毕节专版中考数学复习 专题8 二次函数与几何图形的综合精讲试题.docx

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毕节专版中考数学复习专题8二次函数与几何图形的综合精讲试题

专题八　二次函数与几何图形的综合

毕节中考备考攻略

二次函数与几何的综合问题一般作为压轴题呈现,具有知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、综合性强、解题方法灵活等鲜明特点,同时题型变化多样,如求线段的长、求图形的面积、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性、相似三角形的存在性等等.

1.二次函数与线段的长

（1）一般设抛物线上点的横坐标为x,纵坐标为抛物线解析式,与之相关的点的横坐标也为x,纵坐标为直线解析式,两点纵坐标之差的绝对值即为线段的长度；

（2）建立关于线段长的二次函数,通过求二次函数的最值进而求线段长的最值；

（3）线段长之和最小的问题,转化为对称点后用两点之间线段最短解决.

2.二次函数与图形的面积

（1）根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积；

（2）通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型,并掌握二次函数中面积问题的相关计算,从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用；

（3）利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段长,利用割补方法求图形的面积.

3.二次函数与特殊三角形

（1）判断等腰三角形,可以对顶点进行分类讨论；

（2）判断直角三角形,可以对直角顶点进行分类讨论.

4.二次函数与特殊四边形

此类题型结合特殊四边形的判定方法,对对应边进行分类讨论,求平行四边形存在类问题用平移法解坐标较简单,其他特殊的平行四边形结合判断方法用边相等、角为直角或对角线的交点坐标突破.

5.二次函数与相似三角形

结合相似三角形判定方法,如果一个角为直角,只需两直角边之比分别相等,此时要对对应边分类讨论.

中考重难点突破

　二次函数与线段的长

例1　（2018·遂宁中考改编）如图,已知抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3,且与x轴相交于A,B两点（B点在A点右侧）,与y轴交于C点.

（1）求抛物线的解析式和A,B两点的坐标；

（2）若M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN＝3时,求点M的坐标.

【解析】

（1）由抛物线的对称轴x＝3,利用二次函数的性质即可得到a的值,进而可得出抛物线的解析式,再利用抛物线与x轴交点的纵坐标为0可求出点A,B的坐标；

（2）根据二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标.由点B,C的坐标,利用待定系数法可得直线BC的解析式.设点M的横坐标为m,可表示点M的纵坐标.又由MN∥y轴,可表示出点N的横纵坐标,进而可用m的代数式表示出MN的长,结合MN＝3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程,分类讨论即可得出结果.

【答案】解：

（1）∵抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3,∴－＝3,解得a＝－,

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4.

当y＝0时,－x2＋x＋4＝0,

解得x1＝－2,x2＝8.

∴点A的坐标为（－2,0）,点B的坐标为（8,0）；

（2）当x＝0时,y＝－x2＋x＋4＝4,

∴点C的坐标为（0,4）.

设直线BC的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.

将B（8,0）,C（0,4）代入y＝kx＋b,得

解得

∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.

设点M的坐标为,则点N的坐标为,

∴MN＝

＝.

又∵MN＝3,∴＝3.

当－m2＋2m≥0,即0≤m≤8时,－m2＋2m＝3,解得m1＝2,m2＝6,

此时点M的坐标为（2,6）或（6,4）.

同理,当－m2＋2m＜0,即m>8或m<0时,点M的坐标为（4－2,－1）或（4＋2,－－1）.

综上所述,点M的坐标为（2,6）,（6,4）,（4－2,－1）或（4＋2,－－1）.

1.（2018·安顺中考改编）如图,已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝－1,且抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A（1,0）,C（0,3）.

（1）若直线y＝mx＋n经过B,C两点,求直线BC和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标.

解：

（1）依题意,得

解得

∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.

令y＝0,则－x2－2x＋3＝0,

解得x1＝1,x2＝－3,

∴点B（－3,0）.

把B（－3,0）,C（0,3）代入y＝mx＋n,得

解得

∴直线BC的解析式为y＝x＋3；

（2）设直线BC与x＝－1的交点为M,连接AM.

∵点A,B关于抛物线的对称轴对称,

∴MA＝MB,

∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC,

∴当点M为直线BC与x＝－1的交点时,MA＋MC的值最小.

把x＝－1代入y＝x＋3,得y＝2,

∴M（－1,2）.

　二次函数与图形的面积

例2　（2018·达州中考改编）如图,抛物线经过原点O（0,0）,A（1,1）,B（,0）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接OA,过点A作AC⊥OA交抛物线于点C,连接OC,求△AOC的面积.

【解析】

（1）设交点式y＝ax,然后把A点坐标代入求出a,即可得到抛物线的解析式；

（2）延长CA交y轴于点D,易得OA＝,∠DOA＝45°,则可判断△AOD为等腰直角三角形,由此可求出D点坐标,利用待定系数法求出直线AD的解析式,再结合抛物线的解析式可得关于x的一元二次方程,解方程可得点C的坐标,利用三角形面积公式及S△AOC＝S△COD－S△AOD进行计算,进而得出△AOC的面积.

【答案】解：

（1）设抛物线的解析式为y＝ax.

把A（1,1）代入y＝ax,可得a＝－,

∴抛物线的解析式为y＝－x,

即y＝－x2＋x；

（2）延长CA交y轴于点D.

