最新数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解高三数学可编辑优秀名师资料Word文档下载推荐.docx
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d,0n
（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一aanddnad,，,,，,
（1）n11
nndd
（1）,2dSnadnan,，,，,（）nn次函数，且斜率为公差;
前和是关于的二次n11222
函数且常数项为0.
1/73
（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差d,0d,0
，则为常数列。
d,0
（3）当时,则有，特别地，当时，则有a，a,a，amnpq，,，mnp，,2mnpq
.aaa，,2mnp
如
（1）等差数列中，，则,____（答:
27）;
{}aSaaaS,，，,,18,3,1nnnnn,,123n
k（4）若、是等差数列，则、（、是非零常数）、p{}a{}b{}ka{}kapb，nnnnn
*an、，„也成等差数列，而成等比数列;
若{}（,）apqN,SSSSS,,,,{}a{}apnq，nnnnn232n是等比数列，且，则是等差数列.a,0{lg}ann
如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。
（答:
225）
2n21n,（5）在等差数列中，当项数为偶数时，;
项数为奇数时，SSnd,,{}an偶奇
，（这里即）;
。
Sna,,,（21），，SSa,,aS:
S,n:
n-1a21n,n奇偶奇偶中中中
）在等差数列中，S,22，则,______（答:
2）;
如（1a116
（2）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中{}an
间项与项数（答:
5;
31）.
An（）,fn（6）若等差数列、的前和分别为、，且，则{}a{}bABnnnnnBnanaA（21）,nnn21,,,,,fn（21）.如设{a}与{b}是两个等差数列，它们的前项和分nnnbnbB（21）,nnn21,
S3n，1na62n,n,ST别为和，若，那么___________（答:
）,nnbT4n,387n,nn
（7）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和;
“首负”的递增n
a0a0,,,,,,nn等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。
法一:
由不等式组n,,或,,,,a0a0,,n，1n，1,,,,
nn确定出前多少项为非负（或非正）;
法二:
因等差数列前项是关于的二次函数，故可转
*nN,化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。
上述两种方法是运用了哪种数学思想,（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗,
{}aa,25SS,如
（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大,并求此最大n1917
2/73
值。
前13项和最大，最大值为169）;
（2）若是等差数列，首项，，则使前n项和{}aa,0,aa，,0aa,,0n12003200420032004
成立的最大正整数n是（答:
4006）S,0n
（3）在等差数列中，，且，是其前项和，则（）aaa,,0,0aa,||Sn,,nn10111110
A、都小于0，都大于0SSS,？
SS,？
12101112
B、都小于0，都大于0SSS,？
12192021
C、都小于0，都大于0SSS,？
12567
D、都小于0，都大于0（答:
B）SSS,？
12202122
（8）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，
且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意:
公共项仅是公共的项，其项
数不一定相同，即研究.ab,nm
二、等比数列的有关概念:
an，11、等比数列的判断方法:
定义法，其中或qa,,0,0,（为常数）qqnan
aann，1。
（2）n,,aann,1
21n，如
（1）一个等比数列{}共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则aann，1
5n,2为____（答:
（2）数列中，=4a+1（）且a=1，若b,a,2a，{}aSnnn，1nn,11n6
求证:
数列,b,是等比数列。
n
n,1nm,2、等比数列的通项:
aaq,aaq,n1nm
qaa，,66aa,128如等比数列中，，，前n项和,126，求n和.（答:
{}aSn1n21n,n
1n,6q,，或2）2
naaq,aq
（1）,1n1Sna,n,3、等比数列的前和:
当q,1时，;
当q,1时，。
S,n1n,q11,q
qa，a，？
，a如
（1）等比数列中，,2，S=77，求（答:
44）;
993699
n10k
（2）的值为__________（答:
2046）;
（C）,,nn,,k10
3/73
特别提醒:
等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要nn判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，qqq要对分和两种情形讨论求解。
qq,1q,1
4、等比中项:
若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。
提醒:
不是任何baaAb,,
