抛物线方程及几何意义教案文档格式.docx

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1情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；

2温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。

提供一个教学设计供讲师参考：

一、课堂导入

1•生活中的抛物线：

（1）投篮时篮球的运行轨迹是抛物线；

（2）南京秦淮河三山桥的桥拱的形状是抛物线；

（3）卫星天线是根据抛物线的原理制造的•

2•数学中的抛物线：

A

一元二次函数:

-：

■：

'

■-I'

；

I:

一「山的图像是一条抛物线.

提出问题：

为什么一元二次函数的图像是一条抛物线？

类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物

线又会有怎样的几何性质？

二、抛物线的定义

1.抛物线的画法

（1）介绍作图规则.

（2）动画展示作图过程.

笔尖所对应的点二满足的几何关系是什么？

（3）分析作图过程

在作图过程中，直尺，三角板，笔尖，点F中，哪些没有动？

哪些动了？

在作图过程中，绳长，I曲，|妙，卩個LI阙中，哪些量没有变？

哪些量变了？

（4）结论

动点二满足的几何关系是：

动点二到定点F的距离等于它到直尺的距离.

2.抛物线的定义

问题1：

你能给抛物线下个定义吗？

抛物线的定义：

平面内与一个定点：

和一条定直线（.不过；

）的距离相等的点的集合叫

作抛物线•

问题2：

为什么定点「不能在定直线.上？

若点」在直线.上，则轨迹为过定点「垂直于直

线的直线’.

3.抛物线的相关概念：

定点：

：

抛物线的焦点•定直线:

抛物线的准线•

设二-/焦点到准线的距离•

抛物线的对称轴与抛物线的交点_'

:

抛物线的顶点

三、抛物线的方程

1.方程推导

（1）建系

请同学们将抛物线画在草稿纸上，自己建立平面直角坐标系

（2）推导

问题3：

以下三种建系方式，你认为哪种建系方式最好？

请说明理由

提示：

设外旳>

0），先将抛物线的焦点坐标和准线方程求出来，再来求抛物线的方

程•

三种建系方式下的抛物线方程分别为：

…J■:

2/■■

不难得出，第二种建系方式下的抛物线方程最简洁，因此第二种建系方式最好

「：

焦点到准线的距离•

3.思考交流

问题4:

你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的

标准方程？

具体要求：

以顶点在原点，焦点在丄轴正半轴上的抛物线的标准方程为基础，分别写出开口

向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程，不要求写过程.学

生先独立思考，再小组合作交流.

标准方程（p>

0）

y2=2px

y2=-2px

x2=2py

x

2=—2py

Ay

八y

y

1/

I

\/

l

O

图形

^_L

7kx

x

\

llj

—I

Ox

/

开口方向

向右

向左

向上

向下

范围

xK0,ywR

x兰0,ywR

yK0,x壬R

<

0,^R

对称轴

x轴

y轴

性质焦点坐标

F（寺0）

F（弋0）

2

F（0占

F叱）

准线方程

X」

x-卫

y—卫

y」

离心率

e=1

焦半径

|pf|=x。

+卫

|pf|=-X°

PF=y。

+卫

PF

一y°

抛物线的标准方程是指顶点放在坐标原点，焦点放在坐标轴上的抛物线的方程，一共有四种

形式•

4.例题分析

例1.求出下列抛物线的焦点坐标和准线方程•

（1）」二；

（2）：

.;

例2.根据下列条件求抛物线的标准方程•

（1）焦点:

F（-1,O）；

（2）准线：

y=2

四、课堂小结

问题5：

这节课你学到了什么？

请谈谈你的收获

1.知识内容：

（1）抛物线的定义：

二'

■-

（2）抛物线的标准方程：

1焦点在；

轴正半轴：

「一门.二…’丨丨；

2焦点在：

轴负半轴：

2—「•山

3焦点在轴正半轴；

4焦点在.'

