系统建模可以分为两种机理建模和建模建模就是通过Word文件下载.docx
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F加在小车上的力
X小车位置
0摆杆与垂直方向向下的夹角
①摆杆与垂直方向向上的夹角
倒立摆系统最终的控制目的是使倒立摆这样一个不稳定的被控对象，通过引入适当的控
制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统，单节倒立摆系统的控制模型是目前
国内外广泛采用的模型是研究各种控制算法的基础。
该系统由计算机，运动控制卡，伺服机构，倒立摆，本体和光电码盘等几部分组成了
一个闭环系统。
如图所示：
光电码盘将小车的位移速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制
卡，摆杆的位置，速度信号由光电码盘也反馈回运动控制卡。
计算机从运动控制卡中读取实
时数据，确定控制决策（小车向哪个方向移动，移动速度，加速度等。
）并实现该控制决策,
产生相应的控制量，使电机带动小车，保持平衡。
_*
W.—0
OC）
TMX+N=F-bX
』N=mX+ml润cos日—mld2sin日
P—mg=-mlMsin日-mldicosB
-plsin日-Nlcos日=IAl
注意：
此方程中力矩的方向，由于B=n+①,COS—-cos」，sin八-sin「，故等式
约去P和N,得到方程：
（1）
⑵
（Mm）XbXmlUcos：
-ml』2sin二-F
（Mm）Xmglsin--mlXcos^
3.线性化
设B=n+①假设①与1（单位是弧度）相比很小，即①远远小于1,则可以进行近似处理
cos°
=-1,sin日=-申，——=0
<
dt丿
设u代表被控对象的输入力F,方程
（1）和方程
（2）经过线性化后
（I+ml2）F-mgP=mlX（M+m）X+bX-ml^=u
^-ml2
其中3
因此倒立摆的状态方程为
）l=3g（M-叫+_Z3_
l（4Mm）l（4Mm）
沁4f
4Mm（4Mm）
4.单节倒立摆传递函数的推导
对式（3）进行拉氏变换，得到：
（Iml2）（s）s2-mgl（s）=mlX⑸s2
（Mm）X（s）s2bX（s）s-ml（s）s2=U（s）
初始条件为o时，
由于输出角度为,求解方程组的第一个方程，可以得到
2
X（s）=【T-耳］（s）
mls
把上式代入到（4）中的第二个方程中，得到:
整理后得到
ml
（s）_q_num
U（s）3b（Iml2）2（Mm）mglbmglden
s十ss
qqq
22
其中q珂（Mm）（Iml（ml）]
5.状态空间方程的推导
”X=AX+Bu
■:
系统的状态方程：
.厂CX•Du
其中：
A为状态矩阵。
B为输入矩阵。
C为输出矩阵。
D为前馈矩阵。
方程组（3）求解得：
整理后，系统状态空间方程为
01X
0J令
一0
被控对象是个单输入力
（F）、双输出（小车的位移
由直线一级倒立摆的数学模型式可知摆杆的角度）的对象
6.系统稳定性分析
一级倒立摆系统的特征方程为
det{入I-A}=0，经过Matlab计算得到系统开环特征根为:
入（A）=（0,5.5651,-0.1428,-5.6041）
