高考数学知识方法专题6立体几何与空间向量第27练 完美破解立体几何的证明问题.docx

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高考数学知识方法专题6立体几何与空间向量第27练完美破解立体几何的证明问题

第27练　完美破解立体几何的证明问题

[题型分析·高考展望]　立体几何证明题是高考必考题，证明平行、垂直关系是主要题型，特别是垂直关系尤为重要.掌握判定定理、性质定理并能灵活运用是解题的根本.学会分析推理的方法和证明技巧是提升推理能力的关键，在二轮复习中，通过专题训练，使解立体几何证明的能力更上一层楼，确保该类题型不失分.

体验高考

1.（2015·福建）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（　　）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案　B

解析　m垂直于平面α，当l⊂α时，也满足l⊥m，但直线l与平面α不平行，∴充分性不成立，反之，l∥α，一定有l⊥m，必要性成立.故选B.

2.（2016·山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.

3.（2016·课标全国甲）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.

（1）证明：

AC⊥HD′；

（2）若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′－ABCFE的体积.

（1）证明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得＝，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系，即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.

（2）解　由EF∥AC得＝＝.

由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4，

所以OH＝1，D′H＝DH＝3，

于是OD′2＋OH2＝

（2）2＋12＝9＝D′H2，

故OD′⊥OH.

由

（1）知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，

所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′，

又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.

又由＝得EF＝.

五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.

所以五棱锥D′－ABCFE的体积V＝××2＝.

4.（2016·四川）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.

（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

（2）证明：

平面PAB⊥平面PBD.

（1）解　取棱AD的中点M（M∈平面PAD），点M即为所求的一个点，理由如下：

因为AD∥BC，BC＝AD，

所以BC∥AM，且BC＝AM.

所以四边形AMCB是平行四边形，所以CM∥AB.

又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB.

所以CM∥平面PAB.

（说明：

取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点）

（2）证明　由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.

因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交，

所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.

因为AD∥BC，BC＝AD，M为AD的中点，连接BM，

所以BC∥MD，且BC＝MD.

所以四边形BCDM是平行四边形，

所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.

又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.

又BD⊂平面PBD，

所以平面PAB⊥平面PBD.

5.（2016·课标全国丙）如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.

（1）证明：

MN∥平面PAB；

（2）求四面体NBCM的体积.

（1）证明　由已知得AM＝AD＝2.

如图，取BP的中点T，连接AT，TN，

由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.

又AD∥BC，故TN綊AM，

所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.

因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，

所以MN∥平面PAB.

（2）解　因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，

所以N到平面ABCD的距离为PA.

如图，取BC的中点E，连接AE.

由AB＝AC＝3得

AE⊥BC，AE＝＝.

由AM∥BC得M到BC的距离为，

故S△BCM＝×4×＝2.

所以四面体NBCM的体积

VNBCM＝×S△BCM×＝.

高考必会题型

题型一　空间中的平行问题

例1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：

（1）直线EG∥平面BDD1B1；

（2）平面EFG∥平面BDD1B1.

证明　

（1）如图，连接SB，

∵E、G分别是BC、SC的中点，

∴EG∥SB.

又∵SB⊂平面BDD1B1，

EG⊄平面BDD1B1，

∴直线EG∥平面BDD1B1.

（2）连接SD，

∵F、G分别是DC、SC的中点，

∴FG∥SD.

又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，

∴FG∥平面BDD1B1，由

（1）知，

EG∥平面BDD1B1，

且EG⊂平面EFG，

FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD1B1.

点评　证明平行关系的方法

（1）证明线线平行的常用方法：

①利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；

②利用平行四边形进行转换；

③利用三角形中位线定理证明；

④利用线面平行、面面平行的性质定理证明.

（2）证明线面平行的常用方法：

①利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行；

②利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行.

（3）证明面面平行的方法：

证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行.

变式训练1　（2015·天津改编）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点.

求证：

（1）EF∥平面A1B1BA；

（2）平面AEA1⊥平面BCB1.

证明　

（1）如图，连接A1B，在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，

所以EF∥BA1.又因为EF⊄平面A1B1BA，BA1⊂平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.

（2）因为AB＝AC，E为BC中点，所以AE⊥BC，因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，又因为AE⊂平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1.

题型二　空间中的垂直问题

例2　如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点.

求证：

（1）AF∥平面BCE；

（2）平面BCE⊥平面CDE.

证明　

（1）如图，取CE的中点G，连接FG，BG.

∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝DE.

∵AB⊥平面ACD，

DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，∴GF∥AB.

又AB＝DE，∴GF＝AB.

∴四边形GFAB为平行四边形，

∴AF∥BG.

∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，

∴AF∥平面BCE.

（2）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，

∴AF⊥CD.

∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.

又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.

∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.

∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.

点评　

（1）证明线面垂直的常用方法：

①利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；

②利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直；

③利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

（2）证明面面垂直的方法：

证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线来解决.

变式训练2　（2016·北京）如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.

（1）求证：

DC⊥平面PAC；

（2）求证：

平面PAB⊥平面PAC；

（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？

说明理由.

（1）证明　∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，

∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴DC⊥平面PAC.

（2）证明　∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，

∴AB⊥平面PAC，又∵AB⊂平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAC.

（3）解　棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.

证明如下：

取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又∵E为AB的中点，∴EF为△PAB的中位线，∴EF∥PA.又PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF.

题型三　空间中的平行、垂直综合问题

例3　（2015·山东）如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.

（1）求证：

BD∥平面FGH；

（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：

平面BCD⊥平面EGH.

证明　

（1）方法一　如图，连接DG，设CD∩GF＝M，连接MH.

在三棱台DEF－ABC中，

AB＝2DE，G为AC的中点，

可得DF∥GC，DF＝GC，

所以四边形DFCG为平行四边形.

则M为CD的中点，

又H为BC的中点，

所以HM∥BD，又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，

所以BD∥平面FGH.

方法二　在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，

可得BH∥EF，BH＝EF，

所以四边形HBEF为平行四边形，

可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，

H为BC的中点，所以GH∥AB.

又GH∩HF＝H，AB∩BE＝B，

所以平面FGH∥平面ABED.

又因为BD⊂平面ABED，

所以BD∥平面FGH.

（2）连接HE，

因为G，H分别为AC，BC的中点，

所以GH∥AB.

由AB⊥BC，得GH⊥BC.

又H为BC的中点，

所以EF∥HC，EF＝HC，

因此四边形EFCH是平行四边形，

所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.

又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，

所以BC⊥平面EGH.

又BC⊂平面BCD，

所以平面BCD⊥平面EGH.

点评　

（1）立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂直于面，再用线垂直于面的性质易得线垂直于线.要证线平行于面，只需先证线平行于线，再用线平行于面的判定定理易得.

（2）证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用.

（3）平行关系往往用到三角形的中位线，垂直关系往往用到三角形的高线、中线.

变式训练3　（2015·北京）如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点.

（1）求证：

VB∥平面MOC；

（2）求证：

平面MOC⊥平面VAB；

（3）求三棱锥V－ABC的体积.

（1）证明　因为O，M分别为AB，VA的中点，

所以OM∥VB，又因为VB⊄平面MOC，

所以VB∥平面MOC.