第十四章整式的乘法与因式分解导学案文档格式.docx

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an·

ap=（m,n,p都是正整数）.

思考：

三个以上同底数幂相乘，上述性质还成立吗？

同底数幂的乘法法则可推扩到三个或三个以上的同底数幂的相乘．

ap=am+n+p，am·

ap=am+n+…+p（m、n…p都是正整数）

7.法则逆用可以写成

同底数幂的乘法法则也可逆用，可以把一个幂分解成两个同底数幂的积，其中它们的底数与原来幂的底数相同，它的指数之和等于原来幂的指数．如：

25=23·

22=2·

24等．

8.应用法则注意的事项：

①底数不同的幂相乘，不能应用法则.如：

32·

23≠32+3；

②不要忽视指数为1的因数，如:

a5≠a0+5．

③底数是和差或其它形式的幂相乘，应把它们看作一个整体．

9.判断以下的计算是否正确,如果有错误,请你改正.

（1）a3·

a2=a6

（2）b4·

b4=2b4（3）x5+x5=x10

（4）y7·

y=y7（5）a2+a3=a5（6）x5·

x4·

x=x10

三、理解运用，巩固提高

例1：

计算：

（1）x2·

x5

（2）a·

a6

（3）（—2）×

（—2）4×

（—2）3（4）xm·

x3m+1

四、巩固练习

1.计算：

（1）（-5）×

（-5）2×

（-5）3

（2）（a+b）3（a+b）5（3）-a·

（-a）3

（4）-a3·

（-a）2（5）（a-b）2·

（a-b）3（6）（ａ+1）2·

（1+ａ）·

（ａ+1）5

2.解答下列问题：

（1）已知am＝3，an＝8，求am+n的值.

（2）若3n+3=a，请用含a的式子表示3n的值.

（3）已知2a=3，2b=6，2c=18，试问a、b、c之间有怎样的关系？

请说明理由.

（2）14.1.2幂的乘方

学习目标：

1.理解幂的乘方的运算法则，能灵活运用法则进行计算，并能解决一些实际问题.

2.在双向运用幂的乘方运算法则的过程中，培养学生思维的灵活性；

我们知道：

aaaaa=a5,那么类似地a2a2a2可以写成（a2）3,

上述表达式（a2）3是一种什么形式？

二、探究学习

1.根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：

①

②（am）2=________×

_________=__________；

③

=

④

=

.

2.类比探究：

当

为正整数时，

（）个a

（）个m

（a

）

=a

.a

…a

=a

观察上面式子左右两端，你发现什么特点？

它们之间有怎样的运算规律？

请你概括出来：

3.总结法则（am）n＝________________（m，n都是正整数）

幂的乘方，_________________不变，______________________.

归纳小结：

同底数幂的乘法与幂的乘方的区别：

相同点都是不变；

不同点，前者是指数，后者是指数.

4.理解运用

计算

（1）（a3）5=

（2）（a4）4=

（3）（am）2=（4）-（x4）3=

三、巩固练习

1．下列各式中，计算正确的是（）

A.

B.

C.

D.

2．下列计算正确的是（）

A．x2+x2=2x2B．x2x2=2x4C．（a3）3=a10D．（am）n=（an）m

3．

可写成（）

A．

B．

C．

D．

4．（a2）3a4等于（）

A．a9B．a10C．a12D．a14

5．计算

（1）（103）3=

（2）（x3）2=

（3）-（xm）5=（4）（a2）3

a5=

6.若

求代数式

的值.

7.若a2n=3，求（a3n）4的值。

8．一个棱长为

的正方体，在某种条件下，其体积以每秒扩大为原来的

倍的速度膨胀，求10秒后该正方体的体积.

（3）14.1.3积的乘方

1.会进行积的乘方运算，进而会进行混合运算.

2.经历探索积的乘方运算法则的过程，明确积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得来的.

3.通过积的乘方法则的探究及应用，体会从特殊到一般的认知规律，从一般到特殊的应用规律.

1、已知一个正方体的棱长为2×

103cm，你能计算出它的体积是多少吗？

列式为：

2.讨论：

体积应是V=（2×

103）3cm3，这个结果是幂的乘方形式吗？

底数是　　　　　　　　，其中一部分是103幂，但总体来看，底数是　　　　　.

因此（2×

103）3应该理解为　　　　　　　　　　　.如何计算呢？

探究

（一）

1.读一读，做一做：

（1）（ab）2=（ab）·

（ab）=（aa）·

（bb）=

（2）（ab）3＝　　　　　　　＝　　　　　　　　＝a（）b（）

（3）（ab）4= 

= 

=

（4）（ab）n＝　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　＝a（）b（）（其中

是正整数）

2.总结法则：

积的乘方公式：

（ab）n＝ 

（n为正整数）

.

