初中数学平面几何题20道学习辅助线的添加Word文档格式.docx
《初中数学平面几何题20道学习辅助线的添加Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学平面几何题20道学习辅助线的添加Word文档格式.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
AC/AB=MP'
由三角形MP'
P相似三角形ANP得：
MP'
/AN=MP/PN
而AN=AM
/AM=MP/PN
AC/AB=MP/PN
1题图
2题图
2、在三角形BCD中,BC=BD,延长BC至A,延长BD至E,使AC=BE,连接AD,AE,AD=AE,求BCD为等边
过点A作CD的平行线交BE的延长线于F点。
则∠BDC=∠F=∠BCD=∠A，即∠A=∠F.
又因为：
四边形AFDC是梯形
AC=DF=FE+DE
而AC=BD+DE
BD=FE
AD=AE,∠BDA=∠FEA
三角形ABD和三角形AFE全等
∠B=∠F
∠B=∠BCD=∠BDC=60°
三角形BCD是等边三角形。
3、三角形ABC中若圆O在变化过程中都落在三角形ABC内（含相切）,A为60度,AC为8,AB为10,X为未知数,是AE的长.圆O与AB,AC相切,圆O与AB的切点为E,X的范围是？
解：
如图，当元O与三角形ABC三条边都相切时，x的值最大。
此时：
过B作BD垂直AC,则可求得BD=5（√3）,DC=3
根据勾股定理求得BC=2（√21）
设元O与边AB,BC,CA的切点分别为E,F,G,且AE=x,BE=y,CF=z,则有方程组：
x+y=10,x+z=8,y+z=2（√21）,
解这个方程组得：
x=9-（√21）
因此：
x的范围是（0，9-√21]
4、已知三角形ABE中C、D分别为AB、BE上的点，且AD=AE，三角形BCD为等边三角形，求证BC+DE=AC
证明:
过D点作BE的垂线DF,交AB于F点，过A点作BE的垂线AH,H是垂足，再过F点作AH的垂线FG,G是垂足。
则：
四边形DHGF是矩形，有FG=DH.
而由△ADE是等腰三角形得知DH=HE,
FG=（1/2）DE.
又由于角B=60°
，
∠BAH=30°
FG=（1/2）AF
AF=DE
而在直角△BDF中，由于∠B=∠BDC=60°
∠CDF=∠CFD=30°
CF=CD=BC
BC+DE=CF+AF
即：
BC+DE=AC
5、已知在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC与F,求证AF=EF
如图，连接EC,取EC的中点G,AE的中点H，连接DG,HG
GH=DG
角1=∠2，
而∠1=∠4，∠2=∠3=∠5
所以；
∠4=∠5
AF=EF.
6、在△ABC中，D是BC边中点，O是AD上一点，BO,CO的延长线分别交AC,AB于E,F
求证：
EF平行BC。
分别过B,C两点作AD的平行线分别交CF,BE的延长线于M,N两点。
四边形MBCN是平行四边形。
由MB‖AO‖CN,得：
OF/FM=OA/BM,OE/EN=OA/CN.（相似三角形对应边成比例）
而BM=CN
OF/FM=OE/EN
MN‖EF
而MN‖BC
EF‖BC.
7、已知：
在△ABC和△A'
B'
C'
中，AB=A'
AC=A'
.AD，A'
D'
分别是△ABC和△A'
的中线，且AD=A'
.
△ABC≌△A'
分别过B,B'
点作BE‖AC,B'
E'
‖A'
.交AD,A'
的延长线于E,E'
点。
△ADC≌△EDB,△A'
≌△E'
AC=EB,A'
=E'
；
AD=DE,A'
=D'
BE=B'
AE=A'
△ABE≌△A'
角E=∠E'
角BAD=角B'
角BAC=角B'
8、四边形ABCD为菱形，E,F为AB,BC的中点，EP⊥CD，∠BAD＝110º
，求∠FPC的度数
连接BD,交AC于O点，过A作CD的垂线，垂足为G,过O作BC的平行线交CD于H.
