概率论与数理统计试题及答案要点.docx

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概率论与数理统计试题及答案要点

四、（6分）从1,1,2,3,3,3,4,4,5,6这10个数中随机取6个数，求取到的最大数是4的概率．

解：

设A表示事件“12名中国人彼此不同属相”，每个人的属相有12种可能，把观察每个人的属相看作一次试验，由乘法原理，这12个属相的所有可能排列数为1212，而事件A所包含的形式有种，则=0.000054。

　　五、（6分）3人独立地去破译一个密码，他们能破译的概率分别为若让他们共同破译的概率是多少？

解：

设Ai表示“第i人能译出密码”，i=1,2,3，A1，A2，A3相互独立，A表示“密码译出”，则

∴P（A）=1–P（

六、（10分）已知一批产品的次品率为4%，今有一种简化的检验方法，检验时正品被误认为是次品的概率为0.02，而次品被误认为是正品的概率为0.05，求通过这种检验认为是正品的一个产品确实是正品的概率．

解：

设A表示通过检验认为该产品为正品，B表示该产品确为正品

依题意有

七、（10分）假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品分别有20件，12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率．

解：

设B1、B2、B3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A1、A2分别表示第一、二次选出的为一等品，依题意，有

P（A1）=P（B1）P（|B1）+P（B2）P（A1|B2）+P（B3）P（A1|B3）

==0.467

P（）==0.220

　八、（10分）设．

　　1.若，求；2.若，求；3.若，求．

解：

1.P（B）=P（B）–P（AB）因为A，B互斥，故P（AB）=0，而由已知P（B）=

∴P（B）=P（B）=

2.∵P（A）=，由AB知：

P（AB）=P（A）=

∴P（B）=P（B）–P（AB）=–=

3.P（AB）=∴P（B）=P（B）–P（AB）=–=

九、（10分）一批产品10件，出厂时经两道检验，第一道检验质量，随机取2件进行测试，若合格，则进入第二道检验，否则认为这批产品不合格，不准出厂；第二道检验包装，随机取1件，若合格，则认为包装合格，准予出厂．两道检验中，1件合格品被认为不合格的概率为0.05，一件不合格品被认为合格的概率为0.01，已知这批产品中质量和包装均有2件不合格，求这批产品能出厂的概率．

解：

设表示报名表是第i个地区考生的（i=1,2,3），Aj表示第j次抽到的报名表是男生表（j=1,2），则

P（H1）=P（H2）=P（H3）=

P（A|）=；P（A|H）=；P（A1|H3）=

（1）=P（）=

（2）由全概率公式得P（A2|H1）=，P（A2|H2）=，P（A2|H3）=

P（A2|H1）=，P（A|H2）=，P（A2|H3）=

P（A2）=

P（A2）=

因此，

十、（8分）设，试证事件与相互独立．

证明：

∵0

∴P（A|B）=

又∵P（A|B）+P=1

∴

化简，得：

P（AB）=P（A）P（B）

∴事件A、B相互独立

三、（12分）随机变量的概率密度为，试求

（1）系数；

（2）的分布函数；（3）落在内的概率．

解

（1）∵=1,即=1

∴

（2）当x<-时,F（x）=0

当|x|≤时，

当x≥时，=1

∴

（3）

四、（12分）假设一设备开机后无故障工作的时间服从参数为的指数分布．设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2h便关机，试求设备每次开机无故障工作的时间的分布函数．

解：

（1）∵X可能的取值为0,1,2,3

设Ai={第i个元件出故障）i=1,2,3

∴

=（1-0.2）（1-0.3）（1-0.5）=0.28

=

=0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5+0.8×0.7×0.5=0.47

同理P（X=2）=P（=0.22

=0.03

∴X的分布律：

X

0

1

2

3

P

0.28

0.47

0.22

0.03

（2）由

（1）及分布函数的定义知

当x<0时，F（x）=0

当0≤x<1时，F（x）=P（X=0）=0.28

当1≤x<2时，F（x）=P（X=0）+P（X=1）=0.75

当2≤x<3时，F（x）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=0.97

当x≥3时，F（x）=P（X=0）+P（X=1）+PX=2）+P（X=3）=1

∴其图为

五、（10分）随机变量的概率密度为；求的概率密度．

、解：

分别记X，Y的分布函数为FX（x），FY（y）

由于y=x2≥0，故当y≤0时，FY（y）=0

当y=x2>0时,有FY（y）=P（Y≤y）=P（X2≤y）=P（-≤X≤）

=

将FY（y）关于y求导数，即得y的概率密度为

∴

六、（12分）随机变量和均服从区间[0，1]上的均匀分布且相互独立．

1．写出二维随机变量（）的边缘概率密度和联合概率密度．2．求．

解：

（1）由题意得：

又∵X,Y相互独立

∴f（x,y）=fX（x）fY（y）=

（2）

==

七、（12分）已知随机变量的分布律为:

