学而思小升初专项训练数论篇1教师版Word下载.docx
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题中要求丙与135的乘积为甲的平方数,而且是个偶数(乙+乙),这样我们分解135=5×
3×
3,所以丙最小应该是2×
2×
5×
3,所以甲最小是:
5=90。
5【解】:
八进制数是由除以8的余数得来的,不可能出现8,所以答案是D。
小升初专项训练数论篇
基本公式
1)已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地,若(a,b)=1,则有ab|c。
[讲解练习]:
若3a75b能被72整除,问a=__,b=__.(迎春杯试题)
2)已知c|ab,(b,c)=1,则c|a。
3)唯一分解定理:
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即
n=p11a×
p22a×
...×
pkak(#)
其中p1<
p2<
...<
pk为质数,a1,a2,....ak为自然数,并且这种表示是唯一的。
该式称为n的质因子分解式。
连续3的自然树的积为210,求这三个数为__.
4)约数个数定理:
设自然数n的质因子分解式如(#)
那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
所有约数和:
(1+P1+P12+„p11a)(1+P2+P22+„p22a)„(1+Pk+Pk2+„pkak)
1996不同的质因数有__个,它们的和是__。
(1996年小学数学奥林匹克初赛)
5)用[a,b]表示a和b的最小公倍数,(a,b)表示a和b的最大公约数,那么有ab=[a,b]×
(a,b)。
两个数的积为2646,最小公倍数为126,问这两个数的和为__。
(迎春杯刊赛第10题)
6)自然数是否能被3,4,25,8,125,5,7,9,11,13等数整除的判别方法。
3aa1能被9整除,问a=__.(美国长岛数学竞赛第三试第3题)
7)平方数的总结:
1:
平方差A2
-B2
=(A+B)(A-B),其中我们还得注意A+B,A-B同奇偶性。
[讲解练习]:
82
-72
+62
-52
+42
-32
+22
-12
=__。
2:
约数:
约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
1~100中约数个数为奇数个的所有数和为__。
3:
质因数分解:
把数字分解,使他满足积是平方数。
a与45的乘积一个完全平方数,问a最小是__。
8)十进制自然数表示法,十进制和二进制,八进制,五进制等的相互转化。
9)周期性数字:
abab=ab×
101
2005×
20062006-2006×
20052005=__。
四、典型例题解析
1数的整除
【例1】
(★★★)将4个不同的数字排在一起,可以组成24个不同的四位数(4×
1=24)。
将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话,第二个是5的倍数;
按从大到小排列的话,第二个是不能被4整除的偶数;
按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。
请求出这24个四位数中最大的一个。
【例2】
(★★★)一个5位数,它的各个位数字和为43,且能被11整除,求所有满足条件的5位数?
【例3】
(★★★)由1,3,4,5,7,8这六个数字所组成的六位数中,能被11整除的最大的数是多少?
【例4】
(★★)一个学校参加兴趣活动的学生不到100人,其中男同学人数超过总数的4/7,女同学的人数超过总数的2/5。
问男女生各多少人?
2质数与合数(分解质因数)
【例5】
(★★★)2005×
684×
375×
□最后4位都是0,请问□里最小是几?
[拓展]:
□最后4位都是0,且是7的倍数,问□里最小是_____
【例6】
(★★★)03年101中学招生人数是一个平方数,04年由于信息发布及时,04年的招生人数比03年多了101人,也是一个平方数,问04年的招生人数?
3约数和倍数
【例7】
(★★★)从一张长2002毫米,宽847毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能大的正方形,如果剩下的部分不是正方形,那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。
按照上面的过程不断的重复,最后剪得的正方形的边长是多少毫米?
【例8】
(★★★)一根木棍长100米,现从左往右每6米画一根标记线,从右往左每5米作一根标记线,请问所有的标记线中有多少根距离相差4米?
【例9】
(★★★)1、2、3、4„2008这2008个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积?
【例10】
(★★★★)有15位同学,每位同学都有编号,它们是1号到15号。
1号同学写了一个自然数,2号说:
“这个数能被2整除”,3号说“这个数能被3整除”,„„,依次下去,每位同学都说,这个数能被他的编号数整除,1号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学说得不对,其余同学都对,问:
(1)说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?