两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。
如已知两个正数,ab
的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答:
A,B）abab,（）,
（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素:
、、、及qaannn1，其中、称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，qSan1
即知3求2;
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为„，
aaaa32„（公比为）;
但偶数个数成等比时，不能设为„，„，q,,aq,aq,,,,aaqaq23qqqq
2因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。
如有四个数，其中前三q
，第二个数与第三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16个数的和为12，求此四个数。
15，,9，3,1或0,4，8,16）
5.等比数列的性质:
（1）当aaaa,时，则有，特别地，当时，则有mnpq，,，mnp，,2mnpq
2aaa,.mnp
如
（1）在等比数列{}a中，aaaa，,,,124,512，公比q是整数，则a=___3847n10（答:
512）;
（2）各项均为正数的等比数列中，若，则{}aaa,,9ogllaaaogl，，，,og？
n563132310（答:
10）。
*{}（,）apqN,{}a{||}a{}ka
（2）若是等比数列，则、、成等比数列;
若pnq，nnn
an{}{}{}ab、{}ab{}a成等比数列，则、成等比数列;
若是等比数列，且公比，q,,1nnnnnbn
SSSSS,,,,n则数列，„也是等比数列。
当q,,1，且为偶数时，数列nnnnn232
SSSSS,,,,，„是常数数列0，它不是等比数列.nnnnn232
a,0a,1（*）nN,{}xlog1logxx,，如
（1）已知且，设数列满足，且nanan，1
4/73
100，则.（答:
100axxx，，，,？
100xxx，，，,？
12100101102200
（2）在等比数列中，为其前n项和，若，则{a}SS,13S,S，S,140Snn3010103020
的值为______（答:
40）
（3）若，则为递增数列;
若,则为递减数列;
若aq,,0,1{}aaq,,0,1{}a11nn
，则为递减数列;
若,则为递增数列;
若，aq,,,0,01{}aaq,,,0,01{}aq,011nn则为摆动数列;
若，则为常数列.{}a{}aq,1nn
aann11ab，,0（4）当时，，这里，但，q,1ab,,0,0S,q，,aq，bn1,q1,q
是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。
S{}annn
n如若是等比数列，且，则,（答:
1）Sr,，3{}arnn
mn（5）.如设等比数列的公比为，前项和为，q{a}SnSSqSSqS,，,，nn，mnmnnm
若成等差数列，则的值为_____（答:
2）qSSS,,nnn，，12
2n21n,（6）在等比数列中，当项数为偶数时，SqS,;
项数为奇数时，{}an偶奇SaqS,，.1奇偶
（7）如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数{}a{}ann数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
{}an
n,N如设数列,,的前n项和为（），关于数列,,有下列三个命题:
?
若aSannn
2，则,,既是等差数列又是等比数列;
若，a,a（n,N）a，，S,an，bna、b,Rnn，1nn
n则,,,,是等差数列;
若，则是等比数列。
这些命题中，真命题的序号a，，aS,1,,1nnn
是（答:
）
三、数列通项公式的求法
一、公式法
（Sn,1）,1a,?
;
nSS（n2）,,,nn,1
,,,aa?
等差、等比数列公式.nn
5/73
n例已知数列满足，，求数列的通项公式。
{}aa,2{}aaa,，，232n1n，1nn
aa3nnn，1评注:
本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列,,aa,，，232，1nn，1nn222aa3nn是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列{},，,1
（1）nnn222
的通项公式。
二、累加法
例已知数列满足，求数列的通项公式。
{}aaana,，，,211，{}ann，11nn评注:
本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求aan,，，21aan,,，21nn，1nn，1出，即得数列的通项公式。
（）（）（）（）aaaaaaaaa,，,，，,，,，？
{}annnn,,,11232211n
n例已知数列满足，求数列的通项公式。
{}a{}aaaa,，，，,2313，nn，11nn
nn评注:
本题解题的关键是把递推关系式转化为，aa,，，，231aa,,，，231，1，1nnnn进而求出，即得数列的通aaaaaaaaaa,,，,，，,，,，（）（）（）（）？
{}annnnn,,,11232211n项公式。
三、累乘法
n例已知数列{}a满足，求数列{}a的通项公式。
anaa,，，,2
（1）53，nn，11nn
ann，1n评注:
本题解题的关键是把递推关系转化为,，2
（1）5，进而求ana,，，2
（1）5n，1nnan
aaaann,132{}a出,,,,,？
，即得数列的通项公式。
an1aaaann,,1221
四、取倒数法
an,1a,aaa,1,例已知数列{}中，其中，且当n?
