二次函数的知识点题型整理.docx

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二次函数的知识点题型整理

二次函数的知识点整理

知识考点梳理

考点一、二次函数的概念和图像

1、二次函数的概念

一般地，如果，那么叫做的二次函数。

叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法

五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线与坐标轴的交点：

当抛物线与轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与轴的交点C，再找到点C的对称点D。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与轴的交点C及对称点D。

由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

考点二、二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：

（2）顶点式：

（3）交点式：

当抛物线与轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。

如果没有交点，则不能这样表示。

考点三、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。

如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，随的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。

考点四、二次函数的性质

1、二次函数的图像与性质

二次函数

a>0

a<0

y

0x

y

0x

（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；

（2）对称轴是，顶点坐标是（，）；

（3）在对称轴的左侧，即当时，随的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，随的增大而增大，简记左减右增；

（4）抛物线有最低点，当时，有最小值，

（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；

（2）对称轴是，顶点坐标是（，）；

（3）在对称轴的左侧，即当x<时，随的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，随的增大而减小，简记左增右减；

（4）抛物线有最高点，当时，有最大值，

2、二次函数中，的含义：

表示开口方向：

时，抛物线开口向上

时，抛物线开口向下

与对称轴有关：

对称轴为

表示抛物线与y轴的交点坐标：

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与轴是否有交点。

当时，图像与轴有两个交点；

当时，图像与轴有一个交点；

当时，图像与轴没有交点。

补充：

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）

y

如图：

点A坐标为点B坐标为

则AB间的距离，即线段AB的长度为A

0x

B

2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）

左加右减、上加下减

二次函数的精典题型整理

1.如果将函数的图像向上平移2个单位，那么所得图像的函数解析式是.

2.已知函数图像上点（2，n）与（3，m），则nm.（填“>,<，或无法确定”）

3．已知抛物线，点A（2，m）与点B（n，4）关于该抛物线的对称轴对称，那么m+n的值等于．

4．己知二次函数图像沿轴向下平移4个单位后，得到的函数图象的解析式为．

5.在直角坐标系中，一条抛物线的开口向下，且对称轴在轴左侧，如果点和在抛物线上，则．（填“>，<或=”）

（黄埔2010）20.已知二次函数的图像经过点与.

（1）求此函数的解析式；

（2）用配方法求此函数图像的顶点坐标.

（杨浦区）20．（本题满分10分）

已知二次函数的图像经过点（-1，3）、（1，3）和（2，6），求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的顶点坐标和对称轴．

（卢湾区2011）已知抛物线与轴交于点，点是抛物线上的点，且满足∥轴，点是抛物线的顶点.

（1）求抛物线的对称轴及点坐标；

（2）若抛物线经过点，求抛物线的表达式；

（3）对

（2）中的抛物线，点在线段上，若以点、、为顶点的三角形与相似，试求点的坐标.

（嘉定区2010）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点在第二象限，，（如图11），一个二次函数的图像经过点、．

（1）试确定点的坐标；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）设这个二次函数图像的顶点为，△绕着点按顺

时针方向旋转，点落在轴的正半轴上的点，点落在点

上，试求的值．

（奉贤区2010）24．（本题满分12分，第

（1）小题6分，第

（2）小题6分）

如图，已知抛物线与轴交于点，，与y轴交于点．

（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）设直线CD交轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否

存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？

如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（闸北2011）24．（本题满分12分）

小强在一次投篮训练中，从距地面高1.55米处的O点投出一球向篮圈中心A点投去，球的飞行路线为抛物线，当球达到离地面最大高度3.55米时，球移动的水平距离为2米．现以O点为坐标原点，建立直角坐标系（如图13所示），测得OA与水平方向OC的夹角为30o，A、Ｃ两点相距1.5米．

（1）求点A的坐标；

（2）求篮球飞行路线所在抛物线的解析式；

（3）判断小强这一投能否把球从O点直接投入篮圈

A点（排除篮板球），如果能的，请说明理由；

如果不能，那么前后移动多少米，就能使刚才

那一投直接命中篮圈A点了．（结果可保留根号）

（徐汇区2011）

（长宁区）

22.（本题满分10分）

如图，在平面直角坐标系中，，且，．

（1）分别过点、作轴的垂线，垂足是、．求证；△∽△．

（2）求点的坐标；

（3）设过、、三点的抛物线的对称轴为直线，在直线上求点，使得．