3.如果是三个或三个以上几个数的积的乘方，这个运算性质还适用吗？

如：

（abc）n＝ 

.

4.在运用积的乘方运算时，应注意的问题:

积的乘方运算对于三个或三个以上几个数的积的乘方运算 

，即：

（abc）n＝anbncn；

在运用积的乘方运算性质时，①要注意结果的符号；

②要注意积中的每一项都要进行乘方，不要漏项.

5.理解运用

下面的计算对不对？

如果不对，怎样改正？

（1）（3cd）3=9c3d3;

（2）（-3a3）2=-9a6;

（3）（a3+b2）3=a9+b6（4）（-2x3y）3=-8x6y3;

（5）（-

ab2）2=

;

探究

（二）

1.积的乘方运算性质：

（ab）n＝anbn，把这个公式倒过来应该是：

2.倒过来之后的公式说明的意思是什么？

你能用自已的语言说明一下吗？

3.试一试

（1）

（3）

4.自学课本97页例3。

1.选择题

（1）计算－（－3a）2的结果是（）

A．－6a2B．－9a2

C．6a2D．9a2

（2）下列运算正确的是（）

A．x·

x2＝x2B.（xy）2＝xy2

C.（x2）3＝x6D.x2＋x2＝x4

（3）下列运算正确的是（　　）

A． 

x2·

y3＝（xy）6B． 

x2＋x2＝2x4

C．（－2x）2＝－4x2D．（x2）3（x3）2＝x12

2.计算

（1）（2b）3

（2）（-2x3）3

（5）（2×

a3）2

（5）［（-

）502］4×

（2

）2009（6）

（4）14.1.4整式的乘法

（一）

1.会熟练利用单项式乘单项式的法则进行相关运算；

2.通过对单项式法则的应用，培养观察、比较、归纳及运算的能力.

学习过程:

下列各式中计算正确的是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

问题：

光的速度约为3×

105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×

102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?

地球与太阳的距离约是（3×

105）×

（5×

102）千米。

1．怎样计算（3×

102）？

在计算过程中用到哪些运算律及运算性质？

（3×

102）=

2.如果将上式中的数字改为字母，即ac5·

bc2，如何计算？

ac5·

bc2===

3.仿例计算：

（1）3a2·

2a3=＝.

（2）3x2y·

（－2xy3）＝＝.

（3）2a2b3·

3a3=＝.

（4）（－5a2b3）·

（－4b2c）＝＝.

4.观察第3题的每个小题的式子有什么特点？

由此你能得到单项式乘法的法则是：

4.归纳总结：

（1）通过计算，我们发现单项式乘单项式法则实际分为三点：

一是先把各因式的__________相乘，作为积的系数；

二是把各因式的_____相乘，底数不变，指数相加；

三是只在一个因式里出现的________，连同它的________作为积的一个因式.

（2）此法则也适用于多个单项式乘法

（3）单项式相乘的结果仍是．

5.阅读教材98页例题4,其中计算

（2）时关键要注意什么?

1.下列计算正确的是（）

A．4a3×

3a2＝12a6B．（－3y8）（－5x2）＝15x10

C．（－6an+2）×

3anb＝－18a2n+2bD．4x2·

2x2＝8x2

2.计算教材99页练习1

（1）3x２·

５ｘ３　　　　　　　　　　　　　（２）４ｙ·

（－２ｘｙ２）

（３）（－３ｘ）２·

４ｘ２　　　　　　　　（４）（－２ａ）３（－３ａ）２

2．计算

（1）（2x2y）•（－3xy3）•（x2y2z）

（2）（—0.5ab2c）（0.2abc2）3（12a3b）

3.卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约7.9×

103米／秒

，则卫星运行3×

102秒所走的路程约是多少?

4.小华家新购了一套结构如图的住房，正准备装修．

（1）试用代数式表示这套住房的总面积；

（2）若x＝2.5 

m，y＝3 

m，装修客厅和卧室至少需要准备多少面积的木地板？

（5）14.1.4整式的乘法

（二）

学习目标

1．在具体情景中，了解单项式乘以多项式的意义，理解单项式与多项式的乘法法则；

2．能熟练、正确地运用法则进行单项式与多项式的乘法运算.

3．经历探索乘法运算法则的过程，让学生体验从“特殊”到“一般”的分析问题的方法，感受“转化思想”、“数形结合思想”，发展观察、归纳、猜测、验证等能力.

