高考天津数学文科模拟考试含详细解答全word.docx
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高考天津数学文科模拟考试含详细解答全word
绝密★启用前
2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3.本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：
如果时间A，B互斥，那么球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B）.
如果事件A，B相互独立，那么其中R表示球的半径.
P（A·B）=P（A）·P（B）
一、选择题：
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合，，，则
（A）（B） （C）（D）
解析：
因为，所以，选A．
（2）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
解析：
如图，由图象可知目标函数过点时取得最大值，，选D．
（3）函数（）的反函数是
（A）（） （B）（）
（C）（） （D）（）
解析：
当时，，解得，选A．
（4）若等差数列的前5项和，且，则
（A）12 （B）13 （C）14 （D）15
解析：
，所以，选B．
（5）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是
（A） （B）
（C） （D）
解析：
选C，A、B、D的反例如图．
（6）把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是
（A），（B），
（C），（D），
解析：
选C,
．
（7）设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为
（A）（B） （C）（D）
解析：
抛物线的焦点为，椭圆焦点在轴上，排除A、C，由排除D，选B．
（8）已知函数，则不等式的解集是
（A） （B） （C） （D）
解析：
依题意得，选A．
（9）设，，，则
（A）（B）（C）（D）
解析：
，因为，所以，选D．
（10）设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为
（A）（B） （C）（D）
解析：
易得，在上单调递减，所以，故，选B．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上
3．本卷共12小题，共100分。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）
（11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．
解析：
依题意知抽取超过45岁的职工为．
（12）的二项展开式中，的系数是________________（用数字作答）．
解析：
，，所以系数为10．
（13）若一个球的体积为，则它的表面积为________________．
解析：
由得，所以．
（14）已知平面向量，．若，则_____________．
解析：
因为，所以．
（15）已知圆C的圆心与点关于直线对称．直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为_______________________．
解析：
圆心的坐标为，所以，圆的方程为．
（16）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．
解析：
数字之和为10的情况有4，4，1，1、 4，3，2，1、 3，3，2，2．
所以共有种不同排法．
三、解答题（本题共6道大题，满分76分）
（17）（本小题满分12分）
已知函数（）的最小值正周期是．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．
（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：
由题设，函数的最小正周期是，可得，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为．
（18）（本小题满分12分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．
（18）本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解法一：
设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．
由题意得
解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．
解法二：
设设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．
由题意得，于是或（舍去），故．
所以乙投球的命中率为．
（Ⅱ）解法一：
由题设和（Ⅰ）知．
故甲投球2次至少命中1次的概率为
解法二：
由题设和（Ⅰ）知
故甲投球2次至少命中1次的概率为
（Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，
甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：
甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次。
概率分别为
，
，
所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为．
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知．
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角的大小．
（19）本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：
在中，由题设可得
于是.在矩形中，.又，
所以平面．
（Ⅱ）解：
由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.
在中，由余弦定理得
由（Ⅰ）知平面，平面，
所以，因而，于是是直角三角形，故．
所以异面直线与所成的角的大小为．
（Ⅲ）解：
过点P做于H，过点H做于E，连结PE
因为平面，平面，所以.又，
因而平面，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，
，从而是二面角的平面角。
由题设可得，
于是再中，
所以二面角的大小为．
（20）（本小题满分12分）
在数列中，，，且（）．
（Ⅰ）设（），证明是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：
对任意的，是与的等差中项．
（20）本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）证明：
由题设（），得
，即，．
又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅱ）解法：
由（Ⅰ）
，
，
……
，（）．
将以上各式相加，得（）．
所以当时，
上式对显然成立．
（Ⅲ）解：
由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．
由可得，由得， ①
整理得，解得或（舍去）．于是．
另一方面，，
．
由①可得，．
所以对任意的，是与的等差中项．
（21）（本小题满分14分）
已知函数（），其中．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
（21）本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解：
．
当时，．
令，解得，，．
当变化时，，的变化情况如下表：
0
2
－
0
＋
0
－
0
＋
↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以在，内是增函数，在，内是减函数．
（Ⅱ）解：
，显然不是方程的根．
为使仅在处有极值，必须成立，即有．
解些不等式，得．这时，是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是．
（Ⅲ）解：
由条件，可知，从而恒成立．
当时，；当时，．
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．
为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立．
所以，因此满足条件的的取值范围是．
（22）（本小题满分14分）
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．
（22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．
（Ⅰ）解：
设双曲线的方程为（）．由题设得
，解得，所以双曲线方程为．
（Ⅱ）解：
设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，整理得．
此方程有两个一等实根，于是，且．整理得． ③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足
，．
从而线段的垂直平分线方程为．
此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．
将上式代入③式得，整理得，．
解得或．
所以的取值范围是．
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