高二T同步数列求和方法4星.docx

高二T同步数列求和方法4星.docx

《高二T同步数列求和方法4星.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二T同步数列求和方法4星.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高二T同步数列求和方法4星

同步：

数列的前项和求法（★★★★）

教学目标

1、理解数列的概念，了解数列通项公式求法，了解递推公式，掌握数列求和的几种方法

2、理解与的关系，培养观察能力和化归能力．

知识引入

同学对于非等差等比数列，它们的前项和怎么求解呢？

知识梳理

数列的前项和的求法：

1、公式法：

利用熟知的的公式求数列前项和的方法称为公式法；

常用的公式有：

（1）差数列求和公式：

（2）等比数列求和公式：

（3）；；

2、错位相减:

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和；若数列{cn}的通项公式cn=an·bn，其中{an}、{bn}一个是等差数列，一个是等比数列求和时，一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。

这种方法叫错位相减法；

3、裂项法求和：

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）；若一个数列的每一项都可以化为两项之差，并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项互相抵消，这种数列求和的方法就是裂项相消法。

如：

（1）an=f（n+1）-f（n）

（2）=tan（n+1）0–tann0

（3）=-（4）=（-）

（5）=1+（-）

（6）=[-]

（7）=（-）

（8）==-，则Sn=1-

4、分组求和:

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

5、倒序相加:

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个a1+an。

典例精讲

（★★★★）例1、已知数列的前n项和（n为正整数）。

（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。

解：

（I）在中，令n=1，可得，即

当时，，

，即

，，即当时，

又数列是首项和公差均为1的等差数列.

于是.

（II）由（I）得，所以

由①-②得

于是确定的大小关系等价于比较的大小

由

可猜想当证明如下：

证法1：

（1）当n=3时，由上验算显示成立。

（2）假设时

所以当时猜想也成立

综合

（1）

（2）可知，对一切的正整数，都有

证法2：

当时

综上所述，当，当时；

（★★★★）例2、已知等差数列{}的公差为d（d0），等比数列{}的公比为q（q>1）。

设=+…..+,=-+…..+（-1，n

（1）若==1，d=2，q=3，求的值；

（2）若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n；

（3）若正数n满足2nq，设和是的两个不同的排列，，证明。

解：

（Ⅰ）由题设，可得

所以，

（Ⅱ）证明：

由题设可得则

①

②

1式减去②式，得

1式加上②式，得

③

2式两边同乘q，得

所以，

（Ⅲ）证明：

因为所以

（1）若，取i=n

（2）若，取i满足且

由

（1）,

（2）及题设知，且

1当时，得

即，…，

又所以

因此

2当同理可得，因此

综上，

点评：

本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力；

（★★★★★）例3、已知数列满足.

（1）若数列是以常数首项,公差也为的等差数列,求a1的值;

（2）若,求证：

对任意都成立；

（3）若,求证：

对任意都成立.

解

（1）由得：

即，求得

（2）由知，

两边同除以，得

（3）

，将代入，得；㈠

而，

㈡

由㈠㈡知，命题成立.

（★★★★）例4、在数列中，，，．

（Ⅰ）证明数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．

解：

（Ⅰ）证明：

由题设，得

，．

又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为

．

所以数列的前项和．

（Ⅲ）证明：

对任意的，

．

所以不等式，对任意皆成立

点评：

本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．

巩固练习

（★★★★★）1、设数列满足为实数

（Ⅰ）证明：

对任意成立的充分必要条件是；

（Ⅱ）设，证明：

;

（Ⅲ）设，证明：

解

（1）必要性：

，

又，即

充分性：

设，对用数学归纳法证明

当时，.假设

则，且

，由数学归纳法知对所有成立

（2）设，当时，，结论成立

当时，

由

（1）知，所以且

（3）设，当时，，结论成立

当时，由

（2）知

（★★★★）2、已知数列的首项，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）证明：

对任意的，，；

（Ⅲ）证明：

．

解法一：

（Ⅰ），，，

又，是以为首项，为公比的等比数列．

，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，原不等式成立．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有

．

取，

则．

原不等式成立．

解法二：

（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）设，

则

，

当时，；当时，，

当时，取得最大值．

原不等式成立．

（Ⅲ）同解法一．

（★★★★）3、已知数列中，，当时，其前项和满足，

（1）求的表达式及的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）设，求证：

当且时，。

解：

（1）

所以是等差数列。

则。

。

（2）当时，，

综上，。

（3）令，当时，有

等价于求证。

当时，令

，

则在递增。

又，

所以即

回顾总结

求数列的前项和是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求数列的前项和的基础是对于数列中递推数列的通项公式的求法要很好地掌握，一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，在基础上数列进行进一步的研究，即对于数列求和中和不等式、函数，行列式等结合考查学生的综合能力。