有关角平分线的辅助线做法Word文档格式.docx
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段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的
线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：
在此题中可在长线段BC上截取BF=AB,再证明CF=CD,从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
例2.已知：
如图1-3,AB=2AC,ZBAD=/CAD,DA=DB，求证DC丄A
此题还是利用角平分线来构造全等三角形
例3.已知：
如图1-4，在△ABC中，/C=2/B,AD平分/BAC，求证：
A
B-AC=CD
练习
已知在△ABC中，AD平分/BAC,/B=2/C,求证：
AB+BD=AC
2.已知：
在厶ABC中，/CAB=2/B,AE平分/CAB交BC于E,AB=2AC,求证：
AE=2CE
3.已知：
在厶ABC中，AB>
AC,AD为/BAC的平分线，M为AD上任一点。
求证：
BM-CM>
AB-AC
4.已知：
D是厶ABC的/BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接D
B、DC。
BD+CD>
AB+AC。
（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明
问题。
例1.如图2-1，已知AB>
AD,/BAC=/FAC,CD=BCo
/ADC+/B=180
可由C向/BAD的两边作垂线。
近而证/AD
C与/B之和为平角
例2.如图2-2，在△ABC中，/A=90,AB=AC,/ABD=/CBDo
BC=AB+AD
过D作DE丄BC于E,贝UAD=DE=CE，贝U构造
出全等三角形，从而得证。
此题是证明线段的和差倍分问
题，从中利用了相当于截取的方法。
例3.已知如图2-3,△ABC的角平分线BM、CN相交于
点P。
/BAC的平分线也经过点P。
连接AP，证AP平分/BAC即可，也就是证P到A
B、AC的距离相等。
练习:
1.如图2-4/AOP=ZBOP=15,PC//OA,P
D丄OA,
女口果PC=4，贝UPD=（）
A4B3C2D1
如图2-5,ZBAC=/CAD,AB>
AD,CE丄AB,
AE=2（AB+AD）.求证：
/D+/B=180。
如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD的中点,
F为BC
上的点，/FAE=ZDAE。
AF=AD+CF。
5.
已知：
如图2-7，在RtAABC中，/ACB=90,CD丄AB,垂足为D,
AE平分/CAB交CD于F,过F作FH//AB交BC于H。
求证CF=BH。
（三）：
作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形,
垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三
角形的三线合一的性质。
（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例1.已知：
如图3-1，/BAD=/DAC,AB>
AC,CD丄AD于
1
D,H是BC中点。
DH=—（AB-AC）2
延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。
问题可证
例2.已知：
如图3-2,AB=AC,ZBAC=90,AD为/ABC的平分线，CE±
BE求证：
BD=2CE。
给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形
例3.已知：
如图3-3在厶ABC中，AD、AE分别
/BAC的、外角平分线，过顶点B作BN垂直AD,交A
D的延长线于F,连结FC并延长交AE于M。
AM=ME。
由AD、AE是/BAC外角平分线，可得EA丄AF,从而有BF//AE，所
以想到利用比例线段证相等。
例4.已知：
如图3-4，在△ABC中，AD平分/BAC,AD=AB,CM丄AD
交AD延长线于M。
AM=—（AB+AC）
2
题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作厶A
BD关于AD的对称△AED，然后只需证DM=—EC,
1另外由求证的结果AM=—（AB+AC），即2AM=AB+
AC，也可尝试作△ACM关于CM的对称△FCM,然
后只需证DF=CF即可
练习：
1.已知：
在厶ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是/BAC的平分线，且CE丄AE于E,连接DE，求DE。
2.已知BE、BF分别是△ABC的/ABC的角与外角的平分线，AF丄BF
于F,AE丄BE于E,连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=—BC
（4）、以角分线上一点做角的另一边的平行线
有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰
三角形。
或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰二角形。
如图4-1和图4-2所示
C
图4-2
例4如图，AB>
AC,/1=/2,求证：
AB—AC>
BD—CD。
例5女口图，BC>
BA,BD平分/ABC,且AD=CD，求证：
/A+/C=180。
1.已知，如图，/C=2/A,AC=2BC。
△ABC是直角三角形
2.已知：
如图，AB=2AC,Z1=/2,DA=DB，求证：
DC丄AC
3.已知CE、AD>
△ABC的角平分线，/B=60。
，求证：
AC=AE+CD
如图在△ABC中，/A=90°
AB=AC,BD是/ABC的平分线，求
证：
（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线
AC于点D，CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。
BD=2CE
证明：
延长BA，CE交于点F,在△BEF和△BEC中，
vZ1=/2，BE=BE,/BEF=ZBEC=90°
，
•••△BEF^ABEC,aEF=EC从而CF=2C吕
又Z1+ZF=Z3+ZF=90°
，故Z1=Z3。
在AABD和AACF中，vZ1=Z3，AB=AC，ZBAD=Z
CAF=90
•••△ABD^AACF,aBD=CF,「.BD=2CE。
注：
此例中BE是等腰ABCF的底边CF的中线
（六）、借助角平分线造全等
1:
如图，已知在厶ABC中，/B=60°
^ABC的角平分线AD,CE相交于点0,求证:
0E=0D
2:
（06市中考题）如图，△ABC中，AD平分/BAC,DG丄BC且平分BC,
DE丄AB于E,DF丄AC于F.
（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果AB=a,AC=b,
求AE、BE的长.
中考应用
（06中考）如图①，OP是/MON的平分线，请你利用该图形画一对以O
P所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下
列问题:
（1）如图②，在△ABC中，/ACB是直角，/B=60°
AD、CE分别是/B
AC、/BCA的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数
量关系;
（2）如图③，在厶ABC中，如果/ACB不是直角，而⑴中的其它条件不变,
B
请问，你在
（1）中所得结论是否仍然成立？
若成立，请证明；
若不成立，请说明
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