最新考研高等数学模拟训练考题含答案解析.docx

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最新考研高等数学模拟训练考题含答案解析

2019最新考研数学模拟试题（含答案）

学校：

__________姓名：

__________班级：

__________考号：

__________

题号

一

总分

得分

一、解答题

1．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数：

（1）；

（2）；

解：

（1）由知，当|x|=<1时，原级数收敛，而当|x|=1时，的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为（-1,1）．

记易知的收敛域为（-1,1），记

则

于是，所以

（2）由知，原级数当|x|<1时收敛，而当|x|=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为（-1,1），记，易知级数收敛域为（-1,1），记，则，

故即，，所以

2．计算下列向量场的散度与旋度：

（1）；

解：

（2）；

解：

（3）.

解：

，

3．试证:

方程只有一个实根.

证明:

设，则为严格单调减少的函数，因此至多只有一个实根.而，即为的一个实根，故只有一个实根，也就是只有一个实根.

4．设a为非零常数，b为正常数，求y=ax2+bx在以0和为端点的闭区间上的最大值和最小值.

解：

得不可能属于以0和为端点的闭区间上,

而,

故当a>0时，函数的最大值为，最小值为;

当a<0时，函数的最大值为，最小值为.

5．在半径为r的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.

解：

设圆柱体的高为h,则圆柱体底圆半径为，

令,得

即圆柱体的高为时，其体积为最大.

6．判定下列曲线的凹凸性：

（1）y=4x－x2；

解：

，故知曲线在内的图形是凸的.

（2）；

解：

由sinhx的图形知，当时，，当时，，

故y=sinhx的曲线图形在内是凸的，在内是凹的.

；

解：

，故曲线图形在是凹的.

（4）y=xarctanx.

解：

，

故曲线图形在内是凹的.

7．用定积分的几何意义求下列积分值:

；

解:

由几何意义可知,该定积分的值等于由x轴、直线x=1、y=2x所围成的三角形的面积，故原式=1.

.

解：

由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R的圆在第一象限内的面积，故原式=.

8．证明下列不等式：

；

证明：

当时，即

由积分的保序性知：

即

（2）

证明：

当时，

由积分的保序性知：

即

9．求由方程所确定的隐函数的导数.

解：

方程两边对x求导，有

又

故.

10．设星形线的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a>0求

d）星形线所围面积；

e）绕x轴旋转所得旋转体的体积；

f）星形线的全长．

解：

（1）

．

（2）

（3）xt′=3acos2tsint

yt′=3asin2tcost

xt′2+yt′2=9a2sin2tcos2t，利用曲线的对称性，

．

11．求正弦交流电经过半波整流后得到电流

的平均值和有效值。

解：

有效值

故有效值为.

12．求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率：

（1）y=ax+b；（其中a，b∈R，a≠0）

解：

y′=a即为边际函数.

弹性为：

增长率为：

.

（2）y=aebx；

解：

边际函数为：

y′=abebx

弹性为：

增长率为：

.

（3）y=xa

解：

边际函数为：

y′=axa－1.

弹性为：

增长率为：

13．某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%（每年），若打算10年后攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？

解：

设每年以均匀流方式存入x万元，则

5=

即5=20x（e0.51）

≈0.385386万元=3853.86元．

习题六

14．一动点沿抛物线y=x2运动，它沿x轴方向的分速度为3cm·s-1，求动点在点（2，4）时，沿y轴的分速度.

解：

当x=2时，（cm·s－1）.

15．将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间：

（1）f（x）=ln（2+x）；

（2）f（x）=cos2x；

（3）f（x）=（1+x）ln（1+x）；（4）；

（5）；（6）；

解：

（1）

由于，（-1

故，（-2≤x≤2）

因此，（-2≤x≤2）

（2）

由，（-∞

得

所以

，（-∞

（3）f（x）=（1+x）ln（1+x）

由，（-1≤x≤1）

所以

（-1≤x≤1）

（4）

由于（-1≤x≤1）

故

（-1≤x≤1）

（5）

（6）由，x∈（-∞,+∞）

得，x∈（-∞,+∞）

所以

16．将函数展开成x的幂级数．

解：

由于

所以（|x|≤1）

17．写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f（x）在[-π,π）上的表达式为：

（1）

（2）；

（3）

（4）.

