全国版高考数学理一轮复习必刷题第八单元三角恒等变换与解三角形.docx
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全国版高考数学理一轮复习必刷题第八单元三角恒等变换与解三角形
第八单元 三角恒等变换与解三角形
考点一
三角恒等变换
1.（2017年江苏卷）若tan=,则tanα= .
【解析】tanα=tan
===.
【答案】
2.（2016年全国Ⅱ卷）若cos-α=,则sin2α=（ ）.
A.B.C.-D.-
【解析】因为cos-α=,所以sin2α=cos-2α=cos2-α=2cos2-α-1=2×-1=-.
【答案】D
3.（2015年全国Ⅰ卷）sin20°cos10°-cos160°sin10°=（ ）.
A.-B.C.-D.
【解析】sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°=,故选D.
【答案】D
4.（2017年北京卷）在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则cos（α-β）= .
【解析】由题意知α+β=π+2kπ（k∈Z）,
∴β=π+2kπ-α（k∈Z）,
sinβ=sinα,cosβ=-cosα.
又sinα=,
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
=-cos2α+sin2α=2sin2α-1
=2×-1=-.
【答案】-
考点二
解三角形
5.（2016年全国Ⅲ卷）在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=（ ）.
A.B.C.-D.-
【解析】设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
则由题意得S△ABC=×a×a=acsinB,∴c=a.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+a2-2×a×a×=a2,∴b=a.
∴cosA===-.
【答案】C
6.（2016年全国Ⅱ卷）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b= .
【解析】因为A,C为△ABC的内角,且cosA=,cosC=,
所以sinA=,sinC=,
所以sinB=sin（π-A-C）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=.
又a=1,所以由正弦定理得b===×=.
【答案】
7.（2017年山东卷）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是（ ）.
A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A
【解析】∵等式右边=sinAcosC+（sinAcosC+cosAsinC）=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB,
等式左边=sinB+2sinBcosC,
∴sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sinB.
由cosC>0,得sinA=2sinB.
由正弦定理得a=2b.故选A.
【答案】A
8.（2017年浙江卷）已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是 ,cos∠BDC= .
【解析】
依题意作出图形,如图所示,
sin∠DBC=sin∠ABC.
由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,
则sin∠ABC=,cos∠ABC=.
所以S△BDC=BC·BD·sin∠DBC
=×2×2×=.
因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-==,
所以CD=.
由余弦定理,得cos∠BDC==.
【答案】
9.（2016年江苏卷）在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是 .
【解析】在锐角三角形ABC中,∵sinA=2sinBsinC,
∴sin（B+C）=2sinBsinC,
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,等号两边同时除以cosBcosC,得tanB+tanC=2tanBtanC.
∴tanA=tan[π-（B+C）]=-tan（B+C）==. ①
∵A,B,C均为锐角,
∴tanBtanC-1>0,∴tanBtanC>1.
由①得tanBtanC=.
又由tanBtanC>1,得>1,∴tanA>2.
∴tanAtanBtanC===（tanA-2）++4≥2+4=8,当且仅当tanA-2=,即tanA=4时取等号.
故tanAtanBtanC的最小值为8.
【答案】8
10.（2017年全国Ⅱ卷）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin（A+C）=8sin2.
（1）求cosB;
（2）若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
【解析】
（1）由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2,
故sinB=4（1-cosB）.
上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,
解得cosB=1（舍去）或cosB=.
故cosB=.
（2）由cosB=得sinB=,
故S△ABC=acsinB=ac,
又S△ABC=2,则ac=.
由余弦定理及a+c=6,得b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-2ac（1+cosB）=36-2××=4.
所以b=2.
11.（2017年全国Ⅲ卷）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.
（1）求c;
（2）设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
【解析】
（1）由已知可得tanA=-,所以A=.
在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,
即c2+2c-24=0,
解得c=-6（舍去）或c=4.
（2）由题设可得∠CAD=,
所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
=1.
又△ABC的面积为S=×4×2sin∠BAC=2,
所以△ABD的面积为.
