证:
1）任给三级矩阵,任给二实数,因有
A+B=B+A,
（A+B）+C=A+（B+C）
O+A=A
A+（-A）=O
k（A+B）=kA+kB
（k+l）A=kA+lA
（kl）A=k（lA）
1A=A
因此,关于矩阵的加法和（实）数乘矩阵构成一线性空间.
2）任给三个在闭区间[a,b]上的连续函数,任给二实数,并用O（x）在此闭区间上的函数值总取0值的函数,即O（x）=0,a≤x≤b,f（x）的负函数则为-f（x）因有
f（x）+g（x）=g（x）+f（x）
[f（x）+g（x）]+h（x）=f（x）+[g（x）+h（x）]
O（x）+f（x）=f（x）
f（x）+[-f（x）]=O（x）
k[f（x）+g（x）]=kf（x）+kg（x）
（k+l）f（x）=kf（x）+lf（x）
（kl）f（x）=k[lf（x）]
1f（x）=f（x）
因此,C[a,b]关于函数的相加和实数乘函数松成一线性空间.
2.取上一题中的n×m个元素Eij为（i,j）位元素为1,其它全为零的矩阵,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m.验证这n×m个元素为Mn×m（R）的一个基.从而Mn×m（R）的维数为n×m.
证:
首先验证n×m个元素线性无关,考察关于kij,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m的齐次方程
这n×m个相加的矩阵中的每一个kijEij都是只有一个第i行第j列的元素为kij,其余元素为0,这样就有
只有当kij=0,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m时才有{kij}m×n=Om×n,因此知这n×m个元素Eij线性无关.
此外,任何,都有
从而这n×m个元素为Mn×m（R）的一个基.从而Mn×m（R）的维数为n×m.
3.判断下述变换中哪些是线性变换.
1）线性空间V中,是一固定向量.
2）线性空间V中,是一固定向量。
3）R3中,A（（x1,x2,x3）=（2x1+x2,x3-x2,x1）.
4）R3中,A（（x1,x2,x3）=（x12,x1+x2,x3）.
5）全体实系数多项式构成的线性空间R[x]中,A（f（x））=f（x-a）,a是一固定的数.
6）同上,R[x]中,A（f（x））=f（x2）.
解:
1）如果α≠O,则不是线性变换,因AO=α并没有将零向量映射为零向量.
2）如果α≠O,则不是线性变换,同样因为AO=α.
3）任给α,β∈R3,α=（a1,a2,a3）,β=（b1,b2,b3）,k为任意实数,则
A（α+β）=A（a1+b1,a2+b2,a3+b3）=（2（a1+b1）+（a2+b2）,（a3+b3）-（a2+b2）,（a1+b1））
=（2a1+a2,a3-a2,a1）+（2a1+a2,a3-a2,a1）=A（α）+A（β）
A（kα）=A（ka1,ka2,ka3）=（2ka1+ka2,ka3-ka2,ka1）=k（2a1+a2,a3-a2,a1）=kA（α）
因此A为线性变换.
4）不是线性变换,第一个分量产生平方项x12是非线性的原因.因此找任何一个第一个分量不为零的向量作反例即可,因此令α=（1,0,0）,并给出实数2,
则Aα=A（1,0,0）=（1,1,0）,而A（2α）=A（2,0,0）=（4,2,0）≠（2,2,0）=2Aα.
5）任给实系数多项式f（x）,g（x）∈R[x],任给实数k∈R,
A（f（x））=f（x-a）,A（g（x））=g（x-a）,
A（f（x）+g（x））=f（x-a）+g（x-a）=A（f（x））+A（g（x））,
A（kf（x））=kf（x-a）=kA（f（x））,
因此A是线性变换.
6）任给实系数多项式f（x）,g（x）∈R[x],任给实数k∈R,
A（f（x））=f（x2）,A（g（x））=g（x2）,
A（f（x）+g（x））=f（x2）+g（x2）=A（f（x））+A（g（x））,
A（kf（x））=kf（x2）=kA（f（x））,
因此A是线性变换.
4.在R[x]中,,验证A,B均是线性变换,且
AB-BA=E.其中,E是指恒等变换.
证:
因此有
即AB-BA=E.
5.设矩阵
定义R3上的一个线性变换A使得A在基α1=（-1,1,0）T,α2=（2,1,1）T,α3=（0,2,-1）T下的矩阵为A.
解:
设R3中的任意一向量β在α1,α2,α3,下的坐标向量为（b1,b2,b3）T,即
则有
现求（α1,α2,α3）-1如下:
即有
最后得
6.设A,B为R3中如下定义的线性变换:
A（x1,x2,x3）=（2x1-x2,x1+x2+x3,-x2+x3）
B（x1,x2,x3）=（x2+x3,x1+x3,x1+x2）
分别求A,B和AB在基ε1=（1,0,0）T,ε2=（0,1,0）T,ε3=（0,0,1）T下的矩阵.
解:
其中就是A在基ε1,ε2,ε3下的矩阵,
其中就是B在基ε1,ε2,ε3下的矩阵,
因此,就是AB在基ε1,ε2,ε3下的矩阵.
7.设R3中一线性变换A在基α1=（1,-2,1）T,α2=（0,2,-1）T,α3=（-1,0,3）T下的矩阵为
求A在基β1=（1,1,1）T,β2=（1,1,0）T,β3=（1,0,0）T下的矩阵.
