答案 D
4．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为（ ）
A．1B．0C．1或0D．1或3
解析 验证知，当k＝0时，有⇒适合题意．
当k＝1时，有解得也适合题意，
∴k＝0或1.
答案 C
5．已知曲线＋＝1和直线ax＋by＋1＝0（a，b为非零实数）在同一坐标系中，它们的图象可能为（ ）
A． B． C． D.
解析 直线ax＋by＋1＝0中，与x轴的交点为P（－，0），与y轴的交点为（0，－），在图A，B中，曲线表示椭圆，则a>b>0，直线与坐标轴负半轴相交，图形不符合．
在图C中，a>0，b<0，曲线为双曲线，直线与x轴负半轴相交，与y轴正半轴相交，适合．
答案 C
6．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是（ ）
A．x2＝y－B．x2＝2y－
C．x2＝2y－1D．x2＝2y－2
解析 由y＝x2⇒x2＝4y，焦点F（0,1），设PF中点为Q（x，y），P（x0，y0），则
∴又P（x0，y0）在抛物线上，
∴（2x）2＝4（2y－1），即x2＝2y－1.
答案 C
7．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 将方程mx2＋ny2＝1变形为＋＝1，它表示焦点在y轴上的椭圆的充要条件是
⇔⇔m>n>0.
答案 C
8．如图正方体A1B1C1D1－ABCD的侧面AB1内有动点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在的曲线的形状为（ ）
解析 点P到B1的距离等于到AB的距离，符合抛物线的定义．∵点P在正方形ABB1A1内运动，当P在BB1的中点适合，当点P与A1重合时，也适合，因此选C.
答案 C
9．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过点（ ）
A．（4,0）B．（2,0）
C．（0,2）D．（0，－2）
解析 直线x＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点（2,0）．
答案 B
10．设F1和F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为（ ）
A．1B.
C．2D.
解析 由题设知
②－①2得|PF1|·|PF2|＝2.
∴△F1PF2的面积S＝|PF1|·|PF2|＝1.
答案 A
11．从椭圆＋＝1（a>b>0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）
A.B.
C.D.
解析 由已知，点P（－c，y）在椭圆上，代入椭圆方程得P.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP.即－＝－，∴b＝c.又a2＝b2＋c2＝2c2，∴e2＝＝，e＝.
答案 C
12．O为坐标原点，F为抛物线C：
y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为（ ）
A．2B．2
C．2D．4
解析 由y2＝4x知，抛物线的焦点F（，0），准线x＝－，如图．
由抛物线的定义知|PF|＝|PM|，
又|PF|＝4，∴xP＝3.
代入y2＝4x，求得yP＝2.
∴S△POF＝·|OF|·yP＝××2＝2.
答案 C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上）
13．已知双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为________________．
解析 ∵e2＝＝＝1＋＝，
∴＝，＝.
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案 y＝±x
14．设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程为________．
解析 双曲线－＝1的焦点为F1（－1,0），F2（1,0）．离心率e＝.设椭圆的方程为＋＝1，依题意得∴a2＝2，b2＝1.
故椭圆方程为＋y2＝1.
答案 ＋y2＝1
15．设F1，F2是双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．
解析 依题意及双曲线的对称性，不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得
|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＋|PF2|＝6a，
解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
而|F1F2|＝2c.∠PF1F2＝30°，
∴在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝
|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，
即4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×，
即3a2－2ac＋c2＝0.
又e＝，得e2－2e＋3＝0，
∴e＝.
答案
16．过抛物线y2＝4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P，Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积等于__________．
解析 设P（x1，y1），Q（x2，y2），F为抛物线焦点，由得y2＋4y－4＝0，
∴|y1－y2|＝
＝＝4.
∴S△POQ＝|OF||y1－y2|＝2.
答案 2
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）求与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程．
解 把方程4x2＋9y2＝36写成＋＝1，则其焦距2c＝2，∴c＝.
又e＝＝，∴a＝5.
b2＝a2－c2＝52－5＝20，
故所求椭圆的方程为＋＝1，或＋＝1.
18．（12分）已知直线x＋y－1＝0与椭圆x2＋by2＝相交于两个不同点，求实数b的取值范围．
解 由得（4b＋4）y2－8y＋1＝0.
因为直线与椭圆相交于不同的两点，
所以，解得b＜3，且b≠－1.
又方程x2＋by2＝表示椭圆，所以b＞0，且b≠1.
综上，实数b的取值范围是{b|0＜b＜3且b≠1}．
19．（12分）已知双曲线中心在原点，且一个焦点为（，0），直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为－，求此双曲线的方程．
解 设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），依题意c＝，∴方程可以化为－＝1，
由得
（7－2a2）x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝，
∵＝－，
∴＝－，解得a2＝2.
∴双曲线的方程为－＝1.
20．（12分）如图线段AB过x轴正半轴上一定点M（m,0），端点A，B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线．
（1）求抛物线方程；
（2）若·＝－1，求m的值．
解
（1）设直线AB为y＝k（x－m），抛物线方程为y2＝2px.
由消去x，得
ky2－2py－2pkm＝0.
∴y1·y2＝－2pm.
又∵y1·y2＝－2m，∴p＝1，
∴抛物线方程为y2＝2x.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
则＝（x1，y1），＝（x2，y2）．
则·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝m2－2m.
又·＝－1，
∴m2－2m＝－1，解得m＝1.
21．（12分）已知双曲线x2－y2＝4，直线l：
y＝k（x－1），试讨论实数k的取值范围，使：
（1）直线l与双曲线有两个公共点；
（2）直线l与双曲线有且只有一个公共点；
（3）直线l与双曲线没有公共点．
解 由消去y得x2－k2（x－1）2＝4，
即（1－k2）x2＋2k2x－4－k2＝0.（*）
当1－k2≠0时，Δ＝16－12k2＝4（4－3k2）．
（1）当即－＜k＜，且k≠±1时，方程（*）有两个不同的实数解；
（2）当即k＝±时，方程（*）有两个相同的实数解；
（3）当即k＜－，或k＞时，方程（*）无实数解．
而当k＝±1时，方程（*）变形为2x－5＝0，x＝，方程（*）也只有一解．
∴当－＜k＜－1，或－1＜k＜1，或1＜k＜时，直线与双曲线有两个公共点；
当k＝±1，或k＝±时，直线与双曲线有且只有一个公共点；
当k＜－，或k＞时，直线与双曲线没有公共点．
22．（12分）如图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°.曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.
（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（2）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E，F.若△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围．
解
（1）以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（－2,0），B（2,0），D（0,2），P（，1），依题意得
||MA|－|MB||
＝|PA|－|PB|
＝－
＝2<|AB|＝4，
∴曲线C是以原点为中心，A，B为焦点的双曲线．
设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则c＝2,2a＝2，
∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.
∴曲线C的方程为－＝1.
（2）依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理得（1－k2）x2－4kx－6＝0.①
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E，F，
∴⇒
∴k∈（－，－1）∪（－1,1）∪（1，）．②
设E（x1，y1），F（x2，y2），则由①式得
x1＋x2＝，x1x2＝－，于是
|EF|＝
＝
＝·
＝·.
而原点O到直线l的距离d＝，
∴S△OEF＝d·|EF|
＝···
＝.
若△OEF面积不小于2，即S△OEF≥2，则有
≥2⇔k4－k2－2≤0，
解得－≤k≤.③
综合②③知，直线l的斜率的取值范围为
[－，－1）∪（－1,1）∪（1，]．
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