第四章 大数定律与中心极限定理答案教材.docx

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第四章大数定律与中心极限定理答案教材

第四章大数定律与中心极限定理答案

一、单项选择

1.设为标准正态分布函数，，且，相互独立。

令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（）

（A）（B）Ф（C）（D）

答案：

D

二、填空

1.设的期望和方差分别为和，则由切比雪夫不等式可估计。

答案：

2．设随机变量和的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式，有________．

答案：

3．已知随机变量的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计落在6到18之间的概率为________．与3到21之间

解由题意得，

由切比雪夫不等式得

4．已知随机变量的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计落在3到21之间的概率为________．

解由题意得，

由切比雪夫不等式得

5．假定生男孩、生女孩的概率均为0.5，用切比雪夫不等式估计200个新生婴儿中男孩在80个到120个之间的概率为________．

解设表示在200个新生婴儿中男孩的个数,则

其中,则

由切比雪夫不等式得

6．用切比雪夫不等式估计下题的概率:

废品率为0.03,求1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率为________.

答案：

0.709

7．用切比雪夫不等式估计下题的概率:

求200个新生婴儿中,男孩多于80个且少于120个的概率为________.

（假定生女孩和生男孩的概率均为0.5.）

答案：

0.875

8．设随机变量，由切比雪夫不等式可得.

答案：

三、计算题

1．现有一批种子,其中良种占,今任取6000粒种子,试以0.99的概率推断在这6000粒种子中良种占的比例与的差是多少?

相应的良种数在哪个范围内?

解用随机变量表示第粒种子,用表示第粒种子为良种,

用表示第粒种子不是良种,

则是相互独立同分布的随机变量序列,表示这6000粒种子中良种的粒数,记,

则

则由独立同分布的中心极限定理得

根据题意,令.即有,

查正态分布表得,

并由

得

因此,以0.99的概率推断在这6000粒种子中良种占的比例与的差是0.0124.这时,相应的良种粒数在925粒到1015粒之间.

2．某单位有120个电话分机，每个分机有5%的时间使用外线，假设各分机使用外线与否是相互独立的，试用中心极限定理计算，使用外线的分机个数在6个到12个之间的概率.

（已知）（8分）

解：

～B（n,p）,其中n=120,p=5%

E=6,D=5.7,

由中心极限定理，得

P（6<<12）=

==0.493963

3.（10分）一大批种子，良种占，从中任选5000粒。

试计算其良种率与之差小于的概率。

（用表示）

解设表示在任选5000粒种子中良种粒数，则，其中，，则，

由中心极限定理得，良种率与之差小于的概率为

4已知生男孩的概率为0.515,求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率.

解设为10000个新生婴儿中男孩的个数,则

其中.10000个新生婴儿中女孩不少于男孩,

即由DeMovire-Laplace中心极限定理,得新生婴儿中女孩不少于男孩的概率

5试利用

（1）切比雪夫不等式;

（2）中心极限定理分别确定投掷一枚均匀硬币的次数,使得出现”正面向上”的频率在0.4到0.6之间的概率不小于0.9.

解设表示投掷一枚均匀硬币n次出现”正面向上”的次数,则

则其中,则

（1）利用切比雪夫不等式求解

由此得

（2）利用中心极限定理求解

由DeMovire-Laplace中心极限定理得,近似服从正态

即所以,

由此得查正态分布表得

因此取

6设某保险公司的老年人寿保险一年有10000人参加,每人每年交40元.若老人死亡,公司付给家属2000元.设老人死亡率为0.017,试求保险公司在这次保险中亏本的概率.

解设为老人死亡人数,则

其中

由题意,得

保险公司在这次保险中亏本当且仅当

即由DeMovire-Laplace中心极限定理,得保险公司亏本的概率

7．设某电话交换台的呼叫次数服从泊松分布且每秒钟平均被呼叫两次,试求在100秒内被呼叫次数在180至220次之间的概率.

解设第秒钟内被呼叫的次数为

由为服从参数为2的泊松分布,且独立同分布,

有为100秒钟被呼叫的总次数,记，

则由独立同分布的中心极限定理,得

所以在100秒内被呼叫次数在180至220次之间的概率为

8．抛掷一枚硬币，以表示n次抛掷中出现正面的次数，问要抛掷多少次，才能以0.99的概率保证出现正面的频率与概率的偏差小于0.01？

试分别用切比雪夫不等式及中心极限定理求出结果．

解设表示在n次抛掷中出现正面的次数,则

其中,则

（1）由切比雪夫不等式得

（2）利用中心极限定理求解

由DeMovire-Laplace中心极限定理得,近似服从正态

即所以,

由此得

查正态分布表得

9．设某厂的金属加工车间有80台机床，它们的工作是相互独立的，设每台机床的电动机都是2KW的，由于资料检修等原因，每台机床平均只有70%的时间在工作，试求要供应这个车间多少KW电才能以0.99的概率保证此车间生产用电？

解设表示在80台机床中正在工作的机床台数,则

其中则

设应供应这个车间KW电才能以0.99的概率保证此车间生产用电.

由中心极限定理得,

，解得，

因此至少应供应这个车间132KW电才能以0.99的概率保证此车间生产用电.

10．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？

解设应该检查个产品．设表示在被检查的个产品中次品的个数,则其中则.由中心极限定理得,

.解得，

因此至少应检查147个产品，才可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9.

四、证明题

1．设随机变量相互独立，且每一随机变量有有限的方差，设，

试证，对，有

或

证

相互独立，

由切比雪夫不等式，对，有

两边夹，。

2．试描述同分布的中心极限定理。

并应用同分布的中心极限定理证明定理，即设是次贝努利试验中成功的次数，在每次试验中成功的概率为，

试证，对，一致地有

解：

定理（同分布的中心极限定理）设随机变量相互独立，服从同一分布，且有，，则标准化的随机变量之和的分布函数，对，一致地有

定理的证明

记，

而，，，且相互独立，

由同分布中心极限定理可知，对，一致地有

该定理表明，当时，二项分布以正态分布为极限分布。

实际应用中，若随机变量，只要充分大，即有，或，即有近似计算公式

3．设是连续型随机变量，且的方差存在，则对，试证明

证是连续型随机变量，设其概率密度为，则