系统有一个极点在复平面的右半平面上，有一个极点在原点，因此系统是不稳定的。
由一级倒立摆系统线性状态方程得到：
23
rank[BABABAB]=4
rank[CCACACA]=4
所以一级倒立摆是能控且能观测的。
对于一缴倒立摆状态方程，对A矩阵进行奇异值分解，得到A矩阵的奇异值阵:
31,2996
W=svd（A）-
1.01
定义：
被控对象控制的难易程度，即系统状态矩阵最大奇异值的到数称为相对能控度。
A矩阵的奇异值为W对角线上的值，所以一级倒立摆的相对能控度，
PID控制
考虑角度的PID控制
对于一级倒立摆，由前面式子及系统数据，得到数学模型如下:
'
（T
-0.1818
2.6727
°
：
+
1.8182
-0,4545
31.1818
d
J
4,5455
ri
系统结构框图如图所示:
ContniHar
Plant蚣］
TransfiftrFen
-
fannerFen^
图1PID控制框图
图中KD（S）是控制器的传递函数，G（S）是一级倒立摆的传递函数。
考虑到r（s）=O,结构
图可以变换成：
图2输入为0时系统框图
该系统的输出为:
num
1¥
KD（s）G（s）
f（»
血n
I十{numPID）{num）
+~{de^PID）（den）
史P（D）
（denPID）（den）+（numPID）（num）
其中，num—被控对象传递函数的分子项
den—被控对象传递函数的分母项
numPID――PID控制器传递函数的分子项
denPID—PID控制器传递函数的分母项被控对象的传递函数是：
①（y）qnum
“⑴/］风八肿）二3（A/+m）mSls2加唧占defl
其中，q二［（Mm）（Iml）-（ml）］
pid控制器的传递函数为：
KD®
［资+K卄&
■尺討+疋卢+畸■竺煙°
g5denPID
在工程实际当中，常采用工程整定法，它们是在理论基础上通过实践总结出来的。
这些方法通过并不复杂的经验便能迅速获得调节器的近似最佳整定参数，因而在工程中
得到广泛应用。
具体步骤如下：
（1）置调节器积分时间Tj到最大值，微分时间Td为0，比例带置较大值，使系统投入运行。
⑵待系统运行稳定后，逐渐增大牟，直到系统出现等幅震荡过程，记下此时的比例带并计算两个波峰间的时间Tcr（临界震荡周期）。
利用Scr和Tcr,的值，按照下面给出的经验公式计算：
k■一-一：
r：
t=—
对于PID调节器：
^
得：
KP=40Ki=1Kd=10
■OiX:
弓色劉承绘SE毎1
control
nature
时问紬（sec）
时间轴tsec）
图3PID控制一级倒立摆相应曲线
从上图中可以看出，进过PID控制后，倒立摆在1.5达到稳定状态，系统超调量很小，而且没有稳态误差，该方法对单级倒立摆的控制可以很容易实现。
考虑小车位置的PID控制
考虑小车位置的系统结构如图所示:
其中，Gi（S）是摆杆传递函数，G2（S）是小车传递函数。
由于输入信号r（s）=O，所以可以
把结构图4转换成结构图5
ransltf
G2liJ
图5转换成单输入单输出系统
%）
7W-
其中，反馈环代表我们前面设计的控制器。
小车位置输出为:
den2
（numP!
D）（numi）
（如/TO）（血％）
（用咧2）（血如1）
（denPID）（denA）（den2}“
其中，num，de门仁num?
