国家开放大学电大考试计算机专业历年《离散数学》试题解析Word文件下载.docx
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错误．（3分）
对于集合A的任意元素x，均有<
x,a>
∈R（或xRa），所以a是集合A中的最大元．（5分）
但按照极小元的定义，在集合A中b,c,d均是极小元．（7分）
14．┐P∧（P→┐Q）∨P为永假式．
┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，
如果P的值为真，则┐P∧（P→┐Q）∨P为真，（5分）
如果P的值为假，则┐P与P→┐Q为真，即┐P∧（P→┐Q）为真，
也即┐P∧（P→┐Q）∨P为真，
所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．（7分）
另种说明：
只要其中一项为真，则整个公式为真．（5分）
可以看到，不论P的值为真或为假，┐P∧（P→┐Q）与P总有一个为真，
所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．（7分）
或用等价演算┐P∧（P→┐Q）∨P⇔T
五．计算题（每小题12分，本题共36分）
15．设集合A={1，2，3，4}，R={<
x,y>
|x,y∈A；
|x-y|=1或x-y=0}，试
（1）写出R的有序对表示；
（2）画出R的关系图；
（3）说明R满足自反性，不满足传递性．
15．
（1）R={<
1,1>
<
2,2>
3,3>
4,4>
1,2>
2,1>
2,3>
3,2>
3,4>
4,3>
}（3分）
（2）关系图如图二：
图二（6分）
（3）因为<
均属于R，即A的每个元素构成的有序对均在R中，故R在A上是自反的．（9分）
因有<
与<
属于R，但<
2,4>
不属于R，所以R在A上不是传递的．
（12分）
16．设图G=<
V，E>
，V={v1，v2，v3，v4，v5}，E={（v1,v2），（v1,v3），（v2,v4），（v3,v5），（v4,v5）}，试
（1）画出G的图形表示；
（2）写出其邻接矩阵；
（3）求出每个结点的度数；
（4）画出图G的补图的图形．
16．
（1）关系图如图三：
（3分）
（2）邻接矩阵
（6分）
（3）deg（v1）=2
deg（v2）=2
deg（v3）=2
deg（v4）=2
ο
v1
v2
v3
v4
图四
v5
deg（v5）=2（9分）
（4）补图如图四
17．求P→Q∧R的合取范式与主析取范式．
P→（R∧Q）
⇔┐P∨（R∧Q）（4分）
⇔（┐P∨Q）∧（┐P∨R）（合取范式）（6分）
P→（R∧Q）
⇔┐P∨（R∧Q）
⇔（┐P∧（┐Q∨Q））∨（R∧Q）（7分）
⇔（┐P∧┐Q）∨（┐P∧Q）∨（R∧Q）（8分）
⇔（（┐P∧┐Q）∧（┐R∨R））∨（┐P∧Q）∨（R∧Q）（9分）
⇔（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q）∨（R∧Q）（10分）
⇔（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（（┐P∧Q）∧（┐R∨R））∨（R∧Q）
⇔（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q∧┐R）∨（┐P∧Q∧R）∨（R∧Q）
⇔（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q∧┐R）∨
（┐P∧Q∧R）∨（（┐P∨P）∧（R∧Q））
（┐P∧Q∧R）∨（P∧R∧Q）（主析取范式）（12分）
说明：
此题解法步骤多样，若能按正确步骤求得结果，均可给分．
六、证明题（本题共8分）
18．设连通无向图G有14条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其它顶点的度数均小于3，试说明G中可能有的顶点数．
证明：
可利用数列可图化及握手定理解答
顶点度数和为2⨯14=28，（2分）
28-（3⨯4+4⨯3）=4，则知其他顶点度数和为4，（4分）
对于有限图，若无零度顶点，则除4度及3度顶点外，可能的顶点情况有：
2个2度点；
1个2度点和2个1度点；
4个1度点，（6分）
即对应图的顶点数分别至少为9、10、11．（8分）
2011年7月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A2．C3．C4．D5．B
1．若集合A={1，{1}，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是（）．