因为：
角DAB=110°
，∠GAB=90°
∠DAG=20°
。
由∠AOD=∠AGD=90°
知AOGD四点共元，所以∠DOG=∠DAG=20°
由OH‖BC‖AD知：
∠HOC=∠DAC=（1/2）∠BAD=55°
∠GOH=90°
-20°
-55°
=15°
而：
∠OHG=∠BCD=110°
∠OGH=180°
-15°
-110°
=55°
由于：
不难证明∠FPC=∠OGH（过程略）
∠FPC=55°
9、已知：
E是正方形ABCD内的一点，且∠DAE=∠ADE=15°
△EBC是等边三角形
过E点作AB的平行线EP,交BC于P点，交AD于Q点，以D为角顶点，DA为角的一边，向正方形ABCD内作∠ADF=30°
，角的一边交EP于F点。
设DQ=√3，则：
FQ=1,DF=2,AD=2√3，PC=PB=AQ=√3,
由角平分线定理得：
QE/EF=QD/DF,
QE/（1-QE）=（√3）/2
解得：
QE=2（√3）-3
PE=PQ-QE=2（√3）-[2（√3）-3]=3
在△EPC中由勾股定理得：
EC=√（PE²
+PC²
）=2√3
BE=CE
所以:
BC=BE=CE=2√3
△EBC是等边三角形。
10、在三角形ABC中,经过BC的中点M,有垂直相交于M的两条直线,它们与AB,AC分别交于D、E，求证，BD+CE＞DE
如图，延长EM到E'
使E'
M=ME,则：
DE=DE'
由△BE'
M≌△CEM得：
CE=BE'
在△BE'
D中，有BD+BE'
>
DE'
等量代换得：
BD+CE>
DE
11、AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN把△MCN翻折，使点C落在AB上设其落点
（1）.如图一，当是AB的中点时，求证：
PA/PB=CM/CN
（2）.如图二当P不是AB中点时，结论PA/PB=CM/CN是否成立？
若成立，请给出证明
（1）、证明：
因为P是AB中点，
AP/PB=1,
P点是C点沿直线MN折叠的落点，
MN垂直平分PC,
CM=MP,
由AP=BP得∠ACP=∠BCP=45°
CM=MN
CM/CN=1
（2）、结论仍然成立。
过P点分别作AC,BC的垂线PE,PD.E,D是垂足。
过C作CF垂直AB,F是垂足。
S△APC=（1/2）AC*PE=（1/2）AP*CF
S△BPC=（1/2）BC*PD=（1/2）BP*CF
而AC=BC
PE/PD=AP/BP
由∠MCN=∠MPN=90°
知MCNP四点共元
∠PME=∠PND
RT△PEM∽RT△PDN
PE/PD=PM/PN
而PM=MC,PN=NC
PE/PD=MC/NC
AP/BP=MC/NC
12、三角形ABC中，BC=5，M和I分别是三角形ABC的重心和内心，若MI平行于BC,则AB+AC的值是多少？
设内心到三边的距离为r，BC边上的高为AE=h,
如图。
因为MI‖BC,AM=2MD
h=3r
S△ABC=（1/2）BC*h=（5/2）h=（15/2）r
S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACE=（1/2））r（AB+AC+5）
（15/2）r=（1/2））r（AB+AC+5）
AB+AC=10
13、已知圆O是三角形ABC的外接圆CD是AB边上的高，AE是圆O的直径。
AC*BC=AE*CD
以E为圆心，以BC长为半径画弧交元O于F点。
连接EF,FA.则：
EF=BC,∠AFE=90°
∠EAF=∠DAC（弦相等，弦所对的圆周角相等）
RT△ADC∽RT△EFA
AC/AE=CD/EF即AC*EF=AE*CD
EF=BC
14、已知：
D.E位△ABC内的两点
AB+AC>
BD+DE+EC
设直线DE交AB于F,交AC于G,则：
在△AFG中，有AF+AG>
FD+DE+EG
在△BFD中，有BF+FD>
BD
在△EGC中，有EG+GC>
EC
三个不等式两边相加得AF+AG+BF+FD+EG+GC>
FD+DE+EG+BD+EC
DE+BD+EC
15、在三角形ABC中,BD,CE是边AC,AB上的中点,BD与CE相交于点O,BO与OD的长度有什么关系?