，den2分别代表被控对象1和被控对象2传递函数的分子和分母。
根据前面的推导：
祕s
可以推导出小车位置的传递函数为:
i2mgf
U⑸4严）3（M2bmgl
占*£
■5—S
其中，
q=[（Mm）（1ml）-（ml）]
可以看出，
den〔=den2=den，小车的闭环传递函数可以简化成：
｛嘶）（如呵
（denPIDyfden）+（numPID^numy）
根据上面控制摆角度的Z-N方法，可以控制小车的位置，但是由Simulink系统框图4可以看出，此系统为单输入双输出系统，所以我们只能在两个输出量中选择一个作为被控量。
在
这种PID方法中，选择控制优先级高的输出量（摆的角度）作为系统输出。
要想既控制倒立摆
的角度又控制小车的位置，简单的PID方法是无法实现的。
模糊控制
一级倒立摆系统模糊控制器结构如图1.首先利用线性二次型状态反馈控制，然后加入模
糊控制器以达到更好的控制效果。
图1模糊控制器结构图
一级倒立摆有4个状态变量，而模糊控制器仅有两个输入，因此必须对4个状态变量
做一些处理才能作为模糊控制器的输入。
首先引入两个辅助变量E和EC
X2
EC=KlX2=\ktJtj
T
其中，x1,x2,x3,x4分别为x,0,x，宅，K=[k1,k2,k3,k4]为状态反馈系统，线
性二次型控制指标：
通过求解Riccati方程：
旳您只“八=“
得到：
k「=^'
^7r
E和EC分别为上面图中模糊控制器的输入，它们有如下特征：
（1）它们包含了状态变量的全部信息；
⑵通过改变Q和R的值，可以改变各个状态变量在E和EC中的权重，从而可以有目的地改变状态变量对于模糊控制器输出的作用；
（3）这两个量具有较明确的物理意义。
模糊控制器相当于由综合误差E和综合误差变化率EC构成的非线性控制器：
u=/（£
7EC）
K=[-3162厂20.95,77-犖1.76]
无论从系统动态性能还是静态性能，此种模糊控制方法都能满足要求。
而且无论怎样改
变小车的理想位置，系统经过一段时间后都能够回到要求的位置。
不会因输出要求的改变，小车位置的变化过大而不能够达到控制目的。
神经网络控制
倒立摆具有不稳定性，若想通过开环试验获取数据，抽取控制规则很困难。
所以，从闭
环试验中抽取一些有效的数据作为训练样本，比如简单的比例、LQR控制规则等。
在进行B-P网络设计前，一般从网络层数、每层神经元数、初始值、以及学习方法等方面来考虑。
具有偏差和至少一个S型隐含层加上一个线性输出层的网络，能够逼近任何有理函数。
影响神经网络B-P的因素有网络的层数，网络各层神经元的个数等。
影响神经BP算法的因素
还有学习速率、初始权值的选取、以及神经网络期望误差的选取，可以选择一个具有一个隐
含层的二层网络，它的输入分别为系统的四个状态变量：
小车的位置，小车的速度，摆的角
度和摆的角速度。
隐含层有10个神经元，输出层为一个。
隐含层采用“tansig”转换函数，
输出层采用线性转换函数“purelin”。
如图1所示。
图1神经网络结构图
获得训练样本并确定神经网络结构后，即可以对神经网络进行训练。
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4-
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0_.1002003004Q0500500惑
图2训练后网络输出与期望输出
图形表明我们通过上述训练方法能够使训练后网络的输出很好的逼近期望输出，并达到
较为理想的效果。
利用系统的传递函数：
小车的位置和输出之间的传递函数Gi（s），摆的角度和输出量之
间的传递函数G2（s）队倒立摆进行仿真。
神经网络控制器的输入参数为四个即倒立摆系统的四个状态变量：
小车的位置、小车的速度、摆的角速度和摆的角加速度。
输出为对小车所加控制量。
神经网络控制模块可以利用MatlabFunction定义，此模块的主要作用是通过调用一个
Slep
Fob
图3倒立摆神经网络仿真
图4仿真结果图
制结果。
由前面的仿真模块可以看出，神经网络控制器控制效果很好，所以把其对应的训练输出，
根据BP算法编辑控制器的框图，控制器的子系统框图如图5。
其中的权值矩阵都用Matlab中
的gain框图表示，而偏值用constant表示，两个传递函数分别为tansig模块和purelin线性
模块。
通过net.iw{l,1}和net」w{2，1}来求第一第二层的权值矩阵，用net.b{1）,net.b{2）
来分别求网络的偏值。
根据BP算法的正向传播算法计算网络输出。
控制器的两个输出分别为理论运算的速度
Vel和加速度Acc。
并分别把训练好的数据依次输入到对应的模块。
对倒立摆的实际控制时，采用Subsystem封装控制器的子框图，进行设计神经网络控制器。
计算出需要发出的控制量，最后通过转换把输出的控制量转换为电压，对伺服电动机进
行控制，从而实现了对倒立摆系统的控制。
Condant9
图5控制器子框图
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