轴负半轴

2.学习方法与过程：

类比椭圆的研究方法与过程•

3.学习中用到的数学思想和方法：

（1）直接法；

（2）待定系数法；

（3）类比的思维方法;

（4）数形结合思想•

二、知识讲解

1的距离的点的轨迹。

其中F叫焦

文考形式1抛物线到定定义F的距离等于它到一条定直线

点，定直线1叫准线.

集合形式：

WMF

=d}

（M为动点，F为定点，d为点M到定直线1的距离）•

A考点2抛物线的方程及几何性质

标准方程（P>

2小

y=2px

y=-2px

x2=-2py

一

J

ky

F

O

l

上>

i

/F/

性质

xK0,y€R

x兰0,y€R

yK0,x乞R

y兰0,R

焦点坐标

F（f°

）

F（-±

叫）

F（0^-P）

P

x=—

r

lPFi+子

|PF|=—X0+子

PF十子

pf—七

考物线上的点到焦点的距离，利用抛物线的定义，要优先考虑转化为抛物线上的点到准线的距离来解决问题

二、例题精析

类型一抛物线的定义及应用

例题1

（1）已知抛物线的标准方程是y'

=6x，求它的焦点坐标和准线方程

（2）已知抛物线的焦点是F0,-2，求它的标准方程。

答案与解析

（2）因为抛物线的焦点在y轴上，所以抛物线方程为x=-8y.

【总结与反思】

P的值得到焦点坐标和

（1）先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，画草图，再求出

准线方程。

（2）先判定出焦点在y轴上，从而得到一次项为y，再求出p的值进而写出方程。

类型二抛物线的标准方程和几何性质

古=i（a>

0,b>

0）的离心率为2.若抛物线C2：

x2=2py（p>

0）的焦点到双曲

线Ci的渐近线的距离为2,则抛物线

C2的方程为（）

A.x2=晳y

C.x2

=8y

答案

解析

D

••X

-2

a

•a=2，

x2=2py

B.

D.

2低3

x=〒y

x2=i6y

—右=i的离心率为2,

b

即c2a2+b2b2

aa'

a'

2a

b-

=■3.

的焦点坐标为0,2，X2—治=i的渐近线方程为y=£

x，即y=±

3x.由题意得

2=2,•p=8•故C2的方程为x2=i6y.

i+.3

例抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,

B两点，0为坐标原点.若|AF|=3,

则AAOB的面积为

答案322

由题意设A（xi,yi）,B（X2,y2）（yi>

0,y2<

0），如图所示,

•••Xi=2,yi=2,2.

|AF|=xi+1=3,

设AB的方程为x—i=ty，由y=4X，

X—i=ty

消去x得y2—4ty—4=0.

--yiy2=—4•…y2=—¥

2,X2=2,

Ci鉅

…Saaob=2xix|yi—y2|=2.

（1）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物

线的标准方程.

（2）在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,

特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.

类型三直线与抛物线的综合问题

已知抛物线C:

y2=8x与点M（—2,2），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点.若

MAMB=0,贝Vk=.

答案2

解析抛物线C的焦点为F（2,0），则直线方程为y=k（x—2）,与抛物线方程联立，消去y化

简得k2x2—（4k2+8）x+4k2=0•设点A（X!

%）,B（x2,拓.

r8

则Xi+X2=4+k2,X1X2=4.

8

所以yi+y2=心+X2）—4k=匚,

yiy2=k[X1X2—2（Xi+X2）+4]=—16.

因为MAMB=（Xi+2,yi—2）（x?

+2,y?

—2）=（Xi+2）（X2+2）+（yi—2）仏一2）=X1X2+2（Xi+x?

+yiy2—2（yi+y2）+8=0,

将上面各个量代入，化简得k2—4k+4=0，所以k=2.

例题22

y=mx（m>

0），焦点为F，直线2x—y+2=0交抛物线C于A,B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.

（1）求抛物线C的焦点坐标；

（2）若抛物线C上有一点R（xr,2）到焦点F的距离为3，求此时m的值；

⑶是否存在实数m,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？

若存在，求出m的值；

若

不存在，请说明理由.

