3.（2015·北京改编）圆心为（1,1）且过原点的圆的方程是__________________.
答案 （x－1）2＋（y－1）2＝2
解析 ∵圆的半径r＝＝，
∴圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2.
4.（教材改编）圆C的圆心在x轴上，并且过点A（－1,1）和B（1,3），则圆C的方程为______________.
答案 （x－2）2＋y2＝10
解析 设圆心坐标为C（a,0），
∵点A（－1,1）和B（1,3）在圆C上，∴CA＝CB，
即＝，
解得a＝2，∴圆心为C（2,0），
半径CA＝＝，
∴圆C的方程为（x－2）2＋y2＝10.
5.（2015·湖北）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1,0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且AB＝2.
（1）圆C的标准方程为__________________；
（2）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.
答案
（1）（x－1）2＋（y－）2＝2
（2）－－1
解析
（1）由题意，设圆心C（1，r）（r为圆C的半径），则r2＝2＋12＝2，解得r＝.
所以圆C的方程为（x－1）2＋（y－）2＝2.
（2）方法一 令x＝0，得y＝±1，所以点B（0，＋1）.又点C（1，），所以直线BC的斜率为kBC＝－1，所以过点B的切线方程为y－（＋1）＝x－0，即y＝x＋（＋1）.
令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.
方法二 令x＝0，得y＝±1，所以点B（0，＋1）.又点C（1，），设过点B的切线方程为y－（＋1）＝kx，即kx－y＋（＋1）＝0.由题意，圆心C（1，）到直线kx－y＋（＋1）＝0的距离d＝＝r＝，解得k＝1.故切线方程为x－y＋（＋1）＝0.令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.
题型一 求圆的方程
例1 根据下列条件，求圆的方程.
（1）经过P（－2,4）、Q（3，－1）两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；
（2）圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：
x＋y－1＝0相切于点P（3，－2）.
解
（1）设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P、Q两点的坐标分别代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.
（2）方法一 如图，设圆心（x0，－4x0），依题意得＝1，
∴x0＝1，即圆心坐标为（1，－4），半径r＝2，
故圆的方程为（x－1）2＋（y＋4）2＝8.
方法二 设所求方程为（x－x0）2＋（y－y0）2＝r2，
根据已知条件得
解得
因此所求圆的方程为（x－1）2＋（y＋4）2＝8.
思维升华
（1）直接法：
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.
（2）待定系数法
①若已知条件与圆心（a，b）和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值.
（1）（2014·陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点（1,0）关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为____________.
（2）过点A（4,1）的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B（2，1），则圆C的方程为________________.
答案
（1）x2＋（y－1）2＝1
（2）（x－3）2＋y2＝2
解析
（1）由题意知圆C的圆心为（0,1），半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋（y－1）2＝1.
（2）由已知kAB＝0，
所以AB的中垂线方程为x＝3.①
过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－（x－2），即x＋y－3＝0，②
联立①②，
解得
所以圆心坐标为（3,0），
半径r＝＝，
所以圆C的方程为（x－3）2＋y2＝2.
题型二 与圆有关的最值问题
命题点1 斜率型最值问题
例2 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________，最小值为________.
答案 －
解析 如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点（2,0）为圆心，以为半径的圆.
设＝k，即y＝kx，
则圆心（2,0）到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.
由＝，解得k2＝3，
∴kmax＝，kmin＝－.
（也可由平面几何知识，得OC＝2，CP＝，∠POC＝60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°）
命题点2 截距型最值问题
例3 在例2条件下，求y－x的最小值和最大值.
解 设y－x＝b，则y＝x＋b，仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得＝，即b＝－2±，
故（y－x）min＝－2－，
（y－x）max＝－2＋.
命题点3 距离型最值问题
例4 在例2条件下，求x2＋y2的最大值和最小值.
解 x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值（如图）.
又因为圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是（2＋）2＝7＋4，
x2＋y2的最小值为（2－）2＝7－4.
思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
（1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.
（2）与圆上点（x，y）有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u＝型的最值问题，可转化为过点（a，b）和点（x，y）的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如（x－a）2＋（y－b）2型的最值问题，可转化为动点到定点（a，b）的距离平方的最值问题.
（1）设P是圆（x－3）2＋（y＋1）2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则PQ的最小值为________.
答案 4
解析 PQ的最小值为圆心到直线的距离减去半径.因为圆的圆心为（3，－1），半径为2，所以PQ的最小值d＝3－（－3）－2＝4.
（2）已知M为圆C：
x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q（－2,3）.
①求MQ的最大值和最小值；
②若M（m，n），求的最大值和最小值.
解 ①由圆C：
x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得（x－2）2＋（y－7）2＝8，
所以圆心C的坐标为（2,7），半径r＝2.
又QC＝＝4.
所以MQmax＝4＋2＝6，
MQmin＝4－2＝2.
②可知表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y－3＝k（x＋2），
即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.
由直线MQ与圆C有交点，
所以≤2，
可得2－≤k≤2＋，
所以的最大值为2＋，最小值为2－.
题型三 与圆有关的轨迹问题
例5 设定点M（－3,4），动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
解 如图所示，设P（x，y），N（x0，y0），则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，
故＝，＝.从而
又N（x＋3，y－4）在圆上，故（x＋3）2＋（y－4）2＝4.
因此所求轨迹为圆：
（x＋3）2＋（y－4）2＝4，
但应除去两点和（点P在直线OM上的情况）.
思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
①直接法：
直接根据题目提供的条件列出方程.
②定义法：
根据圆、直线等定义列方程.
③几何法：
利用圆的几何性质列方程.
④代入法：
找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
已知圆x2＋y2＝4上一定点A（2,0），B（1,1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点.
（1）求线段AP中点的轨迹方程；
（2）若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
解
（1）设AP的中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x－2,2y）.
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以（2x－2）2＋（2y）2＝4，
故线段AP中点的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.
（2）设PQ的中点为N（x，y），连结BN.
在Rt△PBQ中，PN＝BN.
设O为坐标原点，连结ON，则ON⊥PQ，
所以OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，
所以x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
19.利用几何性质巧设方程求半径
典例 在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程.
思维点拨 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法.
规范解答
解 一般解法 （代数法）曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为（0,1），与x轴的交点为（3＋2，0），（3－2，0），设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0），
则有解得
故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.
巧妙解
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