四川省宜宾市叙州区第一中学届高三高考适应性考试数学理试题.docx
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四川省宜宾市叙州区第一中学届高三高考适应性考试数学理试题
2019年四川省叙州区一中高考适应性考试
数学（理科）试题
第I卷（选择题，共60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为
A.B.
C.D.
2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A.2B.1C.D.
3.若变量满足不等式组，且的最大值为7，则实数的值为
A.1B.C.D.
4.若实数，满足，，则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的的值满足
A.B.C.D.
6.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）
A.13134B.67C.200D.250
7.已知函数，将图像上所有点的
横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图
像，若为偶函数，则的一个值为
A.B.C.D.
8.在中，三内角的对边分别为，且，，则角的大小是
A.或B.C.D.
9.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（）
①平面平面；
②平面；
③异面直线与所成角的取值范围是；
④三棱锥的体积不变.
A.①②B.①②④C.③④D.①④
10.将边长为的正方形沿对角线折起，则三棱锥的外接球体积为（）
A.B.C.D.
11.已知椭圆的左右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与椭圆交于两点，的中点是，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是
A.2B.C.D.
12.若函数的图像和直线有四个不同的公共点，则实数的取值范围是
A.B.C.D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13.如果的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数是__________．
14.曲线与直线所围成的封闭图形的面积为.
15.如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为__________．
16.的内角所对的边分别为，已知，，则的最小值为__________．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（本大题满分12分）
在中，内角的对边分别为，，三边成等比数列，且面积为1，在等差数列中，，公差为.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，设为数列的前项和，求的取值范围.
18.（本大题满分12分）
某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：
每月完成合格产品的件数（单位：
百件）
频数
10
45
35
6
4
男员工人数
7
23
18
1
1
（1）其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”.由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？
非“生产能手”
“生产能手”
合计
男员工
女员工
合计
（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：
规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出件的部分，累进计件单价为1.2元；超出件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）不少于3100元的人数为，求的分布列和数学期望.
附：
，
.
19.（本大题满分12分）
如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，底面，点分别为，的中点.
（1）求证：
平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成
的角的正弦值为？
若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
20.（本大题满分12分）
已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线上存在一点，过点作，垂足为，使是等边三角形且面积为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若点是圆与抛物线的一个交点，点，当取得最小值时，求此时圆的方程.
21.（本大题满分12分）
已知函数（其中，为自然对数的底数，）.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）证明：
当时，函数有两个零点，且.
（二）选考题：
共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.
（1）若点的直角坐标为，求直线及曲线的直角坐标方程；
（2）若点在上，直线与交于两点，求的值.
23.设函数.
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
2019年四川省叙州区一中高考适应性考试
数学（理科）试题答案
一．选择题
1.D2.C3.A4.C5.C6.B7.B8.A9.B10.C11.D12.D
二．填空题
13.25214.15.16.
17解：
（1）∵，，，
∴，.
（2）∵，
∴
∵是关于n的增函数，
∴.
18.
（1）
非“生产能手”
“生产能手”
合计
男员工
48
2
50
女员工
42
8
50
合计
90
10
100
因为的观测值，
所以有的把握认为“生产能手”与性别有关.
（2）当员工每月完成合格产品的件数为3000件时，
得计件工资为元，
由统计数据可知，男员工实得计件工资不少于3100元的概率为，
女员工实得计件工资不少于3100元的概率为，
设2名女员工中实得计件工资不少于3100元的人数为，1名男员工中实得计件工资在3100元以及以上的人数为，则，，
的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为
0
1
2
3
故.
19.
（1）证明：
∵，为的中点，
∴
又平面，平面，∴
∵
∴平面
∵平面
∴平面平面
（2）解：
如图，由
（1）知，，，点，分别为的中点，
∴，∴，，又，
∴两两垂直，分别以方向为轴建立坐标系.
则，，，，
设，
所以
，，设平面的法向量，则
，，令，则，，
∴
由已知或（舍去）
故；故线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，
此时为线段的中点.
20.解：
（1）如图所示，
∵等边的面积为，
设边长为，
∴，∴，∴
∵，∴
所以抛物线的方程是.
（2）法一：
设的坐标为，因为抛物线：
的焦点，
，
，
所以当且仅当时取等号，即当取最小值时，点坐标为把点坐标代入圆的方程可得.
法二：
设的坐标为，因为抛物线：
的焦点，
，
，
所以，当且仅当时取等号，
即当取最小值时，点坐标为
把点坐标代入圆的方程可得.
21.
（1）
令得或
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为
（2）当时，恒成立，
所以在递减，在递增
则为函数极小值点
又因为对于恒成立
对于恒成立
对于恒成立
所以当时，有一个零点，当时，有一个零点
即，
且，
所以
下面再证明即证
由得
又在上递减，于是只需证明，
即证明
将代入得
令
则
因为为上的减函数，且
所以在上恒成立
于是为上的减函数，即
所以，即成立
综上所述，
22.
（1）曲线：
化为直角坐标方程为：
过点直线的直角坐标方程为：
（2）将直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立可得：
则（其中、为方程的两根）
又点在上，则，
故
23.
（1）因为，
所以的解集为.
（2）因为，所以，
（3）即，则，
所以.
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