中考数学压轴题提高练习题详解答案.docx

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中考数学压轴题提高练习题详解答案

2011年中考数学压轴题提高练习题

1、（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：

（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；

（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。

（1）若y与x的关系是y＝x＋p（100－x），请说明：

当p＝时，这种变换满足上述两个要求；

（2）若按关系式y=a（x－h）2＋k　（a>0）将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。

（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）

【解】

（1）当P=时，y=x＋,即y=。

∴y随着x的增大而增大，即P=时，满足条件（Ⅱ）……3分

又当x=20时，y==100。

而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=时，这种变换满足要求；……6分

（2）本题是开放性问题，答案不唯一。

若所给出的关系式满足：

（a）h≤20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。

如取h=20,y=,……8分

∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大…10分

令x=20,y=60，得k=60　①

令x=100,y=100，得a×802＋k=100②

由①②解得，∴。

………14分

2、（常州）已知与是反比例函数图象上的两个点．

（1）求的值；

（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？

若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（1）由，得，因此．2分

（2）如图1，作轴，为垂足，则，，，因此．

由于点与点的横坐标相同，因此轴，从而．

当为底时，由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点，

故不符题意．3分

当为底时，过点作的平行线，交双曲线于点，

过点分别作轴，轴的平行线，交于点．

由于，设，则，，

由点，得点．

因此，

解之得（舍去），因此点．

此时，与的长度不等，故四边形是梯形．5分

如图2，当为底时，过点作的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为．

由于，因此，从而．作轴，为垂足，

则，设，则，

由点，得点，

因此．

解之得（舍去），因此点．

此时，与的长度不相等，故四边形是梯形．7分

如图3，当过点作的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为时，

同理可得，点，四边形是梯形．9分

综上所述，函数图象上存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形，点的坐标为：

或或．10分

3、（福建龙岩）如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：

若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由．

解：

（1）抛物线的对称轴………2分

（2）…………5分

把点坐标代入中，解得………6分

…………………………………………7分

（3）存在符合条件的点共有3个．以下分三类情形探索．

设抛物线对称轴与轴交于，与交于．

过点作轴于，易得，，，

1以为腰且顶角为角的有1个：

．

8分

在中，

9分

②以为腰且顶角为角的有1个：

．

在中，10分

11分

③以为底，顶角为角的有1个，即．

画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点．

过点作垂直轴，垂足为，显然．

．

于是13分

14分

注：

第（3）小题中，只写出点的坐标，无任何说明者不得分．

4、（福州）如图12，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．

（1）求的值；

（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；

（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．

解：

（1）∵点A横坐标为4,∴当=4时，=2.

∴点A的坐标为（4，2）.

∵点A是直线与双曲线（k>0）的交点,

∴k=4×2=8.

（2）解法一：

如图12-1，

∵点C在双曲线上，当=8时，=1

∴点C的坐标为（1,8）.

过点A、C分别做轴、轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON.

S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4.

S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15.

解法二：

如图12-2，

过点C、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，

∵点C在双曲线上，当=8时，=1.

∴点C的坐标为（1,8）.

∵点C、A都在双曲线上,

∴S△COE=S△AOF=4。

∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF.

∴S△COA=S梯形CEFA.

∵S梯形CEFA=×（2+8）×3=15,

∴S△COA=15.

（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形,

∴OP=OQ，OA=OB.

∴四边形APBQ是平行四边形.

∴S△POA=S平行四边形APBQ=×24=6.

设点P的横坐标为（>0且）,

得P（,）.

过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，

∵点P、A在双曲线上，∴S△POE=S△AOF=4.

若0＜＜4，如图12-3，

∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF,

∴S梯形PEFA=S△POA=6.

∴.

解得=2，=-8（舍去）.

∴P（2，4）.

若＞4，如图12-4，

∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE,

∴S梯形PEFA=S△POA=6.

∴，

解得=8，=-2（舍去）.

∴P（8，1）.

∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）.

5、（甘肃陇南）如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，点P是它的

顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1．

（1）求、的值；

（2）求直线PC的解析式；

（3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线

PC的位置关系，并说明理由．（参考数：

，，）

解：

（1）由已知条件可知：

抛物线经过A（-3，0）、B（1，0）两点．

∴……………………………………2分

解得．………………………3分

（2）∵，∴P（-1，-2），C．…………………4分

设直线PC的解析式是，则解得．

∴直线PC的解析式是．…………………………6分

说明：

只要求对，不写最后一步，不扣分．

（3）如图，过点A作AE⊥PC，垂足为E．

设直线PC与轴交于点D，则点D的坐标为（3，0）．………………………7分

在Rt△OCD中，∵OC=，，

∴．…………8分

∵OA=3，，∴AD=6．…………9分

∵∠COD=∠AED=90o，∠CDO公用，

∴△COD∽△AED．……………10分

∴，即．∴．…………………11分

∵，

∴以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离．…………12分

6、（贵阳）如图14，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形．

（1）求这个扇形的面积（结果保留）．（3分）

（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？

请说明理由．（4分）

（3）当的半径为任意值时，

（2）中的结论是否仍然成立？

请说明理由．（5分）

解：

（1）连接，由勾股定理求得：

1分

2分

（2）连接并延长，与弧和交于，

1分

弧的长：

2分

圆锥的底面直径为：

3分

，不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．4分

（3）由勾股定理求得：

弧的长：

1分

圆锥的底面直径为：

2分

且

3分

即无论半径为何值，4分

不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．

7、（河南）如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？

若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

8、（湖北黄岗）已知：

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，设秒后，直线PQ交OB于点D.

（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（3）当时，求t的值及此时直线PQ的解析式；

（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与相似？

当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与不相似？

请给出你的结论，并加以证明.

9、（湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．

（1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；

（2）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；

（3）在

（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？

若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

解：

（1）由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．

∴Rt△POE∽Rt△BPA．…………………………………………………………2分

∴．即．∴y=（0＜x＜4）．

且当x=2时，y有最大值．…………………………………………………4分

（2）由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P（1，0），E（0，1），B（4，3）．……6分

设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则∴

y=．…………………………………………………………8分

（3）由

（2）知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．……………………9分

直线PB为y=x－1，与y轴交于点（0，－1）．

将PB向上平移2个单位则过点E（0，1），

∴该直线为y=x＋1．……………………………………………………………10分

由得∴Q（5，6）．

故该抛物线上存在两点Q（4，3）、（5，6）满足条件．……………………………12分