A．{2}∈AB．{1，2}⊂A
C．1∉AD．2⊂A
2．设G为无向图，则下列结论成立的是（）．
A．无向图G的结点的度数等于边数的两倍．
B．无向图G的结点的度数等于边数．
C．无向图G的结点的度数之和等于边数的两倍．
D．无向图G的结点的度数之和等于边数．
a
b
c
d
e
f
3．图G如图一所示，以下说法正确的是（）．
A．{（a，b）}是边割集
B．{a，c}是点割集
C．{d}是点割集
D．{（c，d）}是边割集
图一
4．设集合A={1}，则A的幂集为（）．
A．{{1}}B．{1，{1}}
C．{∅，1}D．{∅，{1}}
5．设A（x）：
x是人，B（x）：
x犯错误，则命题“没有不犯错误的人”
可符号化为（）．
A．┐（
x）（A（x）→┐B（x））B．┐（
x）（A（x）∧┐B（x））
C．┐（
x）（A（x）∧B（x））D．（
x）（A（x）∧B（x））
6．命题公式
的真值是 真（或T，或1） ．
7．若无向图T是连通的，则T的结点数v与边数e满足关系v=e+1时，T是树．
8．无向图G是欧拉图的充分必要条件是G是连通的且结点度数都是偶数．
9．设集合A={1，2}上的关系R＝{<
}，则在R中仅需加入一个元素<
1,1>
，就可使新得到的关系为自反的．
10．（∀x）（P（x）→R（y）∨S（z））中的约束变元有x．
三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）
11．将语句“雪是黑色的．”翻译成命题公式．
雪是黑色的，（2分）
则命题公式为：
P．（6分）
12．将语句“如果明天下雨，则我们就在室内上体育课．”翻译成命题公式．
如果明天下雨，Q：
我们在室内上体育课，（2分）
P→Q．（6分）
四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）
13．设集合A={1，2}，B={3，4}，从A到B的关系为f={<
1,3>
，<
1,4>
}，则f是A到B的函数．
因为A中元素1有B中两个不同的元素与之对应，故f不是A到B的函数．（7分）
14．设G是一个连通平面图，有5个结点9条边，则G有6个面．
正确．（3分）
因G是一个连通平面图，满足欧拉定理，有v-e+r=2，
所以r=2-（v-e）=2-（5-9）=6（7分）
五．计算题（每小题12分，本题共36分）
15．试求出P→（R∧Q）的合取范式．
P→（R∧Q）⇔┐P∨（R∧Q）（6分）
⇔（┐P∨R）∧（┐P∨Q）（合取范式）（12分）
16．设A={{1},{1,2}，1}，B={1,2,{2}}，试计算
（1）（A∩B）
（2）（A∪B）（3）（A∩B）-A．
（1）（A∩B）={1}（4分）
（2）（A∪B）={1,2,{1},{2},{1,2}}（8分）
（3）（A∩B）-A=∅（12分）
17．试画一棵带权为2,3,3,4,5,的最优二叉树,并计算该最优二叉树的权．
最优二叉树如图二所示．
2
3
4
5
10
7
17
（10分）
图二
权为2⨯3+3⨯3+3⨯2+4⨯2+5⨯2=39（12分）
18．试证明：
若R与S是集合A上的对称关系，则R∩S也是集合A上的对称关系．
设∀x，y∈A，因为R对称，所以若<
∈R，则<
y,x>
∈R．（2分）
因为S对称，所以若<
∈S，则<
∈S．（4分）
于是若<
∈R∩S则<
∈R且<
∈S
即<
∈S（6分）
也即<
∈R∩S，故R∩S是对称的．（8分）
中央广播电视大学2010—2011学年度第一学期“开放本科”期末考试
离散数学（本）试题
2011年1月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A2．D3．B4．D5．C
1．若集合A＝{a，{1}}，则下列表述正确的是（）．
A．{1}∈AB．{1}⊆A
C．{a}∈AD．∅∈A
2．设图G＝<
V,E>
，v∈V，则下列结论成立的是（）．
A．deg（v）=2∣E∣B．deg（v）=∣E∣
C．
D．
3．如图一所示，以下说法正确的是（）．
A．（e,c）是割边B．（d,e）是割边
C．（b,a）是割边D．（b,c）是割边
4．命题公式（P∨Q）的合取范式是（）．
A．PB．（P∧Q）
C．（P∨P）D．（P∨Q）
5．下列等价公式成立的为（）．
A．P∧Q⇔P∨QB．⌝Q→P⇔P→Q
C．⌝P∧P⇔⌝Q∧QD．⌝P∨P⇔Q
6．设集合A={0,1,2}，B={1,2,3,4,}，R是A到B的二元关系，
则R的有序对集合为 {<
1,2>
2,1>
2,2>
} ．
7．设G是连通平面图，v,e,r分别表示G的结点数，边数和面数，则v，e和r满足的关系式v-e+r=2．