(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请求出这个数。
(写出解题过程)
4数论的综合题型
【例11】
(★★★★)某住宅区有12家住户,他们的门牌号分别是1,2,…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除,已知这些电话号码的首位数字都小于6,并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除,问:
这一家的电话号码是什么数?
【例12】
(写出解题过程)作业题
1.(★★)在1~100这100个自然数中,所有不能被9整除的数的和是多少?
2.(★★)某班学生不超过60人,在一次数学测验中,分数不低于90分的人数占7
1,得80~89分的人
数占
2
1,得70~79分得人数占
3
1,那么得70分以下的有________人。
3.(★★)自然数N是一个两位数,它是一个质数,而且N的个位数字与十位数字都是质数,这样的自然数有_______个。
4.(★★★)三个自然数,其中每一个数都不能被另外两个数整除,而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除,那么这样的三个自然数的和的最小值是多少?
5、(★★★)五个连续偶数之和是完全平方数,中间三个偶数之和是立方数(即一个整数的三次方),这样一组数中的最大数的最小值是多少?
6、(★★)一个数减去100是一个平方数,减去63也是一个平方数,问这个是多少?
7、(★★★)从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行.从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;
然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的同学留下,其余的同学出列;
留下的同学第三次从左向右1至1l报数,报到11的同学留下,其余同学出列.那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是______.8、(★★★)有1997个奇数,它们的和等于它们的乘积.其中只有三个数不是l,而是三个不同的质数.那么,这样的三个质数可以是、、.
【解】:
不妨设这4个数字分别是a>
b>
c>
d
那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数,因此b=0或5,注意到b>
d,所以b=5;
从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数;
所以c是偶数,c<b=5,c=4或2从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间,所以a=d+4;
因为a>
b,所以a至少是6,那么d最小是2,所以c就只能是4。
而如果d=2,那么abdc的末2位是24,它是4的倍数,和条件矛盾。
因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。
这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3所以这24个四位数中最大的一个是7543。
[思路]:
现在我们有两个入手的选择,可以选择数字和,也可以选择被11整除,但我们发现被11整除性质
的运用要具体的数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手
5位数数字和最大的为9×
5=45,这样43的可能性只有9,9,9,9,7或9,9,9,8,8。
这样我们接着用11的整除特征,发现符合条件的有99979,97999,98989符合条件。
各位数字和为1+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为14
为了使得该数最大,首位必须是8,第2位是7,14-8=6那么第3位一定是5,第5位为1该数最大为875413。
一个三位数,它由0,1,2,7,8组成,且它能被9整除,问满足条件的总共有几个?
【来源】:
06年理工附入学测试题
男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7,这样女生的范围在2/5~3/7之间,同理可得男生在4/7~3/5之间,这样把分数扩大,我们可得女生人数在28/70~30/70之间,所以只能是29人,这样男生为41人。
2质数与合数(分解质因数)
先分析1×
4×
×
10的积的末尾共有多少个0。
由于分解出2的个数比5多,这样我们可以得
出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。
而能分解出5的一定是5的倍数。
注意:
5的倍数能分解一个5,25的倍数分解出2个5,125的倍数能分解出3个5„„最终转化成计数问题,如5的倍数有[10/5]=2个。
2005=5×
401684=2×
171
375=3×
5前三个数里有2个质因子2,4个质因子5,要使得乘积的最后4位都是0
应该有4个质因子2和4个质因子5,还差2个质因子。
因此□里最小是4。
看见两个平方数,发现跟平方差相关,这样我们大胆的设03年的为A2,04年的为B2,从中我们发现04年的比03年多101人,这样我们可以列式子B2-A2=101此后思路要很顺,因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开,
所以B2-A2=(A+B)(A-B)=101,可见右边的数也要分成2个数的积,还得考虑同奇偶性,但101是个质数,所以101只能分成101×
1,这样A+B=101,A-B=1,所以A=50,B=51,所以04年的招生人数为51×
51=2601。
一个数加上10,减去10都是平方数,问这个数为多少?
