高考数学同步专题突破及解析 40Word文档下载推荐.docx
《高考数学同步专题突破及解析 40Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学同步专题突破及解析 40Word文档下载推荐.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
AC·
sinA＝2；
当C＝120°
时，A＝30°
sinA＝.
∴△ABC的面积是2或.
反思感悟 利用正弦定理解决“已知两边及其中一边对角，求另一角”问题时，由于三角形内角的正弦值都为正的，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准确出错．
跟踪训练2 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，则B＝________.
答案 或π
解析 由正弦定理，得sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB.
∵0＜B＜π，∴sinB≠0.
∴sinAcosC＋cosAsinC＝，
sin（A＋C）＝，sin（π－B）＝.sinB＝.
又B∈（0，π），∴B＝或B＝π.
例3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.＝，试判断三角形的形状．
解 由＝和正弦定理，得＝，
又A，B∈（0，π），
∴＝，即sinAcosA＝sinBcosB，
即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π.
∴A＝B或A＋B＝.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
反思感悟 在△ABC中，sinA＝sinB⇔A＝B是成立的，但sin2A＝sin2B⇔2A＝2B或2A＋2B＝180°
跟踪训练3 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c－a＝2acosB，则B－2A＝____.
答案 0
解析 由正弦定理，得sinC－sinA＝2sinAcosB.
∵A＋B＋C＝π，∴C＝π－（A＋B），
∴sinC－sinA＝sin（A＋B）－sinA
＝sinAcosB＋cosAsinB－sinA
＝2sinAcosB，
∴sinBcosA－cosBsinA＝sinA，sin（B－A）＝sinA.
∵A，B∈（0，π）．∴B－A＝A或B－A＝π－A（舍）．
∴B－2A＝0.
例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.B＝3A，求的取值范围．
解 由正弦定理得＝＝
＝＝
＝cos2A＋2cos2A＝4cos2A－1.
∵A＋B＋C＝180°
，B＝3A，∴A＋B＝4A<
180°
∴0°
<
A<
45°
，∴<
cosA<
1，
∴1<
4cos2A－1<
3，∴1<
3.
反思感悟 解三角形问题，角的取值范围至关重要．一些问题，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败．
跟踪训练4 若在锐角△ABC中，B＝2A，则A的取值范围是________．
答案
解析 由△ABC为锐角三角形，
得
解得＜A＜.
例5 设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsinA.
（1）求B的大小；
（2）求cosA＋sinC的取值范围．
解
（1）由正弦定理及a＝2bsinA得，
＝＝2b，sinB＝，
又∵B∈，∴B＝.
（2）由△ABC为锐角三角形，得
解得＜A＜，
cosA＋sinC＝cosA＋sin＝sin，
∵＜A＋＜.∴＜sin＜，
∴＜sin＜.
∴cosA＋sinC的取值范围为.
反思感悟 事实上，锐角三角形三个内角均为锐角对角A的范围都有影响，故C＝π－A－B＝π－A∈.由此得A∈.
跟踪训练5 锐角△ABC中，B＝60°
，b＝，求△ABC面积S的取值范围．
解 由正弦定理，a＝sinA＝sinA＝2sinA.
同理c＝2sinC，
∴S＝acsinB＝·
2sinA·
2sinC·
sin60°
＝sinAsinC，
∵A＋B＋C＝π，∴C＝π－A－B＝－A.
又∵A，C为锐角，∴0<
－A<
，<
∴S＝sinAsin＝sinA＝sinAcosA＋sin2A＝sin2A＋·
＝sin＋，
∵<
2A－<
π，
∴<
sin≤1，
sin＋≤.
即S的取值范围为.
1．在△ABC中，必有（ ）
A．sinA＋sinB＜0B．sinA＋cosB＜0
C．sinA＋cosB＞0D．cosA＋cosB＞0
答案 D
解析 在△ABC中，A＋B＜π，0＜A＜π－B＜π.
∴cosA＞cos（π－B）＝－cosB.