8．设G＝<
是有20个结点，25条边的连通图，则从G中删去6条边，可以确定图G的一棵生成树．
9．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G所有结点的度数全为偶数且连通．
10．设个体域D＝{1,2}，则谓词公式
消去量词后的等值式为A
（1）∧A
（2）．
11．将语句“如果小李学习努力，那么他就会取得好成绩．”翻译成命题公式．
12．将语句“小张学习努力，小王取得好成绩．”翻译成命题公式．
11．设P：
小李学习努力，Q：
小李会取得好成绩，（2分）
P→Q．（6分）
12．设P：
小张学习努力，Q：
小王取得好成绩，（2分）
P∧Q．（6分）
13．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1⋂R2是自反的．
14．如图二所示的图中存在一条欧拉回路．
13．正确．（3分）
R1和R2是自反的，∀x∈A，<
x,x>
∈R1，<
∈R2，
则<
∈R1⋂R2，
所以R1⋂R2是自反的．（7分）
14．正确．（3分）
因为图G为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数．（7分）
15．设A={{2},1,2}，B={1,{1,2}}，试计算
（1）（A-B）；
（2）（A∩B）；
（3）A×
B．
16．设G=<
，V={v1，v2，v3，v4，v5}，E={（v1,v3），（v2,v3），（v2,v4），（v3,v4），（v3,v5）}，试
（1）给出G的图形表示；
（2）写出其邻接矩阵；
（3）求出每个结点的度数；
（4）画出其补图的图形．
17．设谓词公式
，试
（1）写出量词的辖域；
（2）指出该公式的自由变元和约束变元．
15．
（1）A-B={2,{2}}（4分）
（2）A∩B={1}（8分）
（3）A×
B={<
{2},1>
{2},{1,2}>
1,{1,2}>
，
<
2,{1,2}>
}（12分）
16．
（1）G的图形表示如图三：
（2）邻接矩阵：
（6分）
（3）v1，v2，v3，v4，v5结点的度数依次为1，2，4，2，1（9分）
（4）补图如图四：
17．
（1）∃x量词的辖域为
，（2分）
∀z量词的辖域为
（4分）
∀y量词的辖域为
．（6分）
（2）自由变元为
中的y，以及
中的z（9分）
约束变元为
中的x与
中的z，以及
中的y．（12分）
18．试证明集合等式A⋃（B⋂C）=（A⋃B）⋂（A⋃C）．
18．证明：
设S=A⋃（B⋂C），T=（A⋃B）⋂（A⋃C），若x∈S，则x∈A或x∈B⋂C，（1分）
即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C．（2分）
也即x∈A⋃B且x∈A⋃C，（3分）
即x∈T，所以S⊆T．（4分）
反之，若x∈T，则x∈A⋃B且x∈A⋃C，（5分）
即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，（6分）
也即x∈A或x∈B⋂C，即x∈S，所以T⊆S．（7分）
因此T=S．（8分）
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．D2．B3．C4．A5．B
1．若集合A={a，b}，B={a，{a，b}}，则（）．
A．A∉BB．A⊆B
C．A⊂BD．A∈B
2．集合A={x|x为小于10的自然数}，集合A上的关系R={<
x，y>
|x+y=10且x,y
A}，则R的性质为（）．
A．自反的B．对称的
C．传递且对称的D．反自反且传递的
3．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图一所示，则下列结论成立的是（）．
A．（a）仅为弱连通的B．（b）仅为弱连通的
C．（c）仅为弱连通的D．（d）仅为弱连通的
4．设图G的邻接矩阵为
则G的边数为（）．
A．5B．6C．7D．8
5．下列公式（）为永真式．
A．⌝P∧⌝Q↔P∨QB．（P→（⌝Q→P））↔（⌝P→（P→Q））
C．（Q→（P∨Q））↔（⌝Q∧（P∨Q））D．（⌝P∨（P∧Q））↔Q
6．设集合A＝{1，2，3}，那么集合A的幂集是{∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}．
7．设A={a，b}，B={1，2}，作f：
A→B，则不同的函数个数为4．
8．若A={1,2}，R={<
|x∈A,y∈A,x+y<
4}，则R的自反闭包为{<
}．
9．无向连通图在结点数v与边数e满足e=v-1关系时是树．