BC边上的中线是否一定过点O？
为什么？
答：
BO=2DO,BC边上的中线过O点。
连接AO,设M,N分别是BO,CO的中点，连接EM,DN,则：
EM平行并等于AO的一半，DN平行并等于AO的一半
EM平行并等于DN
四边形EMND是平行四边形
MO=OD
BM=MO=OD
BO=2DO
延长AO交BC于G,延长DN交BC于H,延长EM交BC于Q,则：
由AG‖EQ‖DH,BM=MO=OD得知BQ=QG=GH=HC
BG=GC
BC边上的中线过O点。
16、在△ABC中，AB,BE是△ABC的高，交于点H，边BC,AC的垂直平分线FO,GO相交于点O
OF=1/2AH,OG=1/2BH
连接CO并延长交△ABC的外接圆于M点。
OC是元的直径。
OF=（1/2）BM,
∠MBC=∠MAC=∠ADB=∠BEA=90°
BM‖AD,AM‖BE
四边形MBHA是平行四边形
BM=AH
OF=（1/2）AH.
同理可证：
OG=（1/2）BH.
17、三角形中线分别为91215求三角形面积
过F点作AE的平行线，交DC于H点，
FH=（1/2）AM=5,MH=3,（三角形中位线定理，三中线交点分中线性质）
MF=4
三角形FMH是直角三角形，即BM⊥DC.
S△BCD=（1/2）*9*8=36,
S△ADC=S△BCD=36（同高等底的两个三角形面积相等）
S△ABC=72
18、在△ABC中∠A=90°
，AD⊥BC于D，M是AD的中点，延长BM交AC于E，过E作EF⊥BC于F。
EF²
=AE*CE
如图，延长BA,FE交于N.
AD‖FN
AM/NE=BM/BE,MD/EF=BM/BE
AM/NE=MD/EF
AM=DM
NE=EF
角NAC=∠NFC=90°
AFCN四点共圆
AE*EC=EF*EN
EF^2=AE*EC
19、已知E为平行四边形ABCD的边BC上的任一点，DE延长线交AB延长线与F，求证S△ABE=S△CEF。
分别过C,E两点作AB的垂线CH,EG,H,G是垂足。
设BE=m,EC=n
由△BFE∽△CDE得：
BF/CD=m/n.即BF/（BF+CD）=m/（m+n）
也就是BF/AF=m/（m+n）（因为AB=CD，有AF=BF+CD）
由RT△BEG∽RT△BCH得：
HC/GE=（m+n）/m
（BF/CD）*（HC/GE）=1
S△AFE=（1/2）AF*GE
S△BFC=（1/2）BF*CH
S△BFC/S△AFE=BF*HC/AF*GE=1
S△BFC=S△AFE
两边同时减去S△BFE得：
S△ABE=S△CEF。
20、等腰直角三角形，角A为90°
，D，E两点为斜边上的动点，角DAE=45°
，当D合B重合或E和C重合时，线段DE的长度等于BD+EC
当不重合时，DE<
BD+CE.
不重合时。
以A点为顶点，AC为一边向△ABC的外侧作∠CAB'
，使∠CAB'
=∠DAB.截取AB'
=AD.
AC=AB.
△CAB'
≌△BAD
C=DB
因为:
∠BAC=90°
，∠DAE=45°
∠BAD+∠CAE=45°
∠B'
AE=∠B'
AC+∠CAE=45°
=∠EAD.
又AD=AB'
AE=AE
△B'
AE≌△DAE
DE=EB'
在△ECB'
中，有EB'
<
EC+CB'
而EB'
=DE,CB'
=BD
DE<
CE+BD
重合时，证明（略）
200首选上海丞贸!
EPShanghai上海国际电力电工展上海芯银实业专业代理销售日本KUZE不锈钢BA管和EP管x
升级会员 