1.如何进行单项式乘以单项式运算?

2.计算:

2a2b3c×

（-3ab）

1.如图长方形操场,计算操场面积？

方法1:

.

方法2：

可得到等式。

2.归纳单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的，再把所得的相加。

符号语言：

m（a+b+c）=ma+mb+mc

3．思想方法：

剖析法则m（a+b+c）=ma+mb+mc，得出：

转化

单项式×

多项式单项式×

单项式

乘法分配律

4．单项式与多项式相乘的步骤：

①先按乘法分配律进行计算。

②再计算单项式乘以单项式运算.

③最后有同类项时要合并同类项。

5．阅读教材100页例题5归纳:

（1）单项式与多项式相乘其依据是,运用的数学思想是.

（2）单项式乘多项式的结果仍是多项式，积的项数与原多项式的项数.

（3）单项式必须和中的每一项相乘，不能漏乘多项式中的任何一项。

（4）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号的确定，多项式每一项都包括前面的符号。

1.下列各题的解法是否正确，正确的请打∨错的请打×

，并说明原因.

（1）2

a（a2+a+2）=

a3+

a2+1　（　　）

（2）3a2b（1-ab2c）=-3a3b3　　（）

（3）5x（2x2-y）=10x3-5xy　（）（4）（-2x）.（ax+b-3）=-2ax2-2bx-6x（）

2.计算：

⑴

⑵（

ab2-2ab）•

ab

⑶（-2a）.（2a2-3a+1）（4）（5a2－2b）·

（-a2）

（5）

（6）x（x-1）+2x（x+1）-3x（2x-5）

3.先化简，再求值.

2a3b2（2ab3-1）-（-

a2b2）（3a-

a2b3）其中a=

b=-3.

（6）14.1.4整式的乘法（三）

1．理解并经历探索多项式乘以多项式法则的过程.

2．熟练应用多项式乘以多项式的法则解决问题

一、知识链接

⑴（-8a2b）（-3a）⑵2x·

（2xy2-3xy）

1.解决问题：

如图，为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长为a米,宽为p米的长方形绿地,增长了b米,加宽了q米.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积?

方法1.S=（整体计算）

方法2.S=（分两部分计算）

方法3.S=（分四部分计算）

因为它们表示的都是同一块绿地的面积，

可得到的结论：

上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法。

把多项式相乘的问题转化为单项式与多项式相乘的问题。

2.知识理解

计算（a+b）（p+q）可以把其中的一个多项式，如p+q，

看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则得：

（a+b）（p+q）=

再利用单项式与多项式乘法法则

=

总体上看，（a+b）（p+q）的结果可以看做由（a+b）的乘以（p+q）的，再把所得的相加而得到的，即

3.法则归纳：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的分别乘以另一个多项式的，再把所得的积相加

用字母表示为：

.

阅读教材101页例题6总结计算多项式乘以多项式应注意：

（1）：

（2）：

（3）：

三、巩固练习（教材102页）

1、计算

（1）（2x+1）（x+3）;

（2）（m+2n）（3n-m）

（3）（a-1）2（4）（a+3b）（a-3b）

（5）（2x2-1）（x-4）（6）（x2+2x+3）（2x-5）

2.计算教材102页练习第2题

　（１）（ｘ＋２）（ｘ－３）　　　　　　　　　　　　（２）（ｘ－４）（ｘ＋１）

（３）（ｙ＋４）（ｙ－２）　　　　　　　　　　　　　（４）（ｙ－５）（ｙ－３）

规律:

（ｘ＋ｐ）（ｘ＋ｑ）＝（　　）2＋（　　）ｘ＋（　　）。

3.（中考链接）有一道题计算（2x＋3）（3x＋2）－6x（x＋3）＋5x＋16的值，其中

x＝－666，小明把x＝－666错抄成x＝666，但他的结果也正确，这是为什么?

（7）14.1.4整式除法

理解同底数幂的除法运算法则，能灵活运用法则进行计算，并能解决实际问题.

计算.

①23·

22=2（）②103·

104=10（）③a4·

a3=a（）

探究

（一）同底数幂除法

1.根据上面的计算，由除法和乘法是互为逆运算，你能直接写出下面各题的结果吗？

①25÷

22＝ 

；

②107÷

103＝ 

③a7÷

a3＝ 

（a≠0）．

2.仿例计算：

（用幂的形式填空）①

；

②

=；

③

=.