2时，，求通项公式。
nnn12a，1n,1
a111n,1a,,,2{}解将两边取倒数得:
，这说明是一个等差数列，n2a，1aaann,1nn,1
6/73
111首项是，公差为2，所以，即.a,,1,1，（n,1），2,2n,1n2n,1aa1n
五、待定系数法
a{}aaaa,，，,2356，,,nn，11nn
nnn，1评注:
本题解题的关键是把递推关系式转化为，aa,，，235aa,,,52（5），1nnnn，1
nn从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列{5}a,{5}a,nn的通项公式。
{}a{}aaaa,，，，,35241，nn，11nn
n评注:
本题解题的关键是把递推关系式转化为aa,，，，3524，1nn
nn，1n，从而可知数列是等比数列，进而求aa，，，,，，，5223（522）{522}a，，，nn，1n
n出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
{}a{522}a，，，nn
六、对数变换法
n5例已知数列满足，，求数列的通项公式。
{}aa,7{}aaa,，，23n1n，nn1
n5评注:
本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为aa,，，23，nn1
lg3lg3lg2lg3lg3lg2anan，，，，,，，，lg
（1）5（lg），从而可知数列nn，141644164
lg3lg3lg2lg3lg3lg2an，，，an，，，{lg}{lg}是等比数列，进而求出数列的通项nn41644164
{}a公式，最后再求出数列的通项公式。
七、迭代法
n3
（1）2n，{}a{}a例已知数列满足，求数列的通项公式。
aaa,,，5nnnn，11
n3
（1）2n，评注:
本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
即先将等式aa,nn，1
lgann，1n,，lg3
（1）2lgana,，，，两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知3
（1）2n，1nnlgan
7/73
nn
（1）,nn
（1）,n,13!
2,,nn,1lglglgaaalga23!
2,,nnn,1322，从而。
,,,,,,？
a,5lglglg5aan1nlglglglgaaaann,,1221
八、数学归纳法
8
（1）8n，满足，求数列的通项公式。
例已知数列{}a{}aaaa,，,，nnnn，1122（21）（23）9nn，，
88
（1）n，解:
由及a,，得。
aa,，1nn，1229（21）（23）nn，，
2（21）1n，,由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。
a,n2（21）n，
2（211）18，，,n,1
（1）当时，，所以等式成立。
a,,12（211）9，，
2（21）1k，,nk,nk,，1时等式成立，即，则当时，
（2）假设当a,k2（21）k，
8
（1）k，。
aa,，kk，122（21）（23）kk，，
nk,，1由此可知，当时等式也成立。
*nN,根据
（1），
（2）可知，等式对任何都成立。
九、换元法
1aaaa,，，，,，（14124）1{}a{}a例已知数列满足，求数列的通项公式。
nnn，11nn16
12ab,,
（1）ba,，124解:
令，则nnnn24
11222ab,,aaa,，，，
（1）（14124）故，代入得。
即4（3）bb,，nn，，nnn，111nn，12416
13bb,，ba,，,1240ba,，,124023bb,，因为，故则，即，nn，1nn，1nnnn，，1122
1bb,,,3（3）可化为，nn，12
8/73
1所以是以为首项，以为公比的等比数{3}b,ba,,，,,，，,,31243124132n112
1111nn,,12n,2n,2列，因此，则，即，得b,,,b,，，,，a（）332（）（）124（）3nnn2222
2111nn。
a,，，（）（）n3423
十、构造等差、等比数列法
n?
;
.a,pa，qa,pa，f（n）a,p,a，q,aa,pa，qn，1nn，1nn，2n，1n，1nn
例已知数列中，，求数列的通项公式.,,,,aa,1,a,2a，3an1n，1nn
n,1n，1【解析】a，3,2（a，3）a，3,4，2,a,2,3.？
？
n，1nnn【反思归纳】递推关系形如“”适用于待定系数法或特征根法:
a,pa，qn，1n
令;
a,,,p（a,,）n，1n
q?
在中令，;
a,a,x,x,a,pa，qa,x,p（a,x）？
n，1nn，1nn，1n1,p?
