西南交通大学《数值分析报告》上机报告.docx
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西南交通大学《数值分析报告》上机报告
目录
目录1
序言
（1）2
1.1C语言简介及结构2
1.2C语言特点及优点2
1.3选用原因3
第一题4
用雅格比法与高斯－赛德尔迭代法解下列方程组4
1.1题目4
1.2原理和思路4
1.3计算结果与分析7
第二题10
松弛因子对SOR法收敛速度的影响10
2.1题目10
2.2原理和思路10
2.3计算结果与分析12
序言
（2）16
第三题17
利用四阶Runge-Kutta算法求解微分方程的初值问题17
3.1题目17
3.2原理和思路17
3.3计算结果与分析18
附录1Jacobi迭代法C语言源程序21
附录2Gauss-Seidel迭代法程序代码23
附录3SOR迭代法C语言源程序25
附录4四阶Runge-Kutta算法程序代码27
总结与体会29
本报告系西南交通大学2011级硕士研究生《数值分析》课程的上机实习报告，由本人严格按照实习要求独立完成。
序言
（1）
在第一次给定的四道上机题中，我选择的是第三题（雅格比迭代法、高斯—赛德尔迭代法求解方程组的问题）和第四题（松弛因子对SOR法收敛速度的影响），本次上机实习基于MicrosoftVisualStudio.NET平台进行程序建立，采用C语言面向对象语言，从界面设计到结果输出，完成一个具有针对性的可视化Windows应用程序的编制。
在此序言中，我将阐述C语言的基本结构、优特点以及选用这种语言进行编程的主要原因。
1.1C语言简介及结构
C语言是一种计算机程序设计语言，由美国贝尔研究所的D.M.Ritchie于1972年推出。
1978后，C语言已先后被移植到大、中、小及微型机上，是目前世界上流行、使用最广泛的高级程序设计语言之一。
C语言既有高级语言的特点，又具有汇编语言的特点。
它不仅可以作为工作系统设计语言，编写系统应用程序；也可以作为应用程序设计语言，编写不依赖计算机硬件的应用程序。
其应用范围广泛，具备很强的数据处理能力，不仅仅是在软件开发上，而且各类科研都需要用到C语言，适于编写系统软件、三维、二维图形和动画。
结构如下：
（1）一个C语言源程序可以由一个或多个源文件组成；
（2）每个源文件可由一个或多个函数组成；
（3）一个源程序不论由多少个文件组成，都有一个且只能有一个main函数，即主函数；
（4）源程序中可以有预处理命令（包括include命令、if命令、pragma命令），预处理命令通常应放在源文件或源程序的最前面；
（5）每一个说明，每一个语句都必须以分号结尾。
但预处理命令，函数头和花括号“}”之后不能加分号；
（6）标识符，关键字之间必须至少加一个空格以示间隔。
若已有明显的间隔符，也可不再加空格来间隔。
1.2C语言特点及优点
C语言主要具有以下几方面特点及优点：
（1）简洁紧凑、灵活方便
C语言一共只有32个关键字、9种控制语句，程序书写自由，主要用小写字母表示，它把高级语言的基本结构和语句与低级语言的实用性结合起来。
C语言可以象汇编语言一样对位、字节和地址进行操作，而这三者是计算机最基本的工作单元。
（2）运算符丰富
C语言的运算符包含的范围很广泛，共有种34个运算符。
C语言把括号、赋值、强制类型转换等都作为运算符处理。
从而使C语言的运算类型极其丰富表达式类型多样化，灵活使用各种运算符可以实现在其它高级语言中难以实现的运算。
（3）数据结构丰富
C语言的数据类型有：
整型、实型、字符型、数组类型、指针类型、结构体类型、共用体类型等，能用来实现各种复杂的数据类型的运算，并引入了指针概念，使程序效率更高。
另外C语言具有强大的图形功能，支持多种显示器和驱动器，且计算功能、逻辑判断功能强大。
（4）C是结构式语言
结构式语言的显著特点是代码及数据的分隔化，即程序的各个部分除了必要的信息交流外彼此独立。
这种结构化方式可使程序层次清晰，便于使用、维护以及调试。
C语言是以函数形式提供给用户的，这些函数可方便的调用,并具有多种循环、条件语句控制程序流向,从而使程序完全结构化。
（5）语法限制不太严格、程序设计自由度大
一般的高级语言语法检查比较严，能够检查出几乎所有的语法错误。
而C语言允许程序编写者有较大的自由度。
（6）允许直接访问物理地址，可以直接对硬件进行操作
因此既具有高级语言的功能，又具有低级语言的许多功能，能够象汇编语言一样对位、字节和地址进行操作,而这三者是计算机最基本的工作单元，可以用来写系统软件。
（7）程序生成代码质量高，程序执行效率高
一般只比汇编程序生成的目标代码效率低10~20%。
（8）适用范围大，可移植性好
C语言有一个突出的优点就是适合于多种操作系统,，如DOS、UNIX，也适用于多种机型。
1.3选用原因
本次数值分析上机实习拟采用C语言进行编程，主要是基于以下几方面的考虑：
（1）C语言的优越性：
C语言作为一种优秀的编程语言，使用起来灵活方便，程序执行效率高，可移植性好，可以把程序写为函数，方便多次调用；
（2）可视化交互性：
C语言可创建Windows应用程序，可视性程度高，与使用者的交互简单，有利于体会程序的设计过程，尤其是在编写数值分析的各种算法过程中，可以清晰的理解算法的实现过程，使深刻理解该算法；
（3）个人基础：
作为一名工科学生，曾在大学期间有系统的学习过C语言，具备一定的理论基础和实践操作能力，能够较好的应用该语言进行运算，有助于上机实习过程的顺利完成。
鉴于以上考量，我决定选择C语言进行编程。
第一题
用雅格比法与高斯－赛德尔迭代法解下列方程组
1.1题目
【3】用雅格比法与高斯－赛德尔迭代法解下列方程组Ax=b，研究其收敛性，上机验证理论分析是否正确，比较它们的收敛速度，观察右端项对迭代收敛有无影响。
（1）A行分别为A1=[6,2,-1],A2=[1,4,-2],A3=[-3,1,4]；b1=[-3,2,4]T,b2=[100,-200,345]T,
（2）A行分别为A1=[1,0,8,0.8],A2=[0.8,1,0.8],A3=[0.8,0.8,1]；b1=[3,2,1]T,b2=[5,0,-10]T,
（3）A行分别为A1=[1,3],A2=[-7,1]；b=[4,6]T.