-1

0

1

1/4

1/2

1/4

0

1

1/2

1/2

且已知．

（1）求（）的联合分布律；

（2）是否相互独立？

为什么？

解：

（1）由P（XY=0）=1，可见

P{X=-1,Y=1}=P{X=1,Y=1}=0

易见

=0

于是，得X和Y的联合分布：

X

Y

-1

0

1

0

0

1

0

0

（2）∵P（X=0,Y=0）=0而P（X=0）P（Y=0）=

∴P（X=0）P（Y=0）≠P（X=0,Y≠0）

∴X,Y不独立

八、（12分）设是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为:

求随机变量的概率密度函数．

设Z的密度函数为fZ（z），则由卷积公式得

a）当z<0时，f（t）=0，∴f（z）=0

b）当0≤z<1时，z-1<0，z≥0

c）当z≥1时，z-1≥0

综述：

四、（10分）设随机变量（）的概率密度为：

求数学期望及，方差及，协方差及相关系数．

、解：

E（X）=

；

E（Y）=

；

∵E（X2）=

，

∴D（X）=E（X2）–[E（X）]2=；

又∵E（Y2）=

=

∴D（Y）=E（Y2）–[E（Y）]2=；

又∵E（XY）=

，

∴cov（X,Y）=E（XY）–E（X）·E（Y）=；

。

五、（10分）设有甲、乙两种投资证券，其收益分别为随机变量，已知均值分别为，风险分别为，相关系数为，现有资金总额为（设为1个单位）．怎样组合资金才可使风险最小？

解：

E（X）=

=…=；

∵E（X2）=

=

=（m+2）（m+1）

∴D（X）=E（X2）–[E（X）]2=（m+2）（m+1）–（m+1）2=m+1。

六、（10分）设随机变量的分布密度为，求和．

解：

由

得：

a=6；这时，f（x）=，

E（X）=；

D（X）=E（X2）–[E（X）]2=；

=。

七、（10分）设随机变量与相互独立，且均服从密度为，的分布，求

（1）+的分布密度；

（2）求．

解：

由于X与Y相互独立，

（1）应用卷积公式，有Z=X+Y的分布密度

fZ（z）=

考虑到fX（x）仅在x>0时有非零值，fY（z–x）仅在z–x>0，即x0时

f（z）=，

即f（z）=。

（2）E（XY）=E（X）·E（Y）=1×1=1（∵X、Y均服从=1的指数分布）。

八、（10分）设随机变量服从泊松分布，，证明：

．

证明：

∵X～（），且E（X）=6=，则D（X）==6

根据切比雪夫不等式，有

P{3

九、（10分）为连续型随机变量，概率密度满足：

当时，，证明：

．

证明：

∵a≤x≤b，

∴a=a

。

容易证明D（X）≤E{（x–c）2}，取c=

∴D（X）≤

≤=。

三、计算题（满分60分）

1.某商店拥有某产品共计12件，其中4件次品，已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品的概率。

2.设某种电子元件的寿命服从正态分布N（40，100），随机地取5个元件，求恰有两个元件寿命小于50的概率。

（，）

令，则.因此.

3.在区间（0，1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于”的概率。

所以故.

4.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.2，0.3，0.4，各部件的状态相互独立，求需要调整的部件数X的期望EX和方差DX。

.，.

5.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2％的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差。

（

，而，故

，，，.

6.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？

并给出检验过程。

（，）

，设，则

，故拒绝域为,即.

由于不在拒绝域内，故接受，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.

四、证明题

1.设A，B是两个随机事件，0

A与B相互独立。

，

所以.

2.设总体X服从参数为的泊松分布，是X的简单随机样本，试证：

是的无偏估计。

，，故，因此是的无偏估计.

五、（10分）设随机变量具有密度函数，＜x＜，求X的数学期望和方差.

解，（因为被积函数为奇函数）--------------------------4分

----------------------------------------10分

六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求.

x00.511.522.53

Ф（x）0.5000.6910.8410.9330.9770.9940.999

解X～b（k;100,0.20）,EX=100×0.2=20,DX=100×0.2×0.8=16.----5分

---------------------------10分

=0.994+0.933--1

.--------------------------------------------------15分

七、（15分）设是来自几何分布:

的样本，试求未知参数的极大似然估计.

解----------5分

--------------------------------10分

解似然方程，

得的极大似然估计。

--------------------------------------------------------------------15分

.

三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求

（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；

（2）