由得，.a,pa，qa,pa，qa,a,p（a,a）？
n，1nnn,1n，1nnn,1
n例已知数列,,中，，求数列,,的通项公式.aaa,1,a,2a，3nn1，1nn
aaa3nn，1nnn,，,b【解析】，（），令a,2a，3？
n，1,1n,1nnnn2222
3nnn,2，（）,2b,（b,b），（b,b），？
，（b,b），ba,3,2？
nnn,1n,1n,2211n2
n【反思归纳】递推关系形如“”通过适当变形可转化为:
a,pa，q，1nn
n“a,pa，q”或“求解.a,a，f（n）n，1n，1nn
十一、不动点法
72a,n{}a{}a例已知数列满足，求数列的通项公式。
aa,,，2，11nnn23a，n
72x,31x,2x,1x,fx（）,2420xx,，,解:
令，得，则是函数的不动点。
23x，47x，
7255aa,,nn因为，所以a,,,,11，1n2323aa，，nn
9/73
评注:
本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化124，abnn
13形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，bb,，{3}b,{3}b,nn，1nn22
最后再求出数列的通项公式。
四、数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和
（）
（1）naann，,1n1、等差数列求和公式:
Snad,,，1n22
（,1）naq,1,n,（1,）aaqaq2、等比数列求和公式:
S,1n1n,（,1）q,1,1,qq,
n（n，1）1，2，3，？
，n,前个正整数的和n2
（1）（21）nn，n，2222123前个正整数的平方和，，，？
，n,n6
n（n，1）333321，2，3，？
，n,[]前个正整数的立方和n2公式法求和注意事项
（1）弄准求和项数的值;
（2）等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类。
nq
1,23nlogx，x，x，,,,，x，,,,例已知，求的前n项和.x,3log32
S*nf（n）,例设S,1+2+3+…+n，n?
N,求的最大值.n（n，32）Sn，1
1S11nf（n）,,?
,,64850（n，32）S2n，1n，34，（n,），50nn
18（）fn,?
当n,，即n,8时，max508
二、错位相减法求和
这种方法主要用于求数列{a?
b}的前n项和，其中{a}、{b}分别是等差数列和等比nnnn
q数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比;
10/73
然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。
11n，例:
（2009全国卷?
理）在数列中，aaa,,，，1,
（1）{}a11nn，nnn2
an（I）设，求数列的通项公式（II）求数列的前项和b,{}b{}aSnnnnnn
aa11nn，1分析:
（I）由已知有,，？
,bbnn，1nn，2nn12
1*利用累差迭加即可求出数列的通项公式:
（）b,,2nN,{}bnnn,12
nnnnkk（II）由（I）知,=,,2anS
（2）,,,
（2）？
kkn,,,nn,1,1,1kk222,1,,11kkk
nnk而,又是一个典型的错位相减法模型，
（2）
（1）knn,，,,,1k2,1,1kk
nn，2kn，2易得=，,4Snn
（1），？
,4,nn,1,,11kn222,1k
三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），
再把它与原数列相加，就可以得到n个.（a，a）1n
012nn例求证:
C，3C，5C，,,,，（2n，1）C,（n，1）2nnnn
012n证明:
设S,C，3C，5C，,,,，（2n，1）Cnnnnn
nn,110S,（2n，1）C，（2n,1）C，,,,，3C，Cnnnnn
n?
S,（n，1）,2n
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个
等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
1111，1,，4,，7,,,,,，3n,2[例7]求数列的前n项和:
，…2n,1aaa
111S,（1，1），（，4），（，7），,,,，（，3n,2）解:
设n2n,1aaa
111S,（1，，，,,,，），（1，4，7，,,,，3n,2）n2n,1aaa
（3n1）n（3n，1）n,Sn,，当a,1时，,n22
11/73
11,1,nn（31）a,an,n（3n1）n,aa,1当时，,，S,，n1122a,1,a
例:
（2010全国卷2文）（18）（本小题满分12分）已知是各项均为正数的等比数列，{}an
11111且，aa，,，2（）aaa，，,，，64（）12345aaaaa12345
12（?
）求的通项公式;
（?
）设，求数列的前项和。
{}a{}bTba,，n（）nnnnnan
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:
sin1,,
（1）
（2）a,f（n，1）,f（n）,tan（n，1）,tannn,,cosncos（n，1）
2n111
（2）111（3）（4）a,,,a,,，,1（）nnn（n，1）nn，1n,n，n,n，（21）（21）22121
1111）（5a,,[,]nn（n,1）（n，2）2n（n，1）（n，1）（n，2）
（6）
n，212（n，1）,n1111a,,,,,,,S,1,则nnnnn,1nnn（n，1）n（n，1）22n,2（n，1）2（n，1）2
111例求数列的前n项和.,,,,,,,,,,
1，22，3n，n，1
1a,,n，1,nnn，n，1
111n，1,1S,，，,,,，则,n1，22，3n，n，1
12n2a,，，,,,，b,例在数列{a}中，，又，求数列{b}的前nnnnnn，1n，1n，1a,ann，1项的和.
12nna,，，,,,，
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