1.2原理和思路
1.2.1基本原理
（1）Jacobi迭代法
设有n阶方程组Ax=b，若系数矩阵非奇异，且（i=1,2,…,n），将方程组改写成同解方程组：
然后写成迭代格式：
上式也可以简单地写为：
对以上两式给定一组任意初值后，经反复迭代可得到一向量序列，如果x（k）收敛于，则就是方程组Ax=b的解，该方法称为雅克比（Jacobi）迭代法。
设D=diag（a11,a22,…,ann），将Ax=b改写为：
AX=（D–（D-A））x=b，DX=（D-A）x+b，X=（I–D-1A）x+D-1b。
记B=I–D-1A，g=D-1b。
则迭代格式的向量表示为
BJ=I–D-1A称为雅克比迭代矩阵。
Jacobi迭代收敛的充要条件：
迭代矩阵BJ的谱半径。
特别地，若系数矩阵A满足以下特征中的任意一条，则Jacobi迭代法收敛：
1A为行对角占优阵，即；
2A为列对角占优阵，即；
3A的元素满足。
（2）Gauss-Seidel迭代法
在雅可比迭代中，每次迭代时只用到前一次的迭代值，而在高斯-塞德尔迭代中，每次迭代时充分利用最新的迭代值。
一旦一个分量的新值被求出，就立即用于后续分量的迭代计算，而不必等到所有分量的新值被求出以后。
如果迭代收敛，应该比更接近于原方程的解（i=1,2,…,n），因此在迭代过程中及时地以代替（i=1,2,…,n-1），可得到更快的收敛效果。
这样可将迭代格式写成：
上式可简写为：
（i=1,2,…,n）
该式称为Gauss-Seidel迭代格式。
对于上述Gauss-Seidel迭代式，如写成矩阵形式为：
=D-1+D-1b,=。
其中，L和U分别为：
则Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为。
其收敛的充要条件为谱半径。
特别地，若系数矩阵A满足Jacobi迭代法三条特征中的任意一条，则Gauss-Seidel迭代法收敛。
1.2.2实验思路
（1）Jacobi迭代法的算法为:
Jacobi迭代法的流程图为:
在以上的流程图中，先读入数据，即先输入系数矩阵A,常数向量b,初始值，停止条件和最大循环次数。
图中是迭代公式中的，k是循环次数，N是最大循环次数。
（2）Gauss-Saidel迭代法的算法为：
Gauss-Seidel迭代法的流程图为:
以上的流程图中，先读入数据，即先输入系数矩阵A,常数向量b,初始值，停止条件和最大循环次数N。
流程图中的是高斯-塞德尔迭代公式中的，是高斯-塞德尔迭代公式中的，k是迭代次数，N是最大循环次数。
1.3计算结果与分析
（1）当,时，通过两种迭代法得到的结果如下图所示：
当,时，通过两种迭代法得到的结果如下图所示：
【实验现象】
通过上述两组实验对比得到的结果显示：
Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代都是收敛的。
【原因分析】
由矩阵A可知，A为列对角占优阵，所以Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法都是收敛的。
从上述两组实验对比可以得出，Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法的收敛速度更快，而且右端项b对迭代收敛没有影响。
（2）当，时，通过两种迭代法得到结果如下图所示：
当，时，通过两种迭代法得到结果如下所示：
【实验现象】
通过上述两组实验对比得到的结果显示：
Jacobi迭代都是发散的，而Gauss-Seidel迭代都是收敛的。
【原因分析】
Jacobi迭代矩阵，经过计算，故Jacobi迭代是发散的。
Gauss-Seidel迭代矩阵，计算，故Gauss-Seidel迭代是收敛的。
（3）当，时，通过两种迭代法得到计算结果如下图所示：
【实验现象】
通过上述实验结果显示：
Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法都是发散的。
【原因分析】
Jacobi迭代矩阵，经计算，故Jacobi迭代法是发散的。
Gauss-Seidel迭代矩阵，经计算，故Gauss-Seidel迭代是发散的。
【实验结论】
1、判断Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代是否收敛，可计算它们的迭代矩阵B的谱半径是否小于1。
，则收敛；，则发散；
2、从实验结果可以看出，Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法的收敛速度快；
3、方程右端项对Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛性事没有影响的。
第二题
松弛因子对SOR法收敛速度的影响
2.1题目
【4】松弛因子对SOR法收敛速度的影响。
用SOR法求解方程组Ax=b,其中
要求程序中不存系数矩阵A,分别对不同的阶数取w=1.1,1.2,...,1.9进行迭代，记录近似解x（k）达到||x（k）-x（k-1）||<10-6时所用的迭代次数k，观察松弛因子对收敛速度的影响，并观察当w0或w2会有什么影响？
2.2原理和思路
2.2.1基本原理
在很多情况下，Guass-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛速度快。
分析Guass-Seidel迭代公式，可以改写成：
（j=1,…,n）
记：
称为第k步第i个分量的残量。
那么Gau
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