解:
设由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3下的过渡矩阵为T,则
（α1,α2,α3）T=（β1,β2,β3）
因此,对分块矩阵（α1,α2,α3|β1,β2,β3）作行初等变换使左边一半变换为单位矩阵时,右边的一半的内容即为T,
因此
再求过渡矩阵的逆T-1,因为（β1,β2,β3）T-1=（α1,α2,α3）,因此对分块矩阵（β1,β2,β3|α1,α2,α3）作行初等变换使左边成为单位矩阵,则右边即为T-1,
因此
任给ξ∈R3,设其在基α1,α2,α3下的坐标向量为（x1,x2,x3）T,即
ξ=（α1,α2,α3）（x1,x2,x3）T=（β1,β2,β3）T-1（x1,x2,x3）T=（β1,β2,β3）（c1,c2,c3）T,
其中（c1,c2,c3）T为ξ在基β1,β2,β3下的坐标向量,满足
（c1,c2,c3）T=T-1（x1,x2,x3）T,或（x1,x2,x3）T=T（c1,c2,c3）T
有A（ξ）=（α1,α2,α3）A（x1,x2,x3）T=（β1,β2,β3）T-1AT（c1,c2,c3）T,
其中
即A在基β1,β2,β3下的矩阵为
8.设A为7题中的线性变换,并设向量γ=（2,-3,1）T,求γ和A（γ）在基β1,β2,β3下的坐标.
解:
设γ在在基β1,β2,β3下的坐标为（x1,x2,x3）,则解非齐次方程x1β1+x2β2+x3β3=γ,写成齐次方程组的标准形式:
由下面的方程往上面的方程依次解可得x1=1,x2=-3-1=-4,x3=2-1+4=5,即γ在基β1,β2,β3下的坐标为（1,-4,5）,γ=β1-4β2+5β3,
而上题已经求得A（γ）在基β1,β2,β3下的矩阵B为
因此A（γ）在基β1,β2,β3下的坐标为
9.求6题中线性变换B的逆变换。
解:
6题已经解出B的在基ε1=（1,0,0）T,ε2=（0,1,0）T,ε3=（0,0,1）T下的矩阵B为
因此,B的逆变换在同样基下的矩阵为B-1,下面求B-1,对分块矩阵（B|I）作行初等变换:
因此
因
即
10.设R4中线性变换A在一基ε1,ε2,ε3,ε4下的矩阵为
1）分别求A的值域和核的一个基.
2）A可逆吗?
解:
任给R4中的一向量ξ,设其在基ε1,ε2,ε3,ε4下的坐标向量为X=（x1,x2,x3,x4）T,则Aξ在同样基下的坐标向量为
Y=AX,
为研究A的值域,可先上式中Y的值域.将E1=（1,0,0,0）T,E2=（0,1,0,0）T,E3=（0,0,1,0）T,
E4=（0,0,0,1）T,这四个线性无关的向量代入上式,得到的四个向量β1,β2,β3,β4正好是A的各个列向量,即β1=AE1,β2=AE2,β3=AE3,β1=AE3,A=（β1,β2,β3,β4）,下面对A做行初等变换来研究它的各个列向量间的线性关系.
可见向量组β1,β2,β3为A的各个列向量的极大无关组,而
因此,矩阵相乘Y=AX中当X取R4中的一切值时,Y的值域为span（β1,β2,β3）,相对应地,A的值域就是
span（（ε1,ε2,ε3,ε4）β1,（ε1,ε2,ε3,ε4）β2,（ε1,ε2,ε3,ε4）β3）=
=span（-ε1+2ε2-3ε4,ε2-ε3+ε4,2ε1-ε2+3ε3+3ε4）
现在求A的核,则考察齐次方程AX=O,按上面的变换有一个自由变元x4=t为任意常数时,
x1=0,x2=-t/2,x3=-t/2,写成向量形式有
这是A的核的所有向量的坐标向量的形式,因此A的核为
.
2）因为A在基ε1,ε2,ε3,ε4下矩阵A不可逆,所以A也不可逆.
11.证明:
非零向量是一线性变换A的核中元素当且仅当它是A的属于零特征值的特征向量.
证:
假设向量α∈Ker（A）,即有Aα=O=0α,即α为A的关于特征值0的特征向量,此外,假设β为A的关于特征值0的特征向量,即Aβ=0β=O,则β∈Ker（A）,证毕.
12.证明:
如果向量ξ1,ξ2,…,ξr是n维线性空间V上的线性变换A的属于特征值0的线性无关的特征向量,ξr+1,…,ξn是A的非零特征值的线性无关的特征向量,（即A可对角化）,则
Ker（A）=Span（ξ1,ξ2,…,ξr）
A（V）=Span（ξr+1,ξr+1,…,ξn）
证:
因为A的不同特征值间的特征向量间线性无关,因此有ξ1,ξ2,…,ξn是n维线性空间V上的n个线性无关的向量,自然可以做V上的一个基,则任给α∈V,其在这组基上的坐标为x1,x2,…,xn,即α=x1ξ1+x2ξ2+…+xnξn,则
A（α）=A（x1ξ1+x2ξ2+…+xnξn）==x1Aξ1+x2Aξ2+…+xrAξr+xr+1Aξr+1+…+xnAξn=
=O+xr+1λr+1ξr+1+…+xnλnξn∈Span（ξr+1,ξr+1,…,ξn）
（1）
其中λr+1,…,λn为对应特征向量ξr+1,ξr+1,…,ξn的特征值,根据假设它们都不为零.
反过来,任给β∈Span（ξr+1,ξr+1,…,ξn）,即β=yr+1ξr+1+…+ynξn,则有
这就证明了A（V）=Span（ξr+1,ξr+1,…,ξn）
现证明Ker（A）=Span（ξ1,ξ2,…,ξr）
假设α=x1ξ1+x2ξ2+…+xnξn∈Ker（A）
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