(清华附中测试题)
5约数和倍数
边长是2002和847的最大公约数,可用辗转相除法求得(2002,847)=77所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。
辗转相除示例:
2002÷
847=2„308求2个数的最大公约数,就用大数除以小数
847÷
308=2„231用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止308÷
231=1„77用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止231÷
77=3最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数
100能被5整除,所以每5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。
这样我们都以从左往右作,可见转化成讨论5,6的最小公倍数中的情况,画图可得有2根距离为4米,所以30,60,90里各有2条,但发现最后96和100也是距离4米,所以总共2×
3+1=7。
在一根长木棍上,有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成十等份;
第二种将木棍分成十二等份;
第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断,那么木棍总共被锯成多少段?
最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数,这样我们发现除2以外都是奇数质因数,可见我们只要找需要多少个2,所以只要看1~2008中2ˇn谁最大,可见2ˇ10=1024,所以为10个2。
1)首先可以断定编号是2,3,4,5,6,7号的同学说的一定都对。
不然,其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对,这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。
因此,这个数能被2,3,4,5,6,7都整除。
其次利用整除性质可知,这个数也能被2×
5,3×
4,2×
7都整除,即编号为10,12,14的同学说的也对。
从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。
2)这个数是2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15的公倍数由于上述十二个数的最小公倍数是60060
因为60060是一个五位数,而十二个数的其他公倍数均不是五位数,所以1号同学写的数就是60060。
6数论的综合题型
设第一户电话号是x+1,第二户x+2,….第12户电话号x+12
根据条件得x+i是i的倍数(i=1,2,…,12)因此x是1,2,….12的公倍数[1,2,…..12]=27720所以x=27720m
27720m+9是13的倍数,27720除以13余数为4所以4m+9是13的倍数m=1,14,27….
第一家电话号码是27720m+1m取14合适;
因此第一家电话号码是27720*14+1=388081
写出连续的11个自然数,要求第1个是2的倍数,第二个是3的倍数„第11个是12的倍数?
作业题
(注:
作业题--例题类型对照表,供参考)
题1,4—类型1;
题2,6—类型3;
题3,5,8—类型2;
题7—类型21.(★★)在1~100这100个自然数中,所有不能被9整除的数的和是多少?
解:
1+2+„„+100=5050
9+18+27+„„+99=9×
(1+2+„„+11)=495
随意1-100中所有不能被9整除的数的和是5050-495=4555
解:
有7
1、
1,说明总人数一定为7的倍数、2的倍数、3的倍数,故为[7、2、3]=42的倍数;
又由于人数不超过60人,故这班的人数只能为42人。
从而70分以下的有:
42×
3121711=1人。
枚举法:
23,37,53,73,,有4个4.(★★★)三个自然数,其中每一个数都不能被另外两个数整除,而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除,那么这样的三个自然数的和的最小值是多少?
这三个自然数最小是6,10,15(分别是2×
3,2×
5,3×
5)和的最小值为31。
5、(★★★)五个连续偶数之和是完全平方数,中间三个偶数之和是立方数(即一个整数的三次方),这样一组数中的最大数的最小值是多少?
设中间一个数为2x那么5个数的和为10x=m^2中间3个数的和为6x=n^3设x=2^p×
3^q×
5^r
再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数,一个数是立方数等价于他的各个质因子的幂都是3的倍数可以求得p=5,q=2,r=3X=36000
因此所求为2x+4=720046、(★★)一个数减去100是一个平方数,减去63也是一个平方数,问这个是多少?
A2-B2=(A+B)(A-B)=37=37×
1,考虑同奇偶性,可知A=19,B=18,这样这个数为461。
留下的同学第三次从左向右1至1l报数,报到11的同学留下,其余同学出列.那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是______.【来源】北京市第七届“迎春杯”决赛第二题第4题
【解】第一次报数后留下的同学,他们最初编号都是11的倍数;
第二次报数后留下的同学,他们最初编号都是2
11=121的倍数;
第三次报数后留下的同学,他们最初编号都是3
11=1331的倍数.因此,第三次报数后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是1331.8、(★★★)有1997个奇数,它们的和等于它们的乘积.其中只有三个数不是l,而是三个不同的质数.那么,这样的三个质数可以是、、.【解】设a、b、c为三个不同的质数,根据题意1994+a+b+C=a·
b·
c.
取a=3,b=5,得1994+3+5+c=15c,解出c=143不是质数;
取a=3,b=7,得1994+3+7+c=21c,解出c=5501不是整数;
取a=5,b=7,得1994+5+7+c=35C,解出c=59.故5、7、59是满足题意的三个质数.