10．（∀x）（A（x）→B（x））∨C（x，y）中的自由变元为C（x，y）中的x与y．
11．将语句“他们去旅游，仅当明天天晴．”翻译成命题公式．
12．将语句“今天没有下雪．”翻译成命题公式．
他们去旅游，Q：
明天天晴，（2分）
P→Q．（6分）
今天下雪，（2分）
⌝P．（6分）
13．汉密尔顿图一定是欧拉图．
存在汉密尔顿图不是欧拉图．（5分）
反例见图二．
（7分）
14．下面的推理是否正确，试予以说明．
（1）（∃x）（F（x）→G（y））前提引入
（2）F（y）→G（y）ES
（1）．
1、错误．（3分）
（2）应为F（a）→G（y），换名时，约束变元与自由变元不能混淆．（7分）
15．设A={0，1，2，3，4，5，6}，R={<
|x∈A，y∈A且x+y<
1}，S={<
|x∈A，y∈A且x+y≤3}，试求R，S，R∙S，R-1，S-1，r（R）．
R={<
0,0>
}（2分）
S={<
0,1>
0,2>
0,3>
1,0>
2,0>
3,0>
}（4分）
R∙S={<
}（6分）
R-1={<
}（8分）
S-1=S（10分）
r（R）=IA．（12分）
16．画一棵带权为1,2,2,3,6的最优二叉树,计算它们的权．
最优二叉树如图四：
图四（10分）
权为：
1⨯3+2⨯3+2⨯3+3⨯3+6⨯1=30（12分）
注:
其他正确的最优二叉树参照给分．
17．求（P∨Q）→（R∨Q）的析取范式，合取范式．
（P∨Q）→（R∨Q）
⇔⌝（P∨Q）∨（R∨Q）（4分）
⇔（⌝P∧⌝Q）∨（R∨Q）
⇔（⌝P∨R∨Q）∧（⌝Q∨R∨Q）
⇔（⌝P∨R∨Q）析取、合取范式（12分）
注:
其他正确答案参照给分．
18．试证明集合等式A⋂（B⋃C）=（A⋂B）⋃（A⋂C）．
设S=A∩（B∪C），T=（A∩B）∪（A∩C），若x∈S，则x∈A且x∈B∪C，即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C，
也即x∈A∩B或x∈A∩C，即x∈T，所以S⊆T．（4分）
反之，若x∈T，则x∈A∩B或x∈A∩C，
即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C
也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以T⊆S．
因此T=S．（8分）
2010年7月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．B2．D3．B4．C5．B
1．若集合A={1，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是（）．
A．2⊂AB．{1}⊂A
C．1∉AD．2∈A
2．已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为
（）．
A．6B．4C．3D．5
3．设无向图G的邻接矩阵为
A．1B．7C．6D．14
4．设集合A={a}，则A的幂集为（）．
A．{{a}}B．{a，{a}}
C．{∅，{a}}D．{∅，a}
5．下列公式中（）为永真式．
A．⌝A∧⌝B↔⌝A∨⌝BB．⌝A∧⌝B↔⌝（A∨B）
C．⌝A∧⌝B↔A∨BD．⌝A∧⌝B↔⌝（A∧B）
的真值是 假（或F，或0） ．
7．若无向树T有5个结点，则T的边数为4．
8．设正则m叉树的树叶数为t，分支数为i，则（m-1）i=t-1．
}，则在R中仅需加一个元素<
，就可使新得到的关系为对称的．
10．（∀x）（A（x）→B（x，z）∨C（y））中的自由变元有z，y．
11．将语句“今天上课．”翻译成命题公式．
今天上课，（2分）
则命题公式为：
12．将语句“他去操场锻炼，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
他去操场锻炼，Q：
他有时间，（2分）
14．设G是一个有4个结点10条边的连通图，则G为平面图．
13．错误．（3分）
因为A中元素2没有B中元素与之对应，故f不是A到B的函数．（7分）
14．错误．（3分）
不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤3v-6．”
15．试求出（P∨Q）→（R∨Q）的析取范式．
（P∨Q）→（R∨Q）⇔┐（P∨Q）∨（R∨Q）（4分）
⇔（┐P∧┐Q）∨（R∨Q）（8分）
⇔（┐P∧┐Q）∨R∨Q（析取范式）（12分）
16．设A={{1}
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