解：

（1）函数f（x）满足狄利克雷定理的条件，x=nπ，n∈z是其间断点，在间断占处f（x）的傅里叶级数收敛于

，在x≠nπ，有

于是f（x）的傅里叶级数展开式为

（x≠nπ）

（2）函数f（x）在（-∞,+∞）上连续，故其傅里叶级数在（-∞,+∞）上收敛于f（x），注意到f（x）为偶函数，从而f（x）cosnx为偶函数，f（x）sinnx为奇函数，于是

，，

（n=1,2,…）

所以，f（x）的傅里叶级数展开式为：

（-∞

（3）函数在x=（2n+1）π（n∈z）处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x≠（2n+1）π时，由f（x）为奇函数，有an=0,（n=0,1,2,…）

所以

（x≠（2n+1）π,n∈z）

（4）因为作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f（x），注意到f（x）为偶函数，有bn=0（n=1,2,…），

所以f（x）的傅里叶级数展开式为：

x∈[-π,π]

18．将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为：

（1）f（x）=1-x2；

（2）

解：

（1）f（x）在（-∞,+∞）上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于f（x），由于f（x）为偶函数，有bn=0（n=1,2,3,…）

，

所以

（-∞

（2），

而函数f（x）在x=3（2k+1），k=0,±1,±2,…处间断，故（x≠3（2k+1），k=0,±1,±2,…）

19．求矩形脉冲函数的傅氏变换

解：

20．计算下列对坐标的曲线积分：

（1），其中L是抛物线y=x2上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧；

（2）其中L为圆周（x-a）2+y2=a2（a>0）及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；

（3），其中L为圆周x=Rcost，y=Rsint上对应t从0到的一段弧；

（4），其中L为圆周x2+y2=a2（按逆时针方向绕行）；

（5），其中Γ为曲线x=kθ，y=acosθ，z=asinθ上对应θ从0到π的一段弧；

（6），其中Γ是从点（3,2,1）到点（0,0,0）的一段直线；

（7），其中Γ为有向闭拆线ABCA，这里A，B，C依次为点（1,0,0），（0,1,0），（0,0,1）；

（8），其中L是抛物线y=x2上从点（-1,1）到点（1,1）的段弧．

解：

（1）L：

y=x2，x从0变到2，

（2）如图11-1所示，L=L1+L2．其中L1的参数方程为

图11-1

L2的方程为y=0（0≤x≤2a）

故

（3）

（4）圆周的参数方程为：

x=acost，y=asint，t:

0→2π．

故

（5）

（6）直线Γ的参数方程是t从1→0．

故

（7）（如图11-2所示）

图11-2

，x从0→1

．

，z从0→1

，x从0→1

．

故

（8）

21．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：

（1）星形线x=acos3t，y=asin3t2ex2；

（2）双纽线r2=a22cos2θ；

（3）圆x2+y2=2ax．

解：

（1）

（2）利用极坐标与直角坐标的关系x=rcosθ，y=rsinθ得

，

从而xdy-ydx=a2cos2θdθ．

于是面积为：

（3）圆x2+y2=2ax的参数方程为

故

22．证明：

在整个xOy平面内除y轴的负半轴及原点外的开区域G内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．

证：

，，显然G是单连通的，P和Q在G内具有一阶连续偏导数，并且．

，（x,y）∈G

因此在开区域G内是某个二元函数u（x,y）的全微分．

由

知．

23．求下列微分方程的通解：

;

解：

特征方程为

解得

故原方程通解为

;

解：

特征方程为

解得

故原方程通解为

;

解：

特征方程为

解得

故原方程通解为.

;

解：

特征方程为

解得

故原方程通解为.

;

解：

特征方程为

解得

故原方程通解为

.

解：

特征方程为

解得

故原方程通解为.

24．求下列函数在所示点的导数：

（1），在点；

解：

（2），在点；

解：

（3），在点；

解：

（4）在点.

解：

25．设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为

C′（x）=x2－14x+111，R′（x）=100－2x．

试求最大利润．

解：

设利润函数L（x）．

则L（x）=R（x）－C（x）－50

由于L′（x）=R′（x）－C（x）=（100－2x）－（x2－14x+111）=－x2+12x－11

令L′（x）=0得x=1，x=11．

又当x=1时，L″（x）=－2x+12>0．当x=11时L″（x）<0，故当x=11时利润取得最大值．且最大利润为

L（11）=

26．利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解：

解：

设，则原方程化为

令

代回并整理得

.

解：

作变量替换，令

原方程化为

令,则得

分离变量，得

积分得

即

代回并整理得

;

解：

作变量替换则

原方程化为

代回并整理得

.

解：

令则

原方程可化为

分离变量，得

积分得

故原方程通解为

27．指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形：

（1）y=0;

（2）3x-1=0;

（3）2x-3y-6=0;（4）x–y=0;

（5）2x-3y+4z=0.

解：

（1）y=0表示xOz坐标面（如图7-2）

（2）3x-1=0表示垂直于x轴的平面.（如图7-3）

图7-2图7-3

（3）2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y=-2的平面.（如图7-4）

（4）x–y=0表示过z轴的平面（如图7-5）

（5）2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）.

图7-4图7-5图7-6

28．求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的单位向量.

解：

n1={3,-1,7},n2={1,-1,2}.

故

则

29．建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.

解：

球的半径为

设（x,y,z）为球面上任一点，则（x-1）2+（y-3）2+（z+2）2=14

即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程.

30．指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：

（1）;

（2）;

（3）;（4）;

（5）.

解：