数学建模第二次作业(3).doc

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数学建模

任意两个城市之间的最廉价路线

参与人员信息：

2012年6月6日

一、问题提出

某公司在六个城市C1、C2、C3、C4、C5、C6中都有分公司，从Ci到Cj的直达航班票价由下述矩阵的第i行、第j列元素给出（∞表示无直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间最廉价路线表，试做出这样的表来。

050∞402510

5001520∞25

∞1501020∞

40201001025

25∞2010055

1025∞25550

二、问题分析

若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点（通常是源节点和阱节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。

最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。

最短路问题，我们通常归属为三类：

单源最短路径问题、确定起点终点的最短路径问题、全局最短路径问题———求图中所有的最短路径。

题中要求算出一张任意城市间的最廉价路线表，属于全局最短路问题，并且使得该公司总经理能够与各个子公司之间自由往返。

（此两点为主要约束条件）

Floyd算法，具体原理如下：

（1）我们确定本题为全局最短路问题，并采用求距离矩阵的方法

根据路线及票价表建立带权矩阵，并把带权邻接矩阵我w作为距离矩阵的初始值，即

（2）求路径矩阵的方法

在建立距离矩阵的同时可建立路径矩阵，，的含义是从到的最短路径要经过点号为的点。

（3）查找最短路径的方法

若，则点是点到的最短距离的中间点，然后用同样的方法再分头查找。

三、模型假设：

1.各城市间的飞机线路固定不变

2.各城市间飞机线路的票价不改变

3.忽略乘客除票价以外的各项开销费用

4.不考虑雷雨云、低云、大风、雷暴、冰雹等主要天气因素对飞行的影响。

四、模型建立

建立带权邻接矩阵：

根据飞机路线及票价表建立带权邻接矩阵，在带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出6个矩阵。

采用floyd算法步骤为:

:

到的最短距离

：

到之间的插入点

输入带权邻接距阵

（1）赋初值：

对所有

（2）更新,:

对所有,若，则

.

（3）若,停止；否则，转

（2）.

运行程序得：

D

（1）

D

（2）、

D（3）、

D（4）、

D（5）、

D（6），

使最后得到的矩阵D（6）为飞机的最廉价矩阵。

五、模型求解结果

根据模型求解，分析得出任意两个城市之间最廉价线路及票价为：

C1→C2:

1→6→2；35

C1→C3:

1→5→3,1→6→4→3;45

C1→C4:

1→6→4，1→5→4﹔35

C1→C5∶1→5﹔25

C1→C6:

1→6﹔10

C2→C3∶2→3﹔15

C2→C4∶2→4﹔20

C2→C5∶2→4→5﹔30

C2→C6∶2→5﹔25

C3→C4∶3→4﹔10

C3→C5∶3→5∶3→4→5﹔20

C3→C6∶3→4→6﹔35

C4→C5∶4→5﹔10

C4→C6∶4→6﹔25

C5→C6∶5→4→6﹔35