版高考数学一轮复习题组训练文科课标版第3章第2讲导数的应用含模拟题含答案.docx
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版高考数学一轮复习题组训练文科课标版第3章第2讲导数的应用含模拟题含答案
第二讲 导数的应用
题组1 应用导数研究函数的单调性
1.[2017浙江,7,4分]函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图3-2-1所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )
图3-2-1
A.B.C.D.
2.[2016全国卷Ⅰ,12,5分][文]若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
A.[-1,1]B.[-1,]C.[-,]D.[-1,-]
3.[2015新课标全国Ⅰ,12,5分]设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )
A.[-,1)B.[-,)C.[,)D.[,1)
4.[2017全国卷Ⅱ,21,12分][文]设函数f(x)=(1-x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.
5.[2017全国卷Ⅲ,21,12分][文]已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.
题组2 应用导数研究函数的极值与最值
6.[2017全国卷Ⅱ,11,5分]若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( )
A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1
7.[2016四川,6,5分][文]已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=( )
A.-4B.-2C.4D.2
8.[2014新课标全国Ⅱ,12,5分]设函数f(x)=sin.若存在f(x)的极值点x0满足+[f(x0)]2A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
9.[2013新课标全国Ⅱ,11,5分][文]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( )
A.∃x0∈R,f(x0)=0
B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形
C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减
D.若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=0
10.[2017北京,20,13分][文]已知函数f(x)=excosx-x.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.
11.[2016天津,20,14分][文]设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:
x1+2x0=0;
(Ⅲ)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:
g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于.
12.[2013新课标全国Ⅰ,20,12分][文]已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
题组3 生活中的优化问题
13.[2013重庆,20,12分][文]某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为rm,高为hm,体积为Vm3.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/m2,底面的建造成本为160元/m2,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).
(Ⅰ)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(Ⅱ)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
题组4 应用导数研究函数的综合问题
14.[2017全国卷Ⅲ,21,12分]已知函数f(x)=x-1-alnx.
(1)若f(x)≥0,求a的值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)15.[2016全国卷Ⅲ,21,12分][文]设函数f(x)=lnx-x+1.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)证明当x∈(1,+∞)时,1<(Ⅲ)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.
16.[2015新课标全国Ⅰ,21,12分][文]设函数f(x)=e2x-alnx.
(Ⅰ)讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数;
(Ⅱ)证明:
当a>0时,f(x)≥2a+aln.
17.[2015北京,19,13分][文]设函数f(x)=-klnx,k>0.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)证明:
若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.
A组基础题
1.[2018浙江省温州市一模,6]已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图3-2-2所示,则函数f(x)的图象可能是( )
图3-2-2
A.B.C.D.
2.[2018成都市高三摸底测试,7]已知函数f(x)=x3-ax在(-1,1)上单调递减,则实数a的取值范围为( )
A.(1,+∞)B.[3,+∞)C.(-∞,1]D.(-∞,3]
3.[2017南昌市三模,10]已知函数f'(x)是函数f(x)的导函数,f
(1)=,对任意实数x,都有f(x)-
f'(x)>0,则不等式f(x)A.(-∞,e)B.(1,+∞)C.(1,e)D.(e,+∞)
4.[2017石家庄市二模,12]若函数f(x)=x3+2ax2-3bx+3b在(0,1)上存在极小值点,则实数b的取值范围是( )
A.(-1,0]B.(-1,+∞)C.[0,+∞)D.(1,+∞)
5.[2017郑州市第三次质量预测,12]设函数f(x)满足2x2f(x)+x3f'(x)=ex,f
(2)=.则x∈[2,+∞)时,f(x)的最小值为( )
A.B.C.D.
6.[2018辽宁省五校联考,21]已知函数f(x)=2lnx+x2-2ax(a>0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x17.[2017长春市高三第四次质量监测,21]已知函数f(x)=x2eax.
(1)当a<0时,讨论函数f(x)的单调性;
(2)在
(1)条件下,求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值;
(3)设函数g(x)=2ex-,求证:
当a=1时,∀x∈(0,1),g(x)-xf(x)>2恒成立.
B组提升题
8.[2018河南省南阳一中三模,12]关于函数f(x)=+lnx,下列说法错误的是( )
A.x=2是f(x)的极小值点
B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点
C.存在正实数k,使得f(x)>kx恒成立
D.对任意两个正实数x1,x2,且x2>x1,若f(x1)=f(x2),则x1+x2>4
9.[2018河北“五个一名校联盟”高三第二次考试,16]已知函数f(x)=x+alnx(a>0),若∀x1,x2∈(,1)(x1≠x2),|f(x1)-f(x2)|>|-|,则正数a的取值范围是 .
10.[2018西安八校联考,21]已知函数f(x)=x,g(x)=λf(x)+sinx(λ∈R)在区间[-1,1]上单调递减.
(1)求λ的最大值;
(2)若g(x)(3)讨论关于x的方程=x2-2ex+m的解的个数.
11.[2017甘肃省张掖市高三一诊,21]设函数f(x)=-alnx.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间和极值;
(3)若函数f(x)在区间(1,e2]内恰有两个零点,试求a的取值范围.
答案
1.D 根据题意,已知导函数的图象有三个零点,且每个零点的两边导函数值的符号相反,因此函数f(x)在这些零点处取得极值,排除A,B;记导函数f'(x)的零点从左到右分别为x1,x2,x3,又在(-∞,x1)上f'(x)<0,在(x1,x2)上f'(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,x1)上单调递减,排除C,选D.
2.C 函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增,等价于f'(x)=1-cos2x+acosx=-cos2x+acosx+≥0在(-∞,+∞)上恒成立.令t=cosx,则g(t)=-t2+at+≥0在[-1,1]上恒成立,所以解得-≤a≤.故选C.
3.D 由题意可知存在唯一的整数x0,使得(2x0-1)图D3-2-3
4.
(1)f'(x)=(1-2x-x2)ex.令f'(x)=0,得x=-1-,x=-1+.
当x∈(-∞,-1-)时,f'(x)<0;当x∈(-1-,-1+)时,f'(x)>0;当x∈(-1+,+∞)时,f'(x)<0.
所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)单调递减,在(-1-,-1+)单调递增.
(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.
(i)当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h'(x)=-xex<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)单调递减,而h(0)=1,故h(x)≤1,
所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.
(ii)当00(x>0),所以g(x)在[0,+∞)单调递增,而g(0)=0,故ex≥x+1.
又x∈(0,1)时,f(x)>(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=,此时x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.
(iii)当a≤0时,取x0=,此时x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)·(1+x0)2=1≥ax0+1.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
5.
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax+2a+1=.
若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若a<0,则当x∈(0,-)时,f'(x)>0;当x∈(-,+∞)时,f'(x)<0.故f(x)在(0,-)上单调递增,在(-,+∞)上单调递减.
(2)由
(1)知,当a<0时,f(x)在x=-处取得最大值,最大值为f(-)=ln(-)-1-.
所以f(x)≤--2等价于ln(-)-1-≤--2,即ln(-)++1≤0.
设g(x)=lnx-x+1(x>0),则g'(x)=-1.
当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g
(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.因此