3．类比探究：

①一般地，当m、n为正整数，且m＞n时

，

4.观察上面式子左右两端特点并总结法则：

同底数幂的除法性质：

am÷

an=（m、n为正整数，m>

n，a≠0）

同底数幂相除， 

5．

（1）32÷

32=9÷

9=

（2）32÷

32=3（）－（）=3（）=

（3）an÷

an=a（）－（）=a（）=1,这就是说，任何不为0的数的次幂等于1；

即：

注：

字母作底数，如果没有特别说明一般不为0.

6.阅读课本103页例7并计算：

（直接写出结果）

探究

（二）单项式除法

1.例如，计算12a3b2x3÷

3ab2

∵4a2x3•3ab2=12a3b2x3

∴12a3b2x3÷

3ab2=4a2x3

上面的商式4a2x3的系数4=12÷

3，a的指数2=3-1，b的指数0=2-2，而b0=1，x的指数3=3-0

一般地，单项式相除，把与分别作为商的因式，对于只在被除数里面还有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

商式＝系数•同底的幂•被除式里单独有的幂

保留在商里

作为因式。

底数不变，

指数相减。

探究（三）多项式除以单项式

1.例如，计算（am+bm）÷

m就是要求一个多项式，使它与m的积是am+bm

∵（a+b）m=am+bm

∴（am+bm）÷

m=a+b

又am÷

m+bm÷

m=am÷

m=a+b

一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

2.计算：

（1）

=；

（2）

=；

（3）

（4）x6÷

x6=；

（5）（x–y）7÷

（x–y）=。

（8）14.2.1平方差公式

能正确地利用平方差公式进行多项式的乘法运算.

计算:

（1）（x＋1）（x－1）；

（2）（m＋2）（m－2）；

（3）（2x＋1）（2x－1） 

1．请你观察思考:

以上几个多项式与多项式相乘的式子有什么特点?

积有什么特点?

你能用字母表示吗？

观察发现：

两数和乘以这两数的等于这两数的

用一个数学等式表示为:

（a＋b）（a－b）＝……平方差公式.

2.这个等式正确吗?

你怎样验证其正确性呢?

⑴利用多项式乘以多项式计算:

（2）如图1，从边长为ａ的正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积验证平方差公式吗？

图１　　　　　　　　图２

具有简洁美的乘法公式:

（a＋b）（a－b）＝a2－b2．（平方差公式）

三、理解运用

自学课本108页例题

注意：

（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．

（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．

（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．

（4）运算的最后结果应该是最简

1、判断下列式子能否用平方差公式计算：

（1）（a+2b）（a−2b）（）；

（2）（a−2b）（2b−a）（）；

（3）（2a+b）（b+2a）；

（）（4）（a−3b）（a+3b）（）；

（5）（2x+3y）（3y−2x）．（）

2、判断下列计算是否正确？

并改正错误。

（1）（x+3）（x-3）=x

-3（）

（2）（-3a-1）（3a-1）=9a

-1（）

（3）（4x+3y）（4x-3y）=4x

-3y

（）

（4）（2xy-3）（2xy+3）=4xy

-9（）

3.计算

（1）（a＋3b）（a－3b）

（2）（3＋2a）（-3+2a）

（3）51×

49（4）（3x+4）（3x-4）-（2x+3）（3x-2）

（5）（－2x－y）（2x－y）（6）（-m+n）（-m-n）

（9）14.2.2完全平方公式

（一）

理解两数和的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式进行计算.

一.知识链接

计算下列各式：

（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；

（2）（m+2）2=_______；

（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；

（4）（m-2）2=________；

1.仔细观察以上每个式子及计算结果，你能发现什么规律？

归纳结论:

（1）文字表述：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）____________的2倍．

（2）用字母表示：

。

2、用几何知识验证：

你能根据图

（1）和图

（2）中的面积说明完全平方公式吗？

图

（1）中：

大正方形的边长是a

+b，可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和。

于是就可以得出：

（a+b）2

=a2+2ab+b2．这正好符合完全平方公式。

请你用上述方法解释图

（2）

3.完全平方公式

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a-b）2=a2-2ab+b2

两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的的2倍．

4.自学课本110页例题。

1、判断正误，并说明原因：

（1）（a+b）2=a2+b2（）

（2）（a-b）2=a2-b2（）

（3）（a+b）2=（-a-b）2（）（4）（a-b）2=（b-a）2（）

（5）（b-4a）2=b2-16a2．（）（6）（

a+b）2=

a2+ab+b2．（）

（7）（4m-n）2=16m2-4mn+n2．（）（8）（-a-b）2=a2-2ab+b2．（）

2.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是（）

（A）11（B）9（C）-11（D）-9