12.（2017年全国Ⅰ卷）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
【解析】
（1）由题设得acsinB=,即csinB=.
由正弦定理得sinCsinB=,
故sinBsinC=.
（2）由题设及
（1）得cosBcosC-sinBsinC=-,
即cos（B+C）=-,所以B+C=,故A=.
由题意得bcsinA=,a=3,所以bc=8.
由余弦定理得b2+c2-bc=9,即（b+c）2-3bc=9.
由bc=8,得b+c=.
故△ABC的周长为3+.
高频考点:
两角和与差的正弦、余弦公式,正弦和余弦的倍角公式,解三角形.
命题特点:
1.两角和与差的正弦、余弦公式的考查是高考热点,要么单独命题,要么与三角函数的性质或解三角形相结合考查;倍角公式也是如此.
2.对于三角恒等变换内容的考查通常以容易题和中档题为主.
3.解三角形是高考的必考内容,一般出现在解答题的第17题.作为解答题考查难度不是很大,但作为选择题或填空题考查,有难有易.
§8.1 三角恒等变换
一
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
Cα-β:
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ;
Cα+β:
cos（α+β）= ;
Sα-β:
sin（α-β）= ;
Sα+β:
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ;
Tα-β:
tan（α-β）=;
Tα+β:
tan（α+β）= .
二
二倍角公式
sin2α=2sinαcosα;
cos2α=cos2α-sin2α= = ;
tan2α=.
三
辅助角公式
函数f（α）=acosα+bsinα（a,b为常数）,可以化为f（α）=sin（α+φ）或f（α）=cos（α-φ）.
☞左学右考
1cos75°cos15°-cos105°sin75°的值为 .
2函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）的最小值为 .
3若=,则tan=（ ）.
A.-2 B.2
C.-D.
4若α+β=,求（1-tanα）（1-tanβ）的值.
知识清单
一、cosαcosβ-sinαsinβ sinαcosβ-cosαsinβ
二、2cos2α-1 1-2sin2α
基础训练
1.【解析】cos75°cos15°-cos105°sin75°=cos75°cos15°+sin15°sin75°=cos60°=.
【答案】
2.【解析】f（x）=2sin2x+2sinxcosx
=2×+sin2x=sin2x-cos2x+1
=2sin+1≥-1.
【答案】-1
3.【解析】由=,等式左边分子、分母同时除以cosα得=,解得tanα=-3,则tan==2.
【答案】B
4.【解析】∵-1=tan=tan（α+β）=,
∴tanαtanβ-1=tanα+tanβ.
∴1-tanα-tanβ+tanαtanβ=2,
即（1-tanα）（1-tanβ）=2.
题型一
三角函数式的化简、求值问题
【例1】若tancos=sin-msin,则实数m的值为（ ）.
A.2B.C.2D.3
【解析】由tancos=sin-msin,
得sincos=cossin-msincos,
则msin=sin,解得m=2.
【答案】A
三角函数式的化简要遵循“三看”原则:
一看角,二看名,三看式子结构与特征.
【变式训练1】= .
【解析】原式=
=
==
==-4.
【答案】-4
题型二
角的变换
【例2】已知tan（α-β）=,tanβ=-,则tan2α= .
【解析】∵tanα=tan[（α-β）+β]===,
∴tan2α===.
【答案】
在选取函数时,遵照以下原则:
①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,若角的范围是,选正、余弦函数皆可;若角的范围是（0,π）,选余弦函数较好;若角的范围为,选正弦函数较好.
【变式训练2】已知α,β为锐角,cosα=,sin（α-β）=,则β的大小为 .
【解析】∵α,β为锐角,又sin（α-β）=,∴0<β<α<,∴cos（α-β）=.∵cosα=,∴sinα=,∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=×+×=,则β=.
【答案】
题型三
三角变换的简单应用
【例3】已知函数f（x）=2sin2+（sin2x-cos2x）,x∈.
（1）求f的值;
（2）求f（x）的单调区间;
（3）若不等式|f（x）-m|<2恒成立,求实数m
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