初三数学解析.docx

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初三数学解析

第二十一章　一元二次方程

一、本章知识结构框图

二、具体内容

（一）、一元二次方程的概念

1．理解并掌握一元二次方程的意义

未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式；

2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数

（1）让学生明确只有当二次项系数时，整式方程才是一元二次方程。

（2）各项的确定（包括各项的系数及各项的未知数）.

（3）熟练整理方程的过程

3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解

4．列出实际问题的一元二次方程

（二）、一元二次方程的解法

1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；

2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；

3．体会不同解法的相互的联系；

4．值得注意的几个问题：

（1）开平方法：

对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.

形如的方程的解法：

当时，;

当时，;

当时，方程无实数根。

（2）配方法：

通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。

配方法的一般步骤：

①移项：

把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；

②“系数化1”：

根据等式的性质把二次项的系数化为1；

③配方：

将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；

④求解：

若时，方程的解为，若时，方程无实数解。

（3）公式法：

一元二次方程的根

当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；

当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为；

当时，方程无实数根.

公式法的一般步骤：

①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

（因为这样可以减少计算量。

另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。

）

（4）因式分解法：

①因式分解法解一元二次方程的依据：

如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：

若，则；

②因式分解法的一般步骤：

将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。

（5）选用适当方法解一元二次方程

①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。

②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。

（6）解含有字母系数的方程

（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；

（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。

（三）、根的判别式

1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。

（1）=

（2）根的判别式定理及其逆定理：

对于一元二次方程（）

①当方程有实数根；

（当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；）

②当方程无实数根；

从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。

2．常见的问题类型

（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况

（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围

（3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况

①先计算出判别式（关键步骤）；

②用配方法将判别式恒等变形；

③判断判别式的符号；

④总结出结论.

例：

求证：

方程无实数根。

（4）分类讨论思想的应用：

如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。

（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧

（6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合

（7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题

（四）、一元二次方程的应用

1.数字问题：

解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。

2.几何问题：

这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。

3.增长率问题（下降率）：

在此类问题中，一般有变化前的基数（），增长率（），变化的次数（），变化后的基数（）,这四者之间的关系可以用公式表示。

4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。

（五）新题型与代几综合题

（1）有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？

（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：

大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？

（36岁）

（3）已知：

分别是的三边长，当时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求证：

是直角三角形。

（4）已知：

分别是的三边长，求证：

方程没有实数根。

（5）当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数？

（）

（6）已知关于的方程，其中为实数，

（1）当为何值时，方程没有实数根？

（2）当为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？

求出这三个实数根。

答案：

（1）

（2）.

第二十二章二次函数

1.定义：

一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

2.二次函数的性质

（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.

（2）函数的图像与的符号关系.

①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点

3.二次函数的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.

4.二次函数用配方法可化成：

的形式，其中.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①；②；③；④；⑤.

6.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

①决定抛物线的开口方向：

当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：

，∴顶点是，对称轴是直线.

（2）配方法：

运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为（,），对称轴是.

（3）运用抛物线的对称性：

由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★

9.抛物线中，的作用

（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：

①时，对称轴为轴；②（即、同号）时,对称轴在轴左侧；

③（即、异号）时,对称轴在轴右侧.

（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.

当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：

①，抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式

开口方向

对称轴

顶点坐标

当时

开口向上

当时

开口向下

（轴）

（0,0）

（轴）

（0,）

（,0）

（,）

（）

11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：

.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：

已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：

.

12.直线与抛物线的交点

（1）轴与抛物线得交点为（）

（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点（,）.

（3）抛物线与轴的交点

二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程

的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点抛物线与轴相交；

②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；

③没有交点抛物线与轴相离.

（4）平行于轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组

的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时与有两个交点;

②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.

（6）抛物线与轴两交点之间的距离：

若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

13．二次函数与一元二次方程的关系：

（1）一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况．

（2）二次函数的图象与轴的交点有三种情况：

有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根．

（3）当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根

14.二次函数的应用：

（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；

（2）二次函数的应用包括以下方面：

分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．

15.解决实际问题时的基本思路：

（1）理解问题；

（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．

第二十三章　旋转

第十四章圆

圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。

包括性质定理与判定定理及公式。

一集合：

圆：

圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

圆的外部：

可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

圆的内部：

可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

二轨迹：

1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：

以定点为圆心，定长为半径的圆；

2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：

线段的中垂线；

3、到角两边距离相等的点的轨迹是：

角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：

平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：

平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线

三位置关系：

1点与圆的位置关系:

点在圆内d

点在圆上d=r点B在圆上

点在此圆外d>r点A在圆外

2直线与圆的位置关系:

直线与圆相离d>r无交点

直线与圆相切d=r有一个交点

直线与圆相交d

3圆与圆的位置关系:

外离（图1）无交点d>R