∴cosA＋cosB＞0.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c<
bcosA，则△ABC为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
答案 A
解析 由已知得sinC<
sinBcosA，
∴sin（A＋B）<
∴sinA·
cosB＋cosA·
sinB<
sinB·
cosA，
又sinA>
0，∴cosB<
0，∴B为钝角，
故△ABC为钝角三角形．
3．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，则cosC＝________.
解析 若A为钝角，由sinA＝＜，知A＞.
又由cosB＝＜.知B＞.
从而A＋B＞π.与A＋B＋C＝π矛盾．
∴A为锐角，cosA＝.
由cosB＝，得sinB＝.
∴cosC＝－cos（A＋B）
＝－（cosAcosB－sinAsinB）
＝－＝.
4．在△ABC中，C＝120°
，c＝a，则a与b的大小关系是a________b.
答案 ＞
解析 方法一 由余弦定理cosC＝，
得cos120°
＝，
整理得a2＝b2＋ab＞b2，∴a＞b.
方法二 由正弦定理＝，得＝，
整理得sinA＝＞＝sin30°
∵C＝120°
，∴A＋B＝60°
，∴A＞30°
，B＜30°
，∴a＞b.
5．在△ABC中，若b2＝ac，则的取值范围是________．
解析 设＝q，则由b2＝ac，得＝＝q.
∴b＝aq，c＝aq2.
由得
解得＜q＜.
6．在钝角△ABC中，2B＝A＋C，C为钝角，＝m，则m的取值范围是________．
答案 （2，＋∞）
解析 由A＋B＋C＝3B＝π，知B＝.
又C＞，∴0＜A＜，∴∈（，＋∞）．
＝＝＝
＝＋＞＋·
＝2，
∴m∈（2，＋∞）．
7．在△ABC中，若c＝，C＝，求a－b的取值范围．
解 ∵C＝，∴A＋B＝π，
∴外接圆直径2R＝＝＝2.
∴a－b＝2RsinA－·
2RsinB＝2sinA－sinB
＝2sinA－sin＝sin.
∵0＜A＜π，∴－＜A－＜，
∴－＜sin＜1.－1＜sin＜.
即a－b∈（－1，）．
一、选择题
1．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为（ ）
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
答案 B
解析 设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cosθ，解得cosθ＝，∵θ∈（0°
，180°
），
∴θ＝60°
.则最大角与最小角的和为180°
－60°
＝120°
2．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C等于（ ）
A.或B.
C.D.
答案 C
解析 由＝，得sinC＝.
∵BC＝3，AB＝，∴A>
C，则C为锐角，故C＝.
3．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°
，则cosB等于（ ）
A．±
B.
C．－D.
解析 因为＝，所以＝，
解得sinB＝.
因为b>
a，所以B>
A，故B有两解，所以cosB＝±
4．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶（k＋1）∶2k，则k的取值范围是（ ）
A．（2，＋∞）B．（－∞，0）
解析 由正弦定理得a＝mk，b＝m（k＋1），c＝2mk（m>
0），
∵即∴k>
5．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为（ ）
A.B.
解析 ∵三边不等，∴最大角大于60°
.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2，∵sinα＝，∴α＝120°
由余弦定理得（a＋2）2＝（a－2）2＋a2＋a（a－2），
即a2＝5a，故a＝5，
故三边长为3，5，7，S△ABC＝×
3×
5×
sin120°
＝.
6．△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lg且B∈，则△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形
解析 ∵lga－lgc＝lgsinB＝－lg，
∴＝sinB，sinB＝.
∵B∈，∴B＝.
∴＝＝，∴sinC＝sinA＝sin＝，∴cosC＝0，∵C∈（0，π），C＝.
∴A＝π－B－C＝.∴△ABC是等腰直角三角形．故选C.
7．（2017·
全国Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA（sinC－cosC）＝0，a＝2，c＝，则C等于（ ）
解析 因为a＝2，c＝，
所以由正弦定理可知，＝，
故sinA＝sinC.
又B＝π－（A＋C），
故sinB＋sinA（sinC－cosC）
＝sin（A＋C）＋sinAsinC－sinAcosC
＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC
＝（sinA＋cosA）sinC＝0.
又C为△ABC的内角，故sinC≠0，
则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.
又A∈（0，π），所以A＝.
