小学奥数326 变速问题教师版.docx

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小学奥数326变速问题教师版

教学目标

1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点

2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。

3、变速变道问题的关键是如何处理“变”

知识精讲

变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。

对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。

算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；

折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；

方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．

行程问题常用的解题方法有

⑴公式法

即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；

⑵图示法

在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；

⑶比例法

行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件（如路程、速度、时间等）往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；

⑷分段法

在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；

⑸方程法

在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．

【例1】小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇。

若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇。

小红和小强两人的家相距多少米？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】因为小红的速度不变，相遇的地点不变，所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变，也就是说，小强第二次走的时间比第一次少4分钟。

（70×4）÷（90-70）=14分钟可知小强第二次走了14分钟，他第一次走了14＋4=18分钟；两人家的距离：

（52+70）×18=2196（米）.

【答案】2196米

【例2】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。

相遇后甲比原来速度增加2米／秒，乙比原来速度减少2米／秒，结果都用24秒同时回到原地。

求甲原来的速度。

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用24秒，则相遇前两人和跑一圈也用24秒。

以甲为研究对象，甲以原速V跑了24秒的路程与以（V+2）跑了24秒的路程之和等于400米，24V+24（V+2）=400易得V=米/秒

【答案】米/秒

【例3】A、B两地相距7200米，甲、乙分别从A，B两地同时出发，结果在距B地2400米处相遇．如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】第一种情况中相遇时乙走了2400米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比为（7200－2400）:

2400=2:

1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的2/3．乙的速度提高3倍后，两人速度比为2:

3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了全程的．两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走10分钟，所以甲的速度为（米/分）．

【答案】米/分

【例4】甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点．如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行5千米，则相遇地点距C点16千米．甲车原来每小时行多少千米？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】设乙增加速度后，两车在D处相遇，所用时间为T小时。

甲增加速度后，两车在E处相遇。

由于这两种情况，两车的速度和相同，所以所用时间也相同。

于是，甲、乙不增加速度时，经T小时分别到达D、E。

DE＝12＋16＝28（千米）。

由于甲或乙增加速度每小时5千米，两车在D或E相遇，所以用每小时5千米的速度，T小时走过28千米，从而T＝28÷5＝小时,甲用6－＝（小时），走过12千米，所以甲原来每小时行12÷＝30（千米）

【答案】30千米

【巩固】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点。

如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点D距C点lO千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点E距C点5千米。

问：

甲原来的速度是每小时多少千米？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】当乙每小时多行4千米时，5小时可以多行20千米，所以当两人相遇后继续向前走到5小时，甲可以走到C点，乙可以走到C点前面20千米。

而相遇点D距C点lO千米，因此两人各走了10千米，所以甲乙二人此时速度相等，即原来甲比乙每小时多行4千米。

同理可得，甲每小时多行3千米时，乙走5千米的时间甲可以走10千米，即甲的速度是乙的2倍。

（4+3）÷（2-1）+4=11（千米/小时），所以甲原来的速度是每小时11千米。

【答案】11千米

【例5】A、B两地间有一座桥（桥的长度忽略不计），甲、乙二人分别从两地同时出发，3小时后在桥上相遇．如果甲加快速度，每小时多走2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍能恰在桥上相遇．如果甲延迟0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇．则A、B两地相距多少千米？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次走的路程也是一样的．在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是3小时，他提前了0.5小时，那么甲到桥上的时间是3-0.5=2.5小时．甲每小时多走2千米，2.5小时就多走2×2.5=5千米，这5千米就是甲原来3-2.5=0.5小时走的，所以甲的速度是5÷0.5=10千米/时．在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间还是3小时，他延迟了0.5小时，那么乙到桥上的时间是3＋0.5=3.5小时．乙每小时少走2千米，3.5小时就少走2×3.5=7千米，这7千米就是甲原来3.5－3=0.5小时走的，所以乙的速度就是7÷0.5=14千米/时．所以A、B两地的距离为（10＋14）×3=72千米．

【答案】72千米

【例6】一列火车出发1小时后因故停车0.5小时，然后以原速的3/4前进，最终到达目的地晚1.5小时．若出发1小时后又前进90公里再因故停车0.5小时，然后同样以原速的3/4前进，则到达目的地仅晚1小时，那么整个路程为多少公里？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】出发1小时后因故停车0.5小时，然后以原速的前进，最终到达目的地晚1.5小时，所以后面以原速的前进的时间比原定时间多用小时，而速度为原来的，所用时间为原来的，所以后面的一段路程原定时间为小时，原定全程为4小时；出发1小时后又前进90公里再因故停车0.5小时，然后同样以原速的前进，则到达目的地仅晚1小时，类似分析可知又前进90公里后的那段路程原定时间为小时．所以原速度行驶90公里需要1.5小时，而原定全程为4小时，所以整个路程为公里．

【答案】公里

【例7】王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高1/6，于是提前1小时40分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，则所用时间为原计划的1÷10/9=9/10，即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10，原计划时间为：

1.5÷1/10=15（小时）；按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高1/6，即此后车速为原来的7/6，则此后所用时间为原计划的1÷7/6=6/7，即此后比原计划少用1/7的时间，所以1小时40分等于按原计划的速度行驶280千米后余下时间的1/7，则按原计划的速度行驶280千米后余下的时间为：

5/3÷1/7=35/3（小时），所以，原计划的速度为：

84（千米/时），北京、上海两市间的路程为：

84×15=1260（千米）．

【答案】1260千米

【例8】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。

两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。

那么甲回到出发点共用多少小时？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲走过的路程应该是一个单程的1×1.5+1/2=2倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的2倍。

两人相遇时走了1小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了1小时，所以甲下山要用1/2小时。

甲一共走了1+1/2=1.5（小时）

【答案】1.5小时

【例9】小华以每小时8/3千米的速度登山，走到途中A点后，他将速度改为每小时2千米，在接下来的1小时中，他走到山顶，又立即下山，并走到A点上方500米的地方．如果他下山的速度是每小时4千米，下山比上山少用了52.5分钟．那么，他往返共走了多少千米？

【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答

【解析】11千米

【答案】11千米

【例10】甲、乙两车从A、B两地同时出发相向而行，5小时相遇；如果乙车提前1小时出发，则差13千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前1小时出发，则过中点37千米后与乙车相遇，那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时？

【考点】行程问题之变速问题【难度】4星【题型】解答

【解析】第一次行程甲、乙两车同时出发，所以两车走的时间相同；第二次乙车提前1小时出发，所以这次乙车比甲车多走了1小时；第三次甲车提前1小时出发，所以这次甲车比乙车多走了1小时．那么如果把第二次和第三次这两次行程相加，那么甲车和乙车所走的时间就相同了，而所走的路程为2个全程．由于两人合走一个全程要5小时，所以合走两个全程要10小时．由于第二次在乙车在差13千米