的运确实是通常意义的加、乘运算。

现1*24,2*36，且有一个非零实数m，使得对任意实数x，都有x*mx，那么m5。

27、关于任意实数x，符号[X]表示x的整数部分，即[X]是不超过x的最大整数"

。

在实数

轴R〔箭头向右〕上[X]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[X]确实是x。

那

个函数[x]叫做”取整函数"

，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。

那么

[log21][log22][log23][log24][log21024]=82

04

28、我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻。

05年8月，在

上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部关于杜

威的转会费协商过程纷纷”爆料"

：

媒体A:

”……,凯尔特人俱乐部出价已从80万英镑提高到了120万欧元。

’‘

媒体B:

”……,凯尔特人俱乐部出价从120万欧元提高到了100万美元，同

时增加了许多附加条件。

〃

媒体C:

”……,凯尔特人俱乐部出价从130万美元提高到了120万欧元。

请依照表中提供的汇率信息〔由于短时刻内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为

定值〕，我们能够发觉只有媒体C〔填入媒体的字母编号〕的报道真实性强一些。

汇率

欧元兑美元

1：

L19

英镑兌欧元

1:

1.52

29、二次函数fxx2axax

R同时满足：

①不等式

fx0的解集有且只有

个元素；

②在定义域内存在0x-i

X2，使得不等式f

X1fX2成立。

设数列an的前n项和Sn

〔1〕求数列an的通项公式;

〔2〕试构造一个数列bn，〔写出

bn的一个通项公式〕

满足：

对任意的正整数n都有

bnan，且nim2

2，并讲明理由;

〔3〕设各项均不为零的数列

Cn中，所有满足Cj

Ci1

0的正整数i的个数称为那个数

列Cn的变号数。

令Cn

1旦〔n为正整数〕

，求数列

Cn

的变号数。

〔1fX0的解集有且只有一个元素，•

4a

当a

0时，函数fx

x在0,

上递增,

故不存在

X1

X2，使得不等式

fx1

fX2

成立。

4时，

函数fX

2X

4x

4在0,2

上递减，故存在

X1X2，使得不

等式f

fX2成立。

综上，

得a

4,fx

4,•Sn

n24n

4,

anSnSn1

1,

2n1,

〔2〕要使lim

nbn

2，可构造数列bnnk对任意的正整数

n都有bna

•••当n2时,

2n5恒成立，即n5k恒成立，即5k2k3,

•bnn-，等等。

〔3〕解法一：

由题设Cn

3,n1

4，

1,n2

2n5

列Cn递增，

•••a4

10,

由1

40n

5，可知a4a5

0，即n

3时，有且

只有1个变号数；

又•••G

3,c2

5,C3

3，即c1c2

0,C2C30，/

-此处变号数有

2个。

n3时，cn1cn

2n52n3

综上得数列Cn共有3个变号数，即变号数为3。

解法二：

由题设cn4

2n5,n

n2

时

令

-2n

9

2n

7

5卡

9c十，

CnCn10

或

n2或n4;

3,C2

5,

1时也有

C[C2

0。