从而sinC＝sinA＝×
由A＝知，C为锐角，故C＝.故选B.
二、填空题
8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.
答案 1
解析 因为sinB＝且B∈（0，π），所以B＝或.
又因为C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.
又因为a＝，由正弦定理得＝，
即＝，解得b＝1.
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
解析 ∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，
∴由正弦定理得
sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.
又sinBsinC＞0，∴sinA＝.
由余弦定理得cosA＝＝＝＞0，
∴cosA＝，bc＝＝，
∴S△ABC＝bcsinA＝×
×
10．若△ABC的面积为（a2＋c2－b2），且C为钝角，则B＝________；
的取值范围是________．
答案 （2，＋∞）
解析 由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accosB.
∵S＝（a2＋c2－b2），∴acsinB＝×
2accosB，
∴tanB＝，又B∈（0，π），∴B＝.
又∵C为钝角，∴C＝－A＞，∴0＜A＜.
由正弦定理得＝
＝＝＋·
∵0＜tanA＜，∴＞，
∴＞＋×
＝2，即＞2.
∴的取值范围是（2，＋∞）．
三、解答题
11．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，c＝，求△ABC周长的取值范围．
解 由正弦定理得＝＝＝2，
∴a＝2sinA，b＝2sinB，
则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2（sinA＋sinB）＋＝2＋
＝2＋
＝2sin＋.
∵0<
B＝－A<
，∴0<
A＋<
∴2<
2sin＋≤2＋，
∴△ABC周长的取值范围是（2，2＋]．
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos.
（1）求角B的大小；
（2）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A－B）的值．
解
（1）在△ABC中，由正弦定理＝，可得
bsinA＝asinB.
又由bsinA＝acos，得asinB＝acos，
即sinB＝cos，所以tanB＝.
又因为B∈（0，π），所以B＝.
（2）在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝.
由bsinA＝acos，可得sinA＝.
因为a＜c，所以cosA＝.
因此sin2A＝2sinAcosA＝，
cos2A＝2cos2A－1＝.
所以sin（2A－B）＝sin2AcosB－cos2AsinB
＝×
－×
13.（2018·
河北省衡水中学调研）如图，在△ABC中，B＝，D为边BC上的点，E为AD上的点，且AE＝8，AC＝4，∠CED＝.
（1）求CE的长；
（2）若CD＝5，求cos∠DAB的值．
解
（1）由题意可得∠AEC＝π－＝，
在△AEC中，由余弦定理得
AC2＝AE2＋CE2－2AE·
CEcos∠AEC，
所以160＝64＋CE2＋8CE，
整理得CE2＋8CE－96＝0，解得CE＝4.
故CE的长为4.
（2）在△CDE中，由正弦定理得＝，
即＝，
所以5sin∠CDE＝4sin＝4×
＝4，
所以sin∠CDE＝.
因为点D在边BC上，所以∠CDE>
B＝，
而<
，所以∠CDE只能为钝角，
所以cos∠CDE＝－，
所以cos∠DAB＝cos＝cos∠CDEcos＋sin∠CDEsin＝－×
＋×
14．（2018·
福建省三明市第一中学月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝，则角C等于（ ）
A.B.或
解析 在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝，即＝，
∴b2＋c2－a2＝bc，又b2＝a2＋bc，
∴c2＋bc＝bc，∴c＝（－1）b<
b，a＝b，
∴cosC＝＝，
∵C∈（0，π），∴C＝，故选D.
15．锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a－b）（sinA＋sinB）＝（c－b）sinC，若a＝，则b2＋c2的取值范围是（ ）
A．（3,6]B．（3,5）
C．（5,6]D．[5,6]
解析 因为（a－b）（sinA＋sinB）＝（c－b）sinC，由正弦定理得（a－b）（a＋b）＝（c－b）c，
即b2＋c2－a2＝bc，
∴cosA＝＝＝，
∵A∈，∴A＝，∴B＋C＝，
又△ABC为锐角三角形，∴
B<
，由正弦定理＝＝＝＝2，
得b＝2sinB，c＝2sinC，∴b2＋c2＝4＝4＝4－2cos，又<
，可得b2＋c2∈（5,6]．
升级会员 