山东省青岛市届高三下学期第一次模拟考试数学理试题含答案.docx

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山东省青岛市届高三下学期第一次模拟考试数学理试题含答案

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数学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题共50分）

一、选择题：

本大题共10小题。

每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集，集合，则

A.B.C.D.

2.已知数据（单位：

公斤），其中是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则这51个数据的平均数、中位数分别与比较，下列说法正确的是

A.平均数增大，中位数一定变大

B.平均数增大，中位数可能不变

C.平均数可能不变，中位数可能不变

D.平均数可能不变，中位数可能变小

3.设随机变量服从正态分布，则函数不存在零点的概率为

A.B.C.D.

4.已知，则“”是“恒成立”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.定义，则由函数的图象与x轴、直线所围成的封闭图形的面积为

A.B.C.D.

6.已知点为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足，则双曲线的离心率为

A.B.C.D.

7.如图所示的程序框图，输出S的值为

A.

B.

C.

D.

8.已知，且满足则的最大值为

A.10B.8C.6D.3

9.如图，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，，则三棱锥与三棱锥的体积比为

A.1：

2B.1：

8

C.1：

6D.1：

3

10.已知抛物线，直线（k为常数）与抛物线交于A,B两个不同点，若在抛物线上存在一点P（不与A,B重合），满足，则实数k的取值范围为

A.B.C.D.

第II卷（非选择题共100分）

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知i是虚数单位，，且，则的共轭复数为_______；

12.在二项式的展开式中，常数项等于________（用数字作答）；

13.已知函数是偶函数，它的部分图象如图所示.M是函数图象上的点，K，L是函数的图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形，则___________；

14.若，则的最小值是___________；

15.定义在区间上的函数的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量，且实数满足，此时向量.若恒成立，则称函数在区间上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数.已知函数在区间上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是________.

三、解答题：

本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知函数（为常数且），函数的图象关于直线对称.

（I）求函数的最小正周期；

（II）在中，角A,B,C的对边分别为，若，求面积的最大值.

17.（本小题满分12分）

为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：

滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时.

（I）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

（II）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望.

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，E为PA的中点.

（I）设面面，求证：

；

（II）求二面角的余弦值.

19.（本小题满分12分）

已知等差数列的公差d=2，其前n项和为，数列的首项，其前n项和为，满足.

（I）求数列、的通项公式；

（II）求数列的前n项和.

20.（本小题满分13分）

已知椭圆，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q.

（I）若垂心的纵坐标为，求点P的坐标；

（II）试问：

直线PQ是否过定点？

若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

21.（本小题满分14分）

已知函数.

（I）对于恒成立，求实数a的取值范围；

（II）当时，令，求的最大值；

（III）求证：

.