届高考考前60天冲刺统计和概率专练理数.docx

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届高考考前60天冲刺统计和概率专练理数

2019届高考数学（理）考前60天冲刺【六大解答题】

统计和概率专练

1.某学校为调查高三年学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图

（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图

（2））.已知图

（1）中身高在170~175cm的男生人数有16人．

图

（1）图

（2）

（Ⅰ）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？

（Ⅱ）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（百分几）的把握认为“身高与性别有关”?

≥170cm

<170cm

总计

男生身高

女生身高

总计

（Ⅲ）在上述80名学生中，从身高在170～175cm之间的学生中按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．

参考公式：

参考数据：

0.025

0.010

0.005

0.001

5.024

6.635

7.879

10.828

本小题主要考查频率分布直方图、列联表和概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想等．满分12分．

解：

（Ⅰ）直方图中，因为身高在170~175cm的男生的频率为，

设男生数为，则，得.………………………………………4分

由男生的人数为40，得女生的人数为80-40=40.

（Ⅱ）男生身高的人数，女生身高的人数，所以可得到下列列联表：

≥170cm

<170cm

总计

男生身高

30

10

40

女生身高

4

36

40

总计

34

46

80

…………………………………………6分

，………………………………………7分

所以能有99．9％的把握认为身高与性别有关；…………………………………………8分

（Ⅲ）在170～175cm之间的男生有16人，女生人数有人．

按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人.………………………9分

设男生为，女生为.

从5人任选3名有:

共10种可能，………………………………10分

3人中恰好有一名女生有:

共6种可能，………………………11分

故所求概率为．

2.某高校在2019年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示．

（I）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；

（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（Ⅲ）在

（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求：

第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

解：

（Ⅰ）由题意知，第2组的频数为人,

第3组的频率为,

频率分布直方图如下:

………………………………………………………………4分

（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组

分别为:

第3组:

人.

第4组:

人.

第5组:

人,

所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.…………………………………………8分

（Ⅲ）设第3组的3位同学为,第4组的2位同学为,第5组的1位同学为,

则从六位同学中抽两位同学有15种可能如

下:

其中第4组的2位同学至少有一位同学

入选的有:

共9种．

所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为

3.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，

随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数.（第18题图）

根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

分组

频数

频率

24

4

0.1

2

0.05

合计

1

（Ⅰ）求出表中及图中的值；

（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；

（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率.

解（Ⅰ）由分组内的频数是4，频率是0.1知，，所以

因为频数之和为，所以，.---4分

因为是对应分组的频率与组距的商，所以----------6分

（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是，

所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人.……----8分

（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，

设在区间内的人为，在区间内的人为.

则任选人共有

，15种情况，……10分

而两人都在内只能是一种，所以所求概率为

5.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X

1

2

3

4

5

频率

a

0.2

0.4

b

c

（I）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；

（Ⅱ）在（I）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

解：

（Ⅰ）由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.

因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝＝0.15.

等级系数为5的恰有2件，所以c＝＝0.1.

从而a＝0.35－b－c＝0.1.

所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.………………6分

（Ⅱ）从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为：

{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}．

设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为：

{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4个．

又基本事件的总数为10，

故所求的概率P（A）＝＝0.4.………………12分

6.已知A、B、C三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2，现从A、B、C三个箱子中各摸出1个球。

（1）若用数组（x，y，z）中的x、y、z分别表示从A、B、C三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组（x，y，z）的所有情形，并回答一共有多少种；

（2）如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？

请说明理由。

（1）解：

数组（x，y，z）的所有情形为：

（1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（1，2，2），（2，1，1），（2，1，2），（2，2，1），（2，2，2），共8种6分

注：

列出所有情形，得6分，列出5种以上情形，得4分．

（2）解：

摸出的三个球号码的和可能为3，4，5，6，故记“所摸出的三个球号码之和为i”为事件Ai（i=3，4，5，6）8分

易知，事件A3包含有1个基本事件，事件A4包含有3个基本事件，事件A5包含有3个基本事件，事件A6包含有1个基本事件10分

∴

7.为了淮北市争创“全国文明城市”，市文明委组织了精神文明建设知识竞赛。

统计局调查中心随机抽取了甲．乙两队中各6名组员的成绩，得分情况如下表所示：

甲组

84

85

87

88

88

90

乙组

82

86

87

88

89

90

（1）根据表中的数据，哪个组对精神文明建设知识的掌握更为稳定？

（2）用简单随机抽样方法从乙组6名成员中抽取两名，他们的得分情况组成一个样本，求抽出的两名成员的分数差值至少是4分的概率。

解析：

（1）由题意可知，

，………………1分

………………2分

……3分

……4分

因为，所以甲组的成绩比乙组稳定。

………6分

（2）从乙组抽取两名成员的分数，所有基本事件为（用坐标表示）：

（82，86），（82，87），（82，87），（82，89），（82，90），（86，87），（86，88），（86，89），（86，90），（87，88）（87，89）（87，90），（88,89），（88,90），（89，90）共15种情况。

………………8分

则抽取的两名成员的分数差值至少是4的事件包含：

（82，86），（82，87），（82，87），（82，89），（82，90），（86，90）共6种情况。

………………10分

由古典概型公式可知，抽取的两名成员的分数差值至少是4分的概率P=

8.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

日期

3月1日

3月2日

3月3日

3月4日

3月5日

温差x（oC）

10

11

13

12

8

发芽数y（颗）

23

25

30

26

16

（I）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均小于25”的概率；

（II）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；

（III）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（II）所得的线性回归方程是否可靠？

（参考公式：

回归直线方程式，其中）

（I）m，n构成的基本事件（m，n）有：

（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个．

………………………………………………………………2分

其中“m，n均小于25”的有1个，其概率为．………………………4分

（II）∵

∴．………………………6分

于是，．……………………………………………8分

故所求线性回归方程为．…………………………………………9分

（III）由

（2）知，

当x=10时，y=22；当x=8时，y=17．………………………………………11分

与检验数据的误差均为1，满足题意.

故认为得到的线性回归方程是可靠的．

9.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等。

（1）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；

（2）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.

（Ⅰ）当时，～.--------------------------3分

故，.---------6分

（Ⅱ）的可取值为.

；

；

--------------------10分

的分布列为

0

1

2

3

P

----------------------12分

10.为了解学生喜欢数学是否与性别有关，对50个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜欢数学

不喜欢数学

合计