解⑴•••抛物线c:

x2=^y,^它的焦点f（0,4m）.

Jy=mx2,

（3）存在，联立方程

I2x—y+2=0,

消去y得mx2—2x—2=0,

X1+X2=m，

设Ag，mx）

B（X2，mx2），则2（*）

lx*—m.

依题意，有

11即P（m，yp），二Q（m，伸-

若存在实数m,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，贝yQAQB=0,

即（x1—m）（X2—m）+（mx2—m）（mx2—m）=0，

46

结合（*）化简得一m2—m+4=o,

即2m2—3m—2=0，二m=2或m=—1,

而2€（—2,+s）,—珈—1,+◎•

•••存在实数m=2,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形.

（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数

的关系.

（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点•若过抛物线的焦点，

可直接使用公式|AB|=x1+x2+p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.

⑶涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用设而不求

整体代入”等解法.

提醒：

涉及弦的中点、斜率时一般用点差法”求解.

四、课堂运用

基础2

1.

（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程.

（2）已知抛物线的焦点是F0,-2，求它的标准方程.

2.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在X轴上，直线y=x与抛物线C交于

A,B两点，若P（2,2）为AB的中点，则抛物线C的方程为.

1.【答案】

（1）i3,0,x=--

（2）x2--8y

12丿2

【解析】

（1）因为P=3，所以抛物线的焦点坐标为-,0，准线方程为X--3.

（2）因为抛物线的焦点在y轴上，所以抛物线方程为x2=-8y.

2.【答案】y=4x

「2_

设抛物线的方程为y2=ax（a式0）.由方程组“解得交点坐标为

[y=x

A（0,0）,B（a,a），而点P（2,2）是AB的中点，从而有a=4，故所求抛物线的方程

为y2=4x.

|巩固

1.已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2,1）的距离与点P到抛物线焦点距离之

禾廿的最小值为

2抛物线y二「8x的焦点坐标是（）

A.（2，0）B.（-2，0）C.（4，0）D.（-4，0）[来

3.已知点A（3,4）,f是抛物线y2=8x的焦点,M是抛物线上的动点，当MA+|MF最小时,M

点坐标是（）

A.（0,0）B.（3,26）C.（2,4）D.（3,-2.6）

22

4•已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C:

x（y3）=1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.

1.过P作PM_I于点M（I为准线），显然PQP^PQPM,当Q—丨时有最小值，

此时PQPF=PQPM=QN=3

2P

2•由y二「8x,易知焦点坐标是（,0）=（-2,0），故选B

3.设M到准线的距离为MK,则|MA|+MF|=|MA+|MK，当MA+|MK最小时，M点

坐标是（2,4），选C

4.设动圆圆心为M（x，y）,半径为r，则由题意可得M到C（0,-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：

动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准

线的一条抛物线，其方程为X2二-12y.

3.4

拔高

1.过抛物线y-2pxp-0的焦点F作直线交抛物线于Ax-1,y!

Bgg

两点，求证：

（1）AB=%+x2+p

AF

BF

2.已知过抛物线y=9x的焦点的弦AB长为12,则直线AB倾斜角为.

3.已知抛物线y=2px（p0）的焦点为F,点P1（x1,y1）,巳匕2,2）,F3（X3,y3）在抛物

线上，且|RF|、IF2FI、IRFI成等差数列，则有（）

a.论X2=X3b.%y2二y3

c.x「X3=2x2d.y1y^2y2

4设抛物线C:

y2=4x的焦点为F,直线I过F且与C交于A,B两点。

|AF|=3|BF|，则I的方程为（）

（A）y=x-1或y=-x1

（C）y=3（x-1）或y-i、3（xi1）

1.

（1）如图设抛物线的准线为I，作

（B）

（D）

十一1）或y=

3

二亠2y=三-（x_1）或讨二（x_1）

BFuBB^!

=X2+P•两式相加即得:

（2）当AB丄x轴时，有

AF=BF

222P2

kx-pk2xk=0

k2

xi,x2,.•xx2.