∵A（1,1）,∠OAC＝90°,

∴OA＝,∠DOA＝45°,

∴△AOD为等腰直角三角形,

∴OD＝OA＝2,∴D（0,2）.

由点A（1,1）,D（0,2）,得直线AD的解析式为y＝－x＋2.

令－x2＋x＝－x＋2,解得x1＝1,x2＝5.

当x＝5时,y＝－x＋2＝－3,∴C（5,－3）,

∴S△AOC＝S△COD－S△AOD＝×2×5－×2×1＝4.

2.（2018·眉山中考改编）如图,已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（0,3）,B（1,0）,其对称轴为直线l：

x＝2,过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上,连接PE,PO,当m为何值时,四边形AOPE的面积最大？

并求出其最大值.解：

（1）由抛物线的对称性易得D（3,0）,设抛物线的解析式为y＝a（x－1）（x－3）.

把A（0,3）代入y＝a（x－1）（x－3）,得3＝3a,

解得a＝1,

∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；

（2）由题意知P（m,m2－4m＋3）.

∵OE平分∠AOB,∠AOB＝90°,

∴∠AOE＝45°,

∴△AOE是等腰直角三角形,

∴AE＝OA＝3,

∴E（3,3）.

易得OE的解析式为y＝x.

过点P作PG∥y轴,交OE于点G,则G（m,m）,

　∴PG＝m－（m2－4m＋3）＝－m2＋5m－3.

∴S四边形AOPE＝S△AOE＋S△POE

＝×3×3＋PG·AE

＝＋×（－m2＋5m－3）×3

＝－m2＋m

＝－＋.

∵－＜0,

∴当m＝时,四边形AOPE的面积最大,最大值是.

　二次函数与特殊三角形

例3　（2018·枣庄中考改编）如图,已知二次函数y＝ax2＋x＋c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0,4）,与x轴交于点B,C,点C坐标为（8,0）,连接AB,AC.

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标.

【解析】

（1）根据待定系数法即可得出答案；

（2）分别以A,C两点为圆心,AC长为半径画弧,与x轴交于三个点,由AC的垂直平分线与x轴交于一个点,即可求得点N的坐标.

【答案】解：

（1）∵二次函数y＝ax2＋x＋c的图象与y轴交于点A（0,4）,与x轴交于点C（8,0）,

∴解得

∴二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋4；

（2）∵A（0,4）,C（8,0）,

∴AC＝＝4.

①以点A为圆心,AC长为半径作圆,交x轴于点N,则AN＝AC,故△NAC是以NC为底边的等腰三角形,此时N点坐标为（－8,0）；

②以点C为圆心,AC长为半径作圆,交x轴于点N,则CN＝CA,故△ACN是以NA为底边的等腰三角形,此时N点坐标为（8－4,0）或（8＋4,0）；

③作AC的垂直平分线,交x轴于点N,则NA＝NC,故△ANC是以AC为底边的等腰三角形,此时点N为BC的中点.令y＝－x2＋x＋4＝0,解得x1＝8,x2＝－2,此时N点坐标为（3,0）.

综上所述,点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标为（－8,0）,（8－4,0）,（3,0）或（8＋4,0）.

3.（2018·兰州中考）如图,抛物线y＝ax2＋bx－4经过A（－3,0）,B（5,－4）两点,与y轴交于点C,连接AB,AC,BC.

（1）求抛物线的表达式；

（2）求证：

AB平分∠CAO；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形？

若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.

（1）解：

将A（－3,0）,B（5,－4）代入y＝ax2＋bx－4,得

解得

∴抛物线的表达式为y＝x2－x－4；

（2）证明：

∵AO＝3,OC＝4,

∴AC＝5.

取D（2,0）,则AD＝AC＝5.

由两点间的距离公式可知BD＝＝5.∵C（0,－4）,B（5,－4）,∴BC＝5.

∴AD＝AC＝BD＝BC.

∴四边形ACBD是菱形,

∴∠CAB＝∠BAD,∴AB平分∠CAO；

（3）解：

如图,抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F,

过点A,B分别作M′A⊥AB,MB⊥AB,交对称轴于点M′,M.

抛物线的对称轴为x＝,

AE＝.

∵A（－3,0）,B（5,－4）,∴tan∠EAB＝.

∵∠M′AB＝90°,∴tan∠M′AE＝2.∴M′E＝2AE＝11,∴M′.

同理,tan∠MBF＝2.

又∵BF＝,∴FM＝5,∴M.

综上所述,抛物线的对称轴上存在点M或,使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形.

　二次函数与四边形

例4　（2018·河南中考改编）如图,抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y＝x－5经过点B,C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M,当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P（不与点B,C重合）,作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标；【解析】

（1）利用直线BC的解析式确定点B,C的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）先利用抛物线的解析式求出A点坐标,再判断△OCB为等腰直角三角形,继而得到∠OBC＝∠OCB＝45°,则△AMB为等腰直角三角形,进而求出点M的坐标,根据抛物线和直线BC的解析式设点P,Q的坐标,根据平行四边形的对角线互相平分,即可列出等式方程,解方程即可得到点P的横坐标.

【答案】解：

（1）当x＝0时,y＝－5,则C（0,－5）.

当y＝0时,y＝x－5＝0,解得x＝5,则B（5,0）.

把B（5,0）,C（0,－5）代入y＝ax2＋6x＋c,得

解得

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋6x－5；

（2）令y＝－x2＋6x－5＝