14

112

故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有成立

AF||BF|p

2.

由结论：

若AB是抛物线y2=2px（pA0）的焦点弦，且直线AB的倾斜角为a,则

线AB倾斜角为—或—

33

ppp

3.由抛物线的定义可得RF=*,P2F=X2,P3F=X3*

222

由于丨RF丨、IF2F|、|F3F|成等差数列，所以

4.抛物线C:

y=4x的焦点坐标为（1,0），准线方程为x--1，设A（X1,y（）,B（X2,y?

）,

则因为AF=3BF,所以％+1=3（x2+1）,所以％=3x2+2。

因为y；

=3y2,%=9x2,

所以％=3,x2=1，当x-!

=3时，y12=12,所以此时y厂二、•12--23,若y^2.3,3

12^j3

则A（3,2,3）,B（-,）,此时kAB='

3,此时直线方程为y=3（x-1）。

若%--2、3,

是y二.3（x-1）或y=--3（x-1），选C.

1认真区分四种形式的标准方程

（1）区分y=ax2与y2=2px（p>

0），前者不是抛物线的标准方程.

（2）求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2=mx（m工0）

或x2=my（m^0）.

2•抛物线的离心率e=1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离•因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化.

抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF|=|x|+2或|PF|=|y|+号.

六、课后作业

基础

1.已知抛物线y2=2px（p>

0）的准线与曲线x2+y2—4x—5=0相切，则p的值为（）

A.2B.1迈D.-

2•已知抛物线y2=2px（p>

0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段

AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）

A.x=1B.x=—1C.x=2D.x=—2

3.已知抛物线y2=2px（p>

0）的焦点弦AB的两端点坐标分别为A（X1,y"

B（x2,y2），则逹的

X1X2

值一定等于（）

A.—4B.4C.pD.—p

4.（2019浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,

B,C,其中点A,B在抛物线上，点C在y轴上，则ABCF与△ACF的面积之比是（）

|BF|—1|BF|—

|AF|—1|AF|2—1

C|BF|+1D|BF|+1

C.|AF|+1D.|AF|2+1

1•答案A

解析曲线的标准方程为（x—2）2+y2=9，其表示圆心为（2,0），半径为3的圆，又抛物线的

准线方程为x=—p,•••由抛物线的准线与圆相切得2+号=3,解得p=2，故选A.

2••答案B

解析ty2=2px的焦点坐标为（；

，0）,

•••过焦点且斜率为1的直线方程为y=x—p,

即x=y+2，将其代入yi=2px，得y2=2py+p2,

即y—2py—p=0•设AX,y”,B（x2,y2）,

则yi+y2=2p,.・.yiJ^y2=p=2,

•••抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=—1.

3•答案A

解析①若焦点弦AB丄x轴，

则Xi=X2=p所以XiX2=4；

…yi=p,y2=—p,…yiy2=—p,

...yiy2=—4

XiX2

②若焦点弦AB不垂直于x轴，

可设AB的直线方程为y=k（x—》,

2则XiX2=J

4

所以yiy2=—P?

故X■丁=—4.

4答案A

解析由图形可知，ABCF与AACF有公共的顶点F，且A,B,C三点共线，易知ABCF与△ACF的面积之比就等于豁.由抛物线方程知焦点F（i,0），作准线I,则I的方程为x=—I.

•••点A,B在抛物线上，过A,B分别作AK,BH与准线垂直，垂足分别为点K,H，且

与y轴分别交于点N,M.由抛物线定义，得|BM|=|BF|—i,|AN|=|AF|—i.在ACAN中，BM//AN,

.|BC|_|BM|_|BF|—i

•|AC|=|AN|_|AF|—i.

2•已知抛物线x2=2py（p>

0）的焦点为F，其准线与双曲线X—y3=1相交于入B两点，若AABF

为等边三角形，则p=.

3•如图，过抛物线y2=2px（p>

0）的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线I于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3，则此抛物线的方程为•

4•已知一条过点P（2,1）的直